Polynomial Operations
다항식의 곱셈과 나눗셈은 이미 익숙한 수의 곱셈과 나눗셈을 문자로 넓힌 것이에요. 두 일차식의 곱은 직사각형의 넓이를 네 조각으로 나눠 보면 왜 그런 전개식이 나오는지 바로 보이고, 일차식으로 나누는 나눗셈은 조립제법을 쓰면 계수만 가지고 몫과 나머지를 빠르게 구할 수 있어요. 17 = 5 × 3 + 2와 똑같이 다항식도 (나누어지는 식) = (나누는 식) × (몫) + (나머지)라는 구조를 따르는데, 이것이 이 단원 전체를 꿰는 줄기예요. 첫 번째 그림에서는 b에 따라 넓이 모델의 조각이, 두 번째 그림에서는 상수항에 따라 조립제법 표의 마지막 칸이 바뀌어요.
정수에서 17을 5로 나누면 몫 3과 나머지 2가 나오고, 이를 17 = 5 × 3 + 2라는 하나의 등식으로 적을 수 있다. 다항식의 나눗셈도 몫과 나머지를 따로 외우기보다 이런 등식 하나로 묶어 두어야 다음 단원에서 쓸 수 있다. 곱셈 쪽도 마찬가지로, 전개한 결과만 외우면 부호나 계수 하나를 빠뜨리기 쉽다. 그래서 이 쪽에서는 곱셈을 넓이 그림으로, 나눗셈을 계수 표로 보며, 각 항이 어디서 나오고 어디로 가는지를 눈으로 따라간다.
두 다항식의 곱은 직사각형의 넓이로 볼 수 있다. (x + 3)(x + b)를 전개하면 작은 직사각형 네 개의 넓이를 더한 것이 된다. 그림에서 3은 고정하고 b만 바꾼다.
넓이 그림은 한 변이 x인 정사각형과 그 오른쪽, 아래쪽, 오른쪽 아래 모서리의 세 조각으로 이루어져 있다. 큰 정사각형의 넓이는 x², 오른쪽 조각은 bx, 아래 조각은 3x, 모서리 조각은 3b이다. b를 1에서 7까지 바꾸면 오른쪽 두 조각의 가로 길이만 달라지고, 아래에 적힌 전개식의 일차항 계수 3 + b와 상수항 3b도 함께 달라진다. 예를 들어 b = 4이면 (x + 3)(x + 4) = x² + 7x + 12이다.
다항식을 x − a로 나눌 때 조립제법을 쓰면 계수만 가지고 몫과 나머지를 빠르게 구할 수 있다.
조립제법 표를 채우는 순서만 외우면, 마지막 칸이 왜 나머지인지를 놓치기 쉽다. 일차식으로 나누면 나머지는 그보다 차수가 낮아야 하므로 상수가 된다. 그래서 맨 아래 줄의 앞 칸들은 몫의 계수이고, 마지막 칸 하나만 나머지다. 위 그림에서 몫은 늘 x² + 3x − 2이고, 상수항을 바꾸면 마지막 칸만 상수항 − 2로 바뀐다. 상수항이 2일 때 나머지가 0이 되는데, 이는 x³ + 2x² − 5x + 2가 x − 1로 나누어떨어진다는 뜻이다.
곱셈공식 문제는 먼저 주어진 식이 어느 공식의 왼쪽과 같은 꼴인지부터 고른다. (x + 3)²처럼 같은 식을 두 번 곱하면 완전제곱식을, 합과 곱만 주어지면 x² + y² = (x + y)² − 2xy 같은 변형을 쓴다. 숫자를 넣기 전에 각 항이 넓이 그림의 어느 조각에 해당하는지 떠올리면 2ab의 2를 빠뜨리는 실수가 줄어든다. 답을 쓴 뒤에는 x에 1 같은 간단한 수를 넣어 양변이 같은지 확인해 보는 것도 좋다.
나눗셈 등식 f(x) = (x − a)Q(x) + R에서 x = a를 넣으면 앞부분이 0이 되어 f(a) = R만 남는다. 조립제법 표의 마지막 칸을 계산하지 않고도 f(a)로 바로 구할 수 있다는 뜻이고, 이것이 다음 단원의 나머지정리다. 나머지가 0이면 x − a가 인수이므로, 곱셈공식을 거꾸로 써서 인수를 찾는 인수분해도 같은 등식 위에 서 있다. 넓이로 본 전개와 표로 본 나눗셈이 같은 문자와 같은 계수를 쓰고 있다는 점을 붙잡아 두면 다음 단원들이 하나로 이어진다.
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