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고등학교 1학년 (15-16세)

공통수학 집합과 명제

Sets & Propositions

집합은 어떤 대상이 속하는지 아닌지를 분명히 가릴 수 있는 모임이고, 명제는 참인지 거짓인지를 분명히 가릴 수 있는 문장이에요. 두 집합에 함께 속하는 원소를 모은 교집합과 어느 한쪽에라도 속하는 원소를 모은 합집합은 벤 다이어그램으로 그리면 관계가 한눈에 들어와요. 'p이면 q이다' 꼴의 명제에서 가정과 결론을 바꾸거나 부정하면 역, 이, 대우가 되는데, 그 가운데 대우는 원래 명제와 참, 거짓이 언제나 같아요. 첫 번째 그림에서는 원소의 개수를 바꾸며 합집합의 원소 개수 공식을 확인하고, 두 번째 그림에서는 p와 q의 참, 거짓을 바꾸며 원래 명제와 대우를 나란히 비교할 수 있어요.

벤 다이어그램으로 보는 집합

7
5
3
💡 왜 교집합을 빼야 할까
축구부에 7명, 농구부에 5명이 있다고 해서 두 동아리 학생이 모두 12명인 것은 아니다. 두 동아리에 모두 든 학생이 3명이라면 그 3명을 두 번 센 셈이다. 그래서 겹친 3명을 한 번 빼야 두 동아리 가운데 적어도 하나에 든 학생 수, 곧 9명이 나온다. 이것이 합집합의 원소 개수 공식이다.

합집합의 원소 개수

합집합의 원소 개수
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
두 번 센 교집합을 한 번 빼 준다
📐 벤 다이어그램으로 확인하기
①A에만 속하는 원소는 n(A) − n(A ∩ B)개이다
②B에만 속하는 원소는 n(B) − n(A ∩ B)개이다
③두 집합에 함께 속하는 원소는 n(A ∩ B)개이다
④세 영역을 더하면 n(A) + n(B) − n(A ∩ B)이다
⑤위 그림의 세 숫자를 더해 보면 언제나 아래 줄의 n(A ∪ B)와 같다

여집합과 드모르간의 법칙

드모르간의 법칙 (1)
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
합집합의 여집합은 각 여집합의 교집합이다
드모르간의 법칙 (2)
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
교집합의 여집합은 각 여집합의 합집합이다
💡 기억하는 법
①괄호 밖의 여집합을 안으로 넣으면 ∪와 ∩이 서로 바뀐다
②'A 또는 B에 속하지 않는다'는 'A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는다'와 같은 말이다
③차집합도 같은 방식으로 A − B = A ∩ B^c로 쓸 수 있다

명제와 대우

1
1
명제 p → q
p → q가 거짓인 것은 p가 참이고 q가 거짓일 때뿐이다
가정이 참인데 결론이 거짓이면 명제는 거짓이다
🔍 역, 이, 대우
①역 q → p는 원래 명제와 참, 거짓이 같을 수도 다를 수도 있다
②이 ~p → ~q도 원래 명제와 참, 거짓이 같다고 할 수 없다
③대우 ~q → ~p는 원래 명제와 참, 거짓이 언제나 같다
④p → q를 직접 보이기 어려우면 대우 ~q → ~p를 보여 증명할 수 있다
⑤p → q가 참이면 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이다

예제와 단원평가

예제 1
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(A) = 20, n(B) = 15, n(A ∩ B) = 8일 때, n(A ∪ B)를 구하시오.
1
합집합의 원소 개수 공식을 쓴다.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2
값을 넣는다.
n(A ∪ B) = 20 + 15 − 8 = 27
▸ n(A ∪ B) = 27
A에만 12개, B에만 7개, 둘 다에 8개가 있으므로 12 + 7 + 8 = 27로도 확인된다.
예제 2
전체집합 U에 대하여 n(U) = 30, n(A) = 18, n(B) = 14, n(A ∩ B) = 7일 때, n(Ac ∩ Bc)를 구하시오.
1
먼저 합집합의 원소 개수를 구한다.
n(A ∪ B) = 18 + 14 − 7 = 25
2
드모르간의 법칙에 따라 Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c이므로 전체집합에서 뺀다.
n(Ac ∩ Bc) = n(U) − n(A ∪ B) = 30 − 25 = 5
▸ n(Ac ∩ Bc) = 5
A와 B 어디에도 속하지 않는 원소의 수를 묻는 문제이다. 벤 다이어그램에서 두 원 바깥의 영역에 해당한다.

정리

교육청 고1 학력평가 유형
실수 x에 대한 두 조건 p: 1 ≤ x ≤ 5, q: x ≥ k 가 있다. p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 k의 최댓값은?
①-1
②0
③1
④2
⑤3
▸ ③ 1
1
p가 q이기 위한 충분조건이면 진리집합 사이에 P ⊆ Q가 성립한다.
P = {x | 1 ≤ x ≤ 5}, Q = {x | x ≥ k}, P ⊆ Q
2
P의 모든 원소가 x ≥ k를 만족하려면 k가 P의 최솟값 1보다 크지 않아야 한다.
k ≤ 1이므로 최댓값은 k = 1
🎯 시험에 자주 나오는 것
①n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)이다
②드모르간의 법칙: 여집합을 괄호 안으로 넣으면 ∪와 ∩이 바뀐다
③p → q가 거짓인 것은 p가 참이고 q가 거짓일 때뿐이다
④명제와 그 대우는 참, 거짓이 언제나 같다
⑤p → q가 참일 때 p는 충분조건, q는 필요조건이다
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