원의 방정식은 한 점(중심)에서 같은 거리(반지름)에 있는 점들의 자취를 좌표평면 위 식으로 나타낸 거예요.
중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원은 (x − a)² + (y − b)² = r² 로 쓰는데, 이는 두 점 사이의 거리 공식에서 자연스럽게 나와요.
전개된 일반형도 완전제곱식으로 정리하면 중심과 반지름을 바로 읽어낼 수 있어요.
이 페이지에서는 중심과 반지름을 움직여 방정식과 원의 모양이 어떻게 대응하는지 확인해 봐요.
원의 방정식: 중심과 반지름
원은 중심에서 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 중심 (a, b)와 반지름 r만 알면 방정식이 결정됩니다.
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원: 중심 (a,b)에서 반지름 r인 점들의 집합
💡 원의 방정식 유도
①원 위의 점 (x, y)와 중심 (a, b)의 거리 = r
②√((x-a)² + (y-b)²) = r
③양변 제곱 → (x-a)² + (y-b)² = r²
표준형과 일반형
원의 표준형
(x - a)² + (y - b)² = r²
중심 (a, b), 반지름 r
원의 일반형
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
전개하면 D=-2a, E=-2b, F=a²+b²-r²
📐 일반형 → 표준형 변환
①x항 묶기: (x + D/2)²
②y항 묶기: (y + E/2)²
③r² = (D/2)² + (E/2)² - F
④r² > 0이어야 원이 존재
원과 직선의 위치 관계
원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r의 대소 관계로 위치를 판단합니다.
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중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r의 관계
원과 직선의 위치 관계
d < r: 두 점, d = r: 접선, d > r: 만나지 않음
d = 중심에서 직선까지의 거리
접선의 방정식
원 위의 점에서의 접선
x1·x + y1·y = r²
원점 중심 원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁,y₁)에서
기울기가 m인 접선
y = mx ± r√(1 + m²)
원점 중심 원에 기울기 m으로 접하는 직선
직접 풀어보기
예제 1
중심이 (2, −1)이고 반지름이 3인 원의 방정식을 구하시오.
1
표준형 (x − a)² + (y − b)² = r²에 a = 2, b = −1, r = 3을 대입한다. b가 음수이므로 (y + 1)이 된다.
(x − 2)² + (y + 1)² = 3²
2
우변을 계산한다.
(x − 2)² + (y + 1)² = 9
▸ (x − 2)² + (y + 1)² = 9
중심의 좌표는 식 안에서 부호가 반대로 들어간다.
예제 2
원 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0의 중심과 반지름을 구하시오.
1
x와 y에 대하여 각각 완전제곱식으로 변형한다.
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0
2
상수를 우변으로 옮겨 표준형으로 만든다.
(x − 3)² + (y + 2)² = 25, 중심 (3, −2), 반지름 5
▸ 중심 (3, −2), 반지름 5
일반형은 완전제곱으로 묶어 표준형으로 바꾼다.
총정리
원의 표준형
(x - a)² + (y - b)² = r²
중심과 반지름이 보이는 형태
접선 판별
중심에서 직선까지의 거리 d = r
접선 조건
고1 내신 유형
점 (5, 5)에서 원 (x − 1)² + (y − 2)² = 9에 그은 접선의 길이를 구하시오.