공통수학›도형의 방정식

원의 방정식

Circle Equations

원의 방정식 — 중심과 반지름

원은 중심에서 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 중심 (a, b)와 반지름 r만 알면 방정식이 결정됩니다.

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💡 원의 방정식 유도
①원 위의 점 (x, y)와 중심 (a, b)의 거리 = r
②√((x-a)² + (y-b)²) = r
③양변 제곱 → (x-a)² + (y-b)² = r²
표준형과 일반형
원의 표준형
(x - a)² + (y - b)² = r²
중심 (a, b), 반지름 r
원의 일반형
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
전개하면 D=-2a, E=-2b, F=a²+b²-r²
📐 일반형 → 표준형 변환
①x항 묶기: (x + D/2)²
②y항 묶기: (y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² - F
④r² > 0이어야 원이 존재
원과 직선의 위치 관계

원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r의 대소 관계로 위치를 판단합니다.

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원과 직선의 위치 관계
d < r: 두 점, d = r: 접선, d > r: 만나지 않음
d = 중심에서 직선까지의 거리
접선의 방정식
원 위의 점에서의 접선
x1·x + y1·y = r²
원점 중심 원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁,y₁)에서
기울기가 m인 접선
y = mx ± r√(1 + m²)
원점 중심 원에 기울기 m으로 접하는 직선
총정리
원의 표준형
(x - a)² + (y - b)² = r²
중심과 반지름이 보이는 형태
접선 판별
중심에서 직선까지의 거리 d = r
접선 조건
🎯 시험 포인트
①일반형 → 완전제곱식으로 표준형 변환
②r² > 0 조건 확인 (원이 존재하려면)
③원과 직선: 연립 → 판별식 D로도 판단 가능
④접선: 원 위의 점 접선 vs 외부 점 접선 구분
⑤두 원의 교점을 지나는 직선: f₁ - f₂ = 0