좌표평면에서는 두 점의 위치만 알면 그 사이의 거리를 잴 수 있는데, 가로 차이와 세로 차이로 직각삼각형을 만들면 빗변이 바로 거리가 되는 피타고라스 정리예요.
두 점의 한가운데인 중점은 x좌표끼리, y좌표끼리 평균을 내면 구할 수 있어요.
또 직선은 얼마나 기울었는지를 나타내는 기울기와 y축과 만나는 y절편, 이 두 가지만으로 완전히 정해져요.
점 B를 옮기며 거리와 직각삼각형이 어떻게 달라지는지 보고, 기울기와 절편을 바꿔 직선이 회전하고 오르내리는 모습을 직접 확인해 봐요.
두 점 사이의 거리와 중점
좌표평면에서 두 점의 거리는 피타고라스 정리로, 중점은 좌표의 평균으로 구합니다.
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A(1,1)과 B 사이의 거리와 중점
💡 거리와 중점의 직관
①거리 = 직각삼각형의 빗변 (피타고라스)
②중점 = 두 좌표의 평균
③Δx, Δy로 직각삼각형을 만들어 생각하면 명확
거리·중점 공식
두 점 사이의 거리
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
피타고라스 정리의 좌표 버전
중점의 좌표
M = (x1 + x22, y1 + y22)
각 좌표의 산술평균
직선의 방정식: 기울기와 y절편
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y = mx + b: 기울기와 y절편으로 결정되는 직선
기울기-절편형
y = mx + b
m: 기울기 (Δy/Δx), b: y절편
한 점과 기울기
y - y1 = m(x - x1)
점 (x₁, y₁)을 지나고 기울기 m인 직선
직선의 여러 형태와 점과 직선의 거리
일반형
ax + by + c = 0
모든 직선을 포함 (수직선 포함)
점과 직선 사이의 거리
d = |ax1 + by1 + c|√(a² + b²)
점 (x₁, y₁)에서 직선 ax + by + c = 0까지
📐 두 직선의 관계
①평행: m₁ = m₂ (기울기 같음)
②수직: m₁ · m₂ = -1 (기울기 곱 = -1)
③일치: 기울기와 절편 모두 같음
직접 풀어보기
예제 1
두 점 A(1, 2), B(7, 8)을 2 : 1로 내분하는 점 P의 좌표를 구하시오.
1
내분점 공식 P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n))에 m : n = 2 : 1을 적용한다.
P = ( (2·7 + 1·1)/3, (2·8 + 1·2)/3 )
2
계산한다.
P = (15/3, 18/3) = (5, 6)
▸ P(5, 6)
내분비 m : n에서 먼 쪽 좌표에 m, 가까운 쪽에 n을 곱한다.
예제 2
두 점 A(−1, 3), B(3, −1)에 대하여 선분 AB의 길이와 중점 M의 좌표를 구하시오.
1
거리 공식과 중점 공식을 쓴다.
AB = √((3 − (−1))² + (−1 − 3)²) = √(16 + 16)
2
정리한다.
AB = √32 = 4√2, M = ((−1 + 3)/2, (3 + (−1))/2) = (1, 1)