Polynomial Operations
다항식의 곱셈과 나눗셈은 사실 우리가 이미 아는 수의 연산을 문자로 확장한 것이에요. 두 일차식의 곱은 직사각형 넓이를 네 조각으로 나눠 보면 왜 그런 전개식이 나오는지 눈에 보이고, 나눗셈은 조립제법으로 몫과 나머지를 빠르게 구할 수 있어요. 17 = 5 × 3 + 2처럼 다항식도 f(x) = 제식 × 몫 + 나머지라는 똑같은 구조를 따른다는 점이 핵심이에요. 상수항과 b를 바꾸면 넓이 모델과 조립제법이 어떻게 달라지는지 보여요.
곱과 나눗셈을 따로 외우면, 전개에서 나온 항이 나눗셈 표의 어느 칸으로 돌아가는지 끊긴다. 넓이 조각과 계수 표를 한 장에 두는 까닭은, 같은 문자 x가 두 그림에서 같은 자리를 차지한다는 점을 먼저 고정하기 위해서다. 정수에서 몫과 나머지를 나누어 쓰던 버릇을 문자로 옮기는 일이 이 단원의 출발점이다. 공식 목록보다 항의 출처를 눈으로 붙잡아 두어야 나중에 부호가 덜 틀린다.
두 다항식의 곱셈은 직사각형의 넓이로 이해할 수 있습니다. (x + 3)(x + b)를 전개하면, 네 개의 작은 직사각형 넓이의 합이 됩니다. 이 그림의 a는 3으로 고정입니다.
곱셈 그림은 큰 정사각형 하나와 그 옆·아래·모서리의 세 조각으로 나뉘어 있고, 큰 칸에는 x², 오른쪽 위에는 슬라이더 값과 x의 곱, 아래에는 3x, 모서리에는 3과 슬라이더 값의 곱이 적혀 있다. b를 1에서 7까지 바꾸면 오른쪽 두 조각의 가로만 다시 그려지고, 아래쪽 식의 일차항 계수와 상수항도 같이 바뀐다. 조립제법 표는 왼쪽에 1이 있고 위 줄에 1, 2, -5, 그리고 상수항 슬라이더 값이 놓이며, 맨 아래 마지막 칸이 나머지로 강조되어 있다. 상수항을 -5에서 10까지 바꾸면 그 마지막 칸과 나머지 라벨이 바뀌고, 앞의 세 계수가 내려오는 칸은 그대로다.
다항식을 (x - a)로 나눌 때, 조립제법을 사용하면 빠르게 몫과 나머지를 구할 수 있습니다.
표를 위에서 아래로 채우는 순서만 외우면, 마지막 칸을 나머지로 읽는 이유가 빠진다. 나누는 식이 일차이면 남는 값은 상수가 되어야 하므로, 그 칸은 몫의 항이 아니라 등식을 닫는 자리로 읽는다. 차수 조건을 건너뛰면 그 수를 몫의 끝 항처럼 붙이게 된다. 정수에서 몫과 나머지를 나누어 쓰던 자리와 같다는 점만 먼저 보면, 암기 순서보다 어느 칸이 등식을 닫는지가 분명해져요.
완전제곱이나 합과 곱만 주어진 식을 다룰 때는, 먼저 어느 공식의 왼쪽과 맞춰 볼지를 고른다. 문자를 숫자로 바꾸기 전에 각 항이 넓이 그림의 어느 조각에 해당하는지를 짧게 표시하면, 부호와 계수를 빠뜨리는 일이 줄어든다. 답을 쓰기 전에 전개한 항의 개수가 공식의 항 개수와 같은지 한 번 더 봐요. 세제곱처럼 항이 늘어나는 변형은 같은 자리에서 한 겹만 더 펼치면 된다.
표를 채울 때 마지막 칸을 나머지로 읽는 버릇이 있어야, 다음에 x에 값을 넣어 그 칸을 바로 읽는 정리로 넘어갈 수 있다. 곱셈공식을 거꾸로 묶어 인수를 찾는 일도 그 정리 위에 있어요. 표 왼쪽의 1은 (x-1)의 근이라, 그 자리에 넣는 읽기가 다음 정리의 시작이다. 넓이로 본 전개와 표로 본 나눗셈이 같은 문자를 쓰고 있으므로, 다음으로 넘길 때 기호를 바꾸지 않는 것이 중요하다.