고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 도형의 이동

Geometric Transformation

도형의 이동은 모양과 크기는 그대로 둔 채 자리나 방향만 바꾸는 일이에요. 평행이동은 도형의 모든 점에 같은 양 (a, b)를 더해 미끄러지듯 옮기는 것인데, 도형의 방정식에서는 x, y 자리에 오히려 x − a, y − b를 넣는다는 점이 헷갈리기 쉬워요. 대칭이동은 x축, y축, 원점, 직선 y = x를 거울 삼아 도형을 비추는 것으로, 좌표의 부호가 바뀌거나 x와 y가 자리를 맞바꿔요. 첫 번째 그림에서는 이동량에 따라 삼각형이 옮겨 가고, 두 번째 그림에서는 네 가지 대칭에 따라 꼭짓점 좌표가 어떻게 바뀌는지 나란히 비교할 수 있어요.

평행이동: 모양은 그대로, 자리만 바뀐다

📦 상자를 밀어 옮기는 것과 같다

①책상 위 상자를 밀어 옮기면 모양, 크기, 놓인 방향은 그대로다

②바뀌는 것은 자리뿐이고, 이것이 평행이동이다

③수학에서는 도형의 모든 점에 같은 양 (a, b)를 더한다

④그래서 꼭짓점 세 개가 모두 같은 방향으로 같은 거리만큼 움직인다

x축 방향 이동량 a2

y축 방향 이동량 b1

점의 평행이동

(x, y) → (x + a, y + b)

모든 점에 같은 양 (a, b)를 더한다

방정식의 평행이동: 왜 빼기일까

도형의 방정식의 평행이동

f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0

점은 a, b를 더하는데, 방정식에는 x − a, y − b를 넣는다

🤔 부호가 반대인 까닭

①옮긴 도형 위의 한 점을 (X, Y)라 하자

②이 점은 옮기기 전에 (X − a, Y − b)에 있었다

③옮기기 전의 점은 원래 도형 위에 있으므로 f(X − a, Y − b) = 0을 만족한다

④그래서 옮긴 도형의 방정식은 f(x − a, y − b) = 0이다

⑤새 좌표에서 이동량을 빼야 원래 자리로 거슬러 올라갈 수 있다는 뜻이다

예: 원의 평행이동

x² + y² = r² → (x − a)² + (y − b)² = r²

중심이 원점에서 (a, b)로 옮겨 간다

예: 포물선의 평행이동

y = x² → y − b = (x − a)²

꼭짓점이 (0, 0)에서 (a, b)로 옮겨 간다

대칭이동: 거울에 비친 모습

대칭이동 공식

네 가지 대칭이동

x축에 대한 대칭

y좌표의 부호만 바뀐다

(x, y) → (x, −y)

y축에 대한 대칭

x좌표의 부호만 바뀐다

(x, y) → (−x, y)

원점에 대한 대칭

x, y 두 좌표의 부호가 모두 바뀐다

(x, y) → (−x, −y)

직선 y = x에 대한 대칭

x좌표와 y좌표가 자리를 바꾼다

(x, y) → (y, x)

💡 대칭이동의 원리

①x축 대칭은 x축을 거울로 삼아 위아래가 뒤집히므로 y의 부호가 바뀐다

②y축 대칭은 y축을 거울로 삼아 좌우가 뒤집히므로 x의 부호가 바뀐다

③원점 대칭은 원점을 중심으로 180° 돌린 것과 같아 두 부호가 모두 바뀐다

④y = x 대칭은 기울어진 대각선을 거울로 삼아 x와 y가 자리를 바꾸며, 함수와 그 역함수의 그래프가 이 관계에 있다

이동을 이어서 하면

🔗 이어서 하는 이동의 규칙

①평행이동을 두 번 하면 이동량을 더한 것과 같고, 순서는 상관없다

②x축 대칭 다음 y축 대칭을 하면 원점 대칭과 같다

③평행이동과 대칭이동을 섞으면 순서에 따라 결과가 달라질 수 있다

④'점 (2, 3)을 x축에 대하여 대칭이동한 뒤 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 −2만큼 평행이동' 같은 문제는 적힌 순서대로 한 단계씩 한다

대칭이동 이어 하기

두 대칭이동을 이어서 한 결과

순서	좌표의 변화	같은 이동
x축 → y축	(x,y)→(−x,−y)	원점 대칭
y축 → x축	(x,y)→(−x,−y)	원점 대칭
x축 → y = x	(x,y)→(−y,x)	원점을 중심으로 시계 반대 방향 90° 회전
y = x → x축	(x,y)→(y,−x)	원점을 중심으로 시계 방향 90° 회전

예제와 단원평가

예제 1

점 (3, −2)를 x축 방향으로 4만큼, y축 방향으로 −5만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하시오.

점의 평행이동은 좌표에 이동량을 그대로 더한다.

(3 + 4, −2 + (−5))

계산한다.

(7, −7)

▸ (7, −7)

y축 방향으로 −5만큼 옮긴다는 것은 아래로 5만큼 옮긴다는 뜻이다.

예제 2

직선 y = 2x + 1을 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하시오.

도형을 x축 방향으로 3만큼 옮기면 방정식의 x 자리에 x − 3을 넣는다.

y = 2(x − 3) + 1

전개해서 정리한다.

y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5

▸ y = 2x − 5

처음 직선 위의 점 (0, 1)은 (3, 1)로 옮겨 가는데, 실제로 y = 2x − 5에 x = 3을 넣으면 y = 1이 나온다.

정리

점의 평행이동

(x + a, y + b)

점은 이동량을 더한다

도형의 방정식의 평행이동

f(x − a, y − b) = 0

방정식은 이동량을 뺀다

고1 내신 유형

점 (4, −3)을 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는?

①(−4, 3)

②(3, −4)

③(−3, 4)

④(4, 3)

⑤(−4, −3)

▸ ③ (−3, 4)

직선 y = x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 서로 바꾼다.

(a, b) → (b, a)

좌표를 바꾼다.

(4, −3) → (−3, 4)

🎯 시험에 자주 나오는 것

①점은 (x + a, y + b)로 옮기고, 도형의 방정식은 f(x − a, y − b) = 0으로 옮긴다. 부호가 반대다

②x축 대칭은 y 대신 −y를, y축 대칭은 x 대신 −x를 넣는다

③직선 y = x에 대한 대칭은 x와 y를 맞바꾸며, 역함수의 그래프와 이어진다

④원을 평행이동하면 중심 좌표에 이동량을 더하고 반지름은 그대로다

⑤이동을 여러 번 할 때는 주어진 순서대로 한 단계씩 한다. 순서를 바꾸면 결과가 달라질 수 있다

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원의 방정식

집합과 명제

마지막 수정 2026-10-17

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