공통수학 집합과 명제

Sets & Propositions

집합은 조건이 분명한 대상들의 모임이고, 명제는 참과 거짓을 분명히 가릴 수 있는 문장이에요. 두 집합의 공통 부분인 교집합과 합쳐 놓은 합집합을 벤 다이어그램으로 그리면 관계가 한눈에 보여요. 명제 '~이면 ~이다'에서 가정과 결론을 뒤집거나 부정하면 역·이·대우가 되는데, 대우는 원래 명제와 참·거짓이 항상 같아요. 합집합 인원과 대우 진리표를 움직이면 보여요. 여집합과 드 모르간은 아래 공식 상자에서 이어요.

집합: 벤 다이어그램으로 보기

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 왜 빼야 하는가?

A에 7명, B에 5명이 있을 때 둘을 그냥 더하면 12명이 된다. 하지만 겹치는 사람을 두 번 세게 된다. 그래서 교집합을 한 번 빼줘야 정확한 합집합 원소 수가 나온다. 이것이 합집합 공식의 핵심이다.

합집합의 원소 개수

합집합 공식

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

겹치는 부분을 한 번 빼서 중복 제거

📐 벤 다이어그램으로 확인

①A만의 영역 = n(A) − n(A∩B)

②B만의 영역 = n(B) − n(A∩B)

③교집합 영역 = n(A∩B)

④세 영역을 더하면 = n(A) + n(B) − n(A∩B)

⑤위 슬라이더로 직접 확인해 보자

집합 연산과 드 모르간

드 모르간의 법칙

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

합집합의 여집합 = 각 여집합의 교집합

드 모르간 (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

교집합의 여집합 = 각 여집합의 합집합

💡 외우는 법

①여집합을 씌우면 ∪와 ∩이 뒤집힌다

②직관: 'A 또는 B에 속하지 않는 것' = 'A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는 것'

③차집합도 정리: A − B = A ∩ Bᶜ (A에서 B 겹치는 부분을 빼라)

명제와 대우: 진리값 비교

p (0=거짓, 1=참)1

q (0=거짓, 1=참)1

명제 p → q

p → q 가 거짓인 경우: p=참, q=거짓 (오직 이 경우만!)

가정이 참인데 결론이 거짓이면 명제가 거짓

🔍 역·이·대우

①역: q → p (원래와 진리값 무관)

②이: ~p → ~q (원래와 진리값 무관)

③대우: ~q → ~p (원래와 항상 같은 진리값!)

④대우 증명법: p→q를 직접 증명하기 어려우면 ~q→~p를 증명

⑤p→q가 참이면 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건

직접 풀어보기

예제 1

전체집합의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=8일 때, n(A∪B)를 구하시오.

합집합의 원소 개수 공식을 쓴다.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

값을 대입한다.

n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27

▸ n(A ∪ B) = 27

겹치는 교집합을 한 번만 빼는 것이 핵심이다.

예제 2

전체집합 U에 대하여 n(U)=30, n(A)=18, n(B)=14, n(A∩B)=7일 때, n(Aᶜ ∩ Bᶜ)를 구하시오.

먼저 합집합의 원소 개수를 구한다.

n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25

드 모르간 법칙으로 Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ이므로 전체집합에서 뺀다.

n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5

▸ n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5

여집합의 교집합은 드 모르간으로 합집합의 여집합으로 바꿔 푼다.

총정리

교육청 고1 학력평가 유형

실수 x에 대한 두 조건 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k 가 있다. p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 k의 최댓값은?

①-1

②0

③1

④2

⑤3

▸ ③ 1

p가 q이기 위한 충분조건이면 진리집합 사이에 P ⊆ Q가 성립한다.

P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q

P의 모든 원소가 x ≥ k를 만족하려면 k가 P의 최솟값 1보다 크지 않아야 한다.

k ≤ 1이므로 최댓값은 k = 1

🎯 시험 포인트

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②드 모르간: 여집합 씌우면 ∪ ↔ ∩ 뒤집힘

③p→q가 거짓 ⟺ p 참이고 q 거짓

④원래 명제 ⟺ 대우 (진리값 항상 같음)

⑤충분조건: p→q 참일 때 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건