집합은 조건이 분명한 대상들의 모임이고, 명제는 참과 거짓을 분명히 가릴 수 있는 문장이에요.
두 집합의 공통 부분인 교집합과 합쳐 놓은 합집합을 벤 다이어그램으로 그리면 관계가 한눈에 보여요.
명제 '~이면 ~이다'에서 가정과 결론을 뒤집거나 부정하면 역·이·대우가 되는데, 대우는 원래 명제와 참·거짓이 항상 같아요.
이 페이지에서는 집합을 움직여 연산 결과를 보고, 명제의 대우 관계도 직접 확인해 봐요.
집합: 벤 다이어그램으로 보기
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n(A), n(B), n(A∩B)를 조절하여 합집합 관찰
7
5
3
💡 왜 빼야 하는가?
A에 7명, B에 5명이 있을 때 둘을 그냥 더하면 12명이 된다. 하지만 겹치는 사람을 두 번 세게 된다. 그래서 교집합을 한 번 빼줘야 정확한 합집합 원소 수가 나온다. 이것이 합집합 공식의 핵심이다.
합집합의 원소 개수
합집합 공식
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
겹치는 부분을 한 번 빼서 중복 제거
📐 벤 다이어그램으로 확인
①A만의 영역 = n(A) − n(A∩B)
②B만의 영역 = n(B) − n(A∩B)
③교집합 영역 = n(A∩B)
④세 영역을 더하면 = n(A) + n(B) − n(A∩B)
⑤위 슬라이더로 직접 확인해 보자
집합 연산과 드 모르간
드 모르간의 법칙
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
합집합의 여집합 = 각 여집합의 교집합
드 모르간 (2)
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
교집합의 여집합 = 각 여집합의 합집합
💡 외우는 법
①여집합을 씌우면 ∪와 ∩이 뒤집힌다
②직관: 'A 또는 B에 속하지 않는 것' = 'A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는 것'
③차집합도 정리: A − B = A ∩ Bᶜ (A에서 B 겹치는 부분을 빼라)
명제와 대우: 진리값 비교
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p, q의 참/거짓을 바꿔가며 대우 진리값 확인
1
1
명제 p → q
p → q 가 거짓인 경우: p=참, q=거짓 (오직 이 경우만!)
가정이 참인데 결론이 거짓이면 명제가 거짓
🔍 역·이·대우
①역: q → p (원래와 진리값 무관)
②이: ~p → ~q (원래와 진리값 무관)
③대우: ~q → ~p (원래와 항상 같은 진리값!)
④대우 증명법: p→q를 직접 증명하기 어려우면 ~q→~p를 증명
직접 풀어보기
예제 1
전체집합의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(A)=20, n(B)=15, n(A∩B)=8일 때, n(A∪B)를 구하시오.
1
합집합의 원소 개수 공식을 쓴다.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2
값을 대입한다.
n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27
▸ n(A ∪ B) = 27
겹치는 교집합을 한 번만 빼는 것이 핵심이다.
예제 2
전체집합 U에 대하여 n(U)=30, n(A)=18, n(B)=14, n(A∩B)=7일 때, n(Aᶜ ∩ Bᶜ)를 구하시오.
1
먼저 합집합의 원소 개수를 구한다.
n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25
2
드 모르간 법칙으로 Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ이므로 전체집합에서 뺀다.
n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5
▸ n(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5
여집합의 교집합은 드 모르간으로 합집합의 여집합으로 바꿔 푼다.
총정리
교육청 고1 학력평가 유형
실수 x에 대한 두 조건 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k 가 있다. p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 k의 최댓값은?