좌표평면에서는 두 점의 좌표만 알면 둘 사이의 거리를 계산할 수 있어요. 가로 차이와 세로 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면 빗변이 곧 두 점 사이의 거리라서, 피타고라스 정리를 그대로 쓰면 되거든요.
두 점의 한가운데인 중점은 x좌표끼리, y좌표끼리 평균을 내서 구해요.
직선은 얼마나 기울었는지를 나타내는 기울기와 y축과 만나는 y절편, 이 두 값만 정하면 하나로 정해져요.
첫 번째 그림에서 점 B를 옮기면 직각삼각형과 거리, 중점이 함께 바뀌고, 두 번째 그림에서 기울기와 y절편을 바꾸면 직선이 돌아가거나 위아래로 움직여요.
두 점 사이의 거리와 중점
좌표평면 위 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리로, 두 점의 중점은 좌표의 평균으로 구한다.
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A(1, 1)에 고정한 점과 움직이는 점 B 사이의 거리를 직각삼각형으로 구하고 중점 M을 표시한 그림
💡 거리와 중점을 보는 눈
①두 점 사이의 거리는 가로 차이 Δx와 세로 차이 Δy를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이다
②그래서 거리는 √(Δx² + Δy²)이다
③중점은 두 점의 x좌표끼리, y좌표끼리 더해서 2로 나눈 점이다
④그림에서 A는 (1, 1)에 고정되어 있고 B만 움직인다
거리와 중점의 공식
두 점 사이의 거리
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
피타고라스 정리를 좌표로 쓴 것
중점의 좌표
M = (x1 + x22, y1 + y22)
x좌표, y좌표를 각각 평균한다
직선의 방정식: 기울기와 y절편
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y = mx + b에서 기울기 m과 y절편 b를 바꿀 때의 직선과, x가 1 늘 때 y가 m만큼 변하는 작은 직각삼각형
기울기와 y절편으로 나타낸 직선
y = mx + b
m은 기울기(x가 1 늘 때 y의 변화량), b는 y절편
한 점과 기울기로 나타낸 직선
y − y1 = m(x − x1)
점 (x₁, y₁)을 지나고 기울기가 m인 직선
직선의 일반형과 점과 직선 사이의 거리
직선의 일반형
ax + by + c = 0
y축에 평행한 직선(x = k)까지 모든 직선을 나타낼 수 있다
점과 직선 사이의 거리
d = |ax1 + by1 + c|√(a² + b²)
점 (x₁, y₁)에서 직선 ax + by + c = 0까지
📐 두 직선의 위치 관계
①두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행하다
②기울기와 y절편이 모두 같으면 일치한다
③기울기의 곱이 −1이면, 곧 m₁m₂ = −1이면 서로 수직이다
예제와 단원평가
예제 1
두 점 A(1, 2), B(7, 8)을 이은 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표를 구하시오.
1
AP : PB = m : n일 때 내분점은 P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m + n), (m·y₂ + n·y₁)/(m + n))이다. 여기에 m : n = 2 : 1을 넣는다.
P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )
2
계산한다.
P = (15/3, 18/3) = (5, 6)
▸ P(5, 6)
비의 앞쪽 수 m은 B의 좌표에, 뒤쪽 수 n은 A의 좌표에 엇갈려 곱한다. P가 B 쪽에 더 가까운지 확인하면 실수를 줄일 수 있다.
예제 2
두 점 A(−1, 3), B(3, −1)에 대하여 선분 AB의 길이와 중점 M의 좌표를 구하시오.
1
거리 공식과 중점 공식을 쓴다.
AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)
2
정리한다.
AB = √32 = 4√2, M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)
▸ AB = 4√2, M(1, 1)
가로 차이와 세로 차이가 모두 4라서, 선분 AB는 한 변이 4인 정사각형의 대각선과 길이가 같다.