다항식의 연산

Polynomial Operations

다항식의 곱셈과 나눗셈은 사실 우리가 이미 아는 수의 연산을 문자로 확장한 것이에요. 두 일차식의 곱은 직사각형 넓이를 네 조각으로 나눠 보면 왜 그런 전개식이 나오는지 눈에 보이고, 나눗셈은 조립제법으로 몫과 나머지를 빠르게 구할 수 있어요. 17 = 5 × 3 + 2처럼 다항식도 f(x) = 제식 × 몫 + 나머지라는 똑같은 구조를 따른다는 점이 핵심이에요. 이 페이지에서는 슬라이더로 b와 상수항을 바꿔 가며 넓이 모델과 조립제법이 어떻게 달라지는지 직접 움직여 봐요.

다항식의 곱셈: 넓이로 보기

두 다항식의 곱셈은 직사각형의 넓이로 이해할 수 있습니다. (x + a)(x + b)를 전개하면, 네 개의 작은 직사각형 넓이의 합이 됩니다.

b의 값4

💡 넓이 모델의 핵심

①x²은 큰 정사각형, (a+b)x는 직사각형 2개, ab는 작은 직사각형

②각 영역의 넓이를 더하면 전개식이 완성

③이 원리가 곱셈공식의 기초

다항식의 나눗셈: 조립제법

다항식을 (x - a)로 나눌 때, 조립제법을 사용하면 빠르게 몫과 나머지를 구할 수 있습니다.

상수항 a₀6

🔑 조립제법 원리

①(x - a)로 나눌 때, a를 왼쪽에 적는다

②최고차 계수를 그대로 내린다

③내린 수 × a를 다음 계수에 더한다

④마지막 수가 나머지

나눗셈의 관계식

다항식 나눗셈의 등식

f(x) = (x - a) · Q(x) + R

피제식 = 제식 × 몫 + 나머지

항등식 성질

(차수 n인 다항식) ÷ (차수 1) → 몫: 차수 n-1, 나머지: 상수

나눗셈 후 차수가 1 줄어든다

📐 정수 나눗셈과의 비교

①17 ÷ 5 = 3 … 2 → 17 = 5 × 3 + 2

②다항식도 동일한 구조: f(x) = 제식 × 몫 + 나머지

③나머지의 차수 < 제식의 차수 (항상!)

곱셈공식 정리

완전제곱식

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

제곱의 전개

합차공식

(a + b)(a - b) = a² - b²

합 × 차 = 제곱의 차

세제곱 전개

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

이항정리의 n=3 경우

직접 풀어보기

예제 1

(x + 3)²을 전개하시오.

완전제곱 공식 (a + b)² = a² + 2ab + b²를 쓴다.

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3²

정리한다.

x² + 6x + 9

▸ x² + 6x + 9

곱셈공식을 외우면 전개가 빨라진다.

예제 2

x + y = 5, xy = 3일 때, x² + y²의 값을 구하시오.

곱셈공식의 변형 x² + y² = (x + y)² − 2xy를 쓴다.

x² + y² = (x + y)² − 2xy

값을 대입한다.

= 5² − 2·3 = 25 − 6 = 19

▸ x² + y² = 19

합과 곱이 주어지면 곱셈공식 변형으로 대칭식을 구한다.

총정리

핵심 나눗셈 등식

f(x) = (제식) × Q(x) + R

모든 다항식 나눗셈의 기본 구조

고1 내신 유형

x + y = 4, xy = 2일 때, x³ + y³의 값은?

①28

②34

③40

④46

⑤52

▸ ③ 40

세제곱의 합의 변형 x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)를 쓴다.

x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

값을 대입한다.

= 4³ − 3·2·4 = 64 − 24 = 40

🎯 시험 포인트

①곱셈공식은 인수분해의 역과정: 양방향 숙달 필수

②조립제법은 나머지정리와 직결

③나눗셈 등식에서 x에 특정 값을 대입하면 나머지를 구할 수 있다

④세제곱 전개는 이항정리로 확장

⑤차수 관계: 피제식 차수 = 몫 차수 + 제식 차수

나머지정리와 인수정리

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