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고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 원의 방정식

Circle Equations

원은 한 점(중심)에서 같은 거리(반지름)만큼 떨어진 점들을 모은 도형이고, 이 조건을 좌표로 옮겨 적은 것이 원의 방정식이에요. 중심이 (a, b)이고 반지름이 r이면 원 위의 점 (x, y)는 두 점 사이의 거리 공식에 따라 (x − a)² + (y − b)² = r²을 만족해요. 전개해서 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 꼴이 된 식도 x와 y를 각각 완전제곱식으로 묶으면 중심과 반지름을 다시 읽어 낼 수 있어요. 첫 번째 그림에서 중심과 반지름을 바꾸면 원과 그 방정식이 함께 바뀌고, 두 번째 그림에서는 중심과 직선 사이의 거리에 따라 원과 직선이 만나는 모습이 달라져요.

중심과 반지름으로 정하는 원

원은 중심에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이다. 그래서 중심 (a, b)와 반지름 r 두 가지만 알면 원의 방정식이 하나로 정해진다.

2
1
3
💡 거리 공식에서 원의 방정식으로
①원 위의 점 (x, y)와 중심 (a, b) 사이의 거리는 r이다
②거리 공식으로 쓰면 √((x − a)² + (y − b)²) = r이다
③양변을 제곱하면 (x − a)² + (y − b)² = r²이다
④그림의 초록 점 좌표를 이 식에 넣어 보면 언제나 양변이 같다

표준형과 일반형

원의 표준형
(x − a)² + (y − b)² = r²
중심 (a, b), 반지름 r
원의 일반형
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
표준형을 전개하면 D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r²
📐 일반형을 표준형으로 바꾸기
①x가 들어간 항을 묶어 (x + D/2)²을 만든다
②y가 들어간 항을 묶어 (y + E/2)²을 만든다
③그러면 중심은 (−D/2, −E/2)이고 r² = (D/2)² + (E/2)² − F이다
④이 값이 0보다 커야 원이 되고, 0이면 한 점, 0보다 작으면 그리는 도형이 없다

원과 직선의 위치 관계

원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r을 견주면, 원과 직선이 몇 점에서 만나는지 연립방정식을 풀지 않고도 알 수 있다.

2
원과 직선의 위치 관계
d < r: 두 점에서 만남, d = r: 접함, d > r: 만나지 않음
d는 원의 중심에서 직선까지의 거리

접선의 방정식

원 위의 점에서 그은 접선
x1·x + y1·y = r²
원 x² + y² = r² 위의 점 (x₁, y₁)에서 그은 접선
기울기가 m인 접선
y = mx ± r√(1 + m²)
원 x² + y² = r²에 접하고 기울기가 m인 직선은 두 개다

예제와 단원평가

예제 1
중심이 (2, −1)이고 반지름이 3인 원의 방정식을 구하시오.
1
표준형 (x − a)² + (y − b)² = r²에 a = 2, b = −1, r = 3을 넣는다. b가 음수이므로 y − (−1) = y + 1이 된다.
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2
오른쪽을 계산한다.
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
중심의 좌표는 식 안에서 부호가 바뀌어 들어간다. (y + 1)을 보고 중심의 y좌표를 1로 읽지 않도록 주의한다.
예제 2
원 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0의 중심과 반지름을 구하시오.
1
x가 들어간 항과 y가 들어간 항을 각각 완전제곱식으로 바꾼다.
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2
상수를 오른쪽으로 옮겨 표준형으로 만든다.
(x − 3)² + (y + 2)² = 25, 중심 (3, −2), 반지름 5
▸ 중심 (3, −2), 반지름 5
공식으로 확인하면 중심은 (−D/2, −E/2) = (3, −2), r² = 9 + 4 + 12 = 25로 같은 답이 나온다.

정리

원의 표준형
(x − a)² + (y − b)² = r²
중심과 반지름이 바로 보이는 꼴
접할 조건
중심에서 직선까지의 거리 d = r
원과 직선이 한 점에서만 만난다
고1 내신 유형
점 (5, 5)에서 원 (x − 1)² + (y − 2)² = 9에 그은 접선의 길이를 구하시오.
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ② 4
1
먼저 외부의 점과 원의 중심 사이의 거리 d를 구한다.
d = √((5 − 1)² + (5 − 2)²) = √25 = 5
2
접선의 길이는 √(d² − r²)이다.
√(d² − r²) = √(25 − 9) = 4
🎯 시험에 자주 나오는 것
①일반형은 완전제곱식으로 묶어 표준형으로 바꾼 뒤 중심과 반지름을 읽는다
②원이 되려면 표준형 오른쪽(r²)이 0보다 커야 한다
③원과 직선의 위치 관계는 거리 d와 반지름 r을 비교하거나, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식으로 판단한다
④접선 문제는 접점이 원 위에 있는지, 원 밖의 점에서 긋는지부터 가린다
⑤두 원 f₁ = 0, f₂ = 0의 교점을 지나는 직선은 f₁ − f₂ = 0이다
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도형의 이동

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