공통수학 도형의 이동

Geometric Transformation

도형의 이동은 모양과 크기는 그대로 둔 채 위치나 방향만 바꾸는 거예요. 평행이동은 모든 점에 같은 벡터 (a, b)를 더해 도형을 미끄러뜨리는데, 방정식에서는 x, y에 오히려 −a, −b를 대입한다는 점이 헷갈리기 쉬워요. 대칭이동은 x축·y축·원점·직선 y=x라는 거울에 도형을 비추는 것으로, 각각 좌표의 부호가 바뀌거나 x와 y가 서로 자리를 바꿔요. 삼각형을 옮기고 네 가지 대칭을 바꾸면 규칙이 보여요.

평행이동: 모양은 유지, 위치만 변경

📦 택배 상자를 옮기는 것과 같다

①상자의 모양, 크기, 방향은 그대로

②위치만 바뀐다. 이것이 '평행이동'

③수학적으로는 모든 점에 같은 벡터 (a, b)를 더한다

④도형 전체가 '미끄러지듯' 이동한다

x방향 이동 a2

y방향 이동 b1

점의 평행이동

(x, y) → (x + a, y + b)

모든 점에 동일한 벡터 (a, b)를 더한다

방정식의 평행이동: 왜 부호가 반대?

도형의 방정식 평행이동

f(x, y) = 0 → f(x − a, y − b) = 0

점은 +a, +b인데 방정식에는 −a, −b를 대입

🤔 핵심 질문: 왜 빼기(−)일까?

①이동 후 도형 위의 점을 (X, Y)라 하자

②이 점은 원래 도형의 (X−a, Y−b) 위치에 있었다

③원래 도형은 f(x,y)=0을 만족하므로

④f(X−a, Y−b) = 0이 이동된 도형의 방정식

⑤즉, '새 좌표에서 이동량을 빼면 원래 위치를 찾을 수 있다'

예: 원의 평행이동

x² + y² = r² → (x−a)² + (y−b)² = r²

원점 중심 → (a, b) 중심으로 이동

예: 포물선의 평행이동

y = x² → y − b = (x − a)²

꼭짓점이 (0,0)에서 (a,b)로 이동

대칭이동: 거울에 비친 모습

대칭이동 공식

4가지 대칭이동

x축 대칭

y좌표만 부호 반전

(x, y) → (x, −y)

y축 대칭

x좌표만 부호 반전

(x, y) → (−x, y)

원점 대칭

x, y 모두 부호 반전

(x, y) → (−x, −y)

y=x 대칭

x와 y를 교환

(x, y) → (y, x)

💡 대칭의 원리

①x축 대칭: x축을 거울로 → 위아래가 바뀜 → y 부호 반전

②y축 대칭: y축을 거울로 → 좌우가 바뀜 → x 부호 반전

③원점 대칭: 원점을 중심으로 180° 회전 → 둘 다 반전

④y=x 대칭: 45° 대각선 거울 → x와 y가 역할 교환 (역함수!)

이동의 합성: 순서가 중요할까?

🔗 합성 변환의 규칙

①평행이동 + 평행이동: 벡터를 더하면 됨 (순서 무관)

②대칭 + 대칭: x축 대칭 후 y축 대칭 = 원점 대칭

③평행이동 + 대칭: 순서에 따라 결과가 달라진다!

④시험 문제: '(2,3)을 x축 대칭 후 (1,−2)만큼 평행이동' → 한 단계씩 순서대로!

합성 대칭

대칭이동 합성 결과

합성	결과	동치 변환
x축 → y축	(x,y)→(−x,−y)	원점 대칭
y축 → x축	(x,y)→(−x,−y)	원점 대칭
x축 → y=x	(x,y)→(−y,x)	90° 반시계 회전
y=x → x축	(x,y)→(y,−x)	90° 시계 회전

직접 풀어보기

예제 1

점 (3, −2)를 x축 방향으로 4만큼, y축 방향으로 −5만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하시오.

평행이동은 좌표에 이동량을 그대로 더한다.

(3 + 4, −2 + (−5))

계산한다.

(7, −7)

▸ (7, −7)

점의 평행이동은 좌표에 이동량을 더하면 끝난다.

예제 2

직선 y = 2x + 1을 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하시오.

도형을 x축으로 3만큼 옮기면 식의 x에 x − 3을 대입한다.

y = 2(x − 3) + 1

전개하여 정리한다.

y = 2x − 6 + 1 = 2x − 5

▸ y = 2x − 5

도형의 평행이동은 점과 반대로 x에 x − a를 넣는 점에 주의한다.

총정리

점 이동

(x+a, y+b)

점은 더하기

방정식 이동

f(x−a, y−b)=0

방정식은 빼기

고1 내신 유형

점 (4, −3)을 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는?

①(−4, 3)

②(3, −4)

③(−3, 4)

④(4, 3)

⑤(−4, −3)

▸ ③ (−3, 4)

직선 y = x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 서로 바꾼다.

(a, b) → (b, a)

좌표를 바꾼다.

(4, −3) → (−3, 4)

🎯 시험 포인트

①점 이동: (x+a, y+b) / 방정식: f(x−a, y−b)=0. 부호 반대!

②x축 대칭 → y에 −y 대입 / y축 대칭 → x에 −x 대입

③y=x 대칭 → x↔y 교환 (역함수 관계의 핵심!)

④원의 평행이동: 중심 좌표에 이동 벡터를 더한다

⑤합성 변환: 한 단계씩 순서대로 적용 (순서 바꾸면 결과 다름!)