공통수학›집합·명제·함수

집합과 명제

Sets & Propositions

집합 — 벤 다이어그램으로 보기

n(A)7

n(B)5

n(A∩B)3

💡 왜 빼야 하는가?

A에 7명, B에 5명이 있을 때 둘을 그냥 더하면 12명이 된다. 하지만 겹치는 사람을 두 번 세게 된다. 그래서 교집합을 한 번 빼줘야 정확한 합집합 원소 수가 나온다. 이것이 합집합 공식의 핵심이다.

합집합의 원소 개수

합집합 공식

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

겹치는 부분을 한 번 빼서 중복 제거

📐 벤 다이어그램으로 확인

①A만의 영역 = n(A) − n(A∩B)

②B만의 영역 = n(B) − n(A∩B)

③교집합 영역 = n(A∩B)

④세 영역을 더하면 = n(A) + n(B) − n(A∩B)

⑤위 슬라이더로 직접 확인해 보자

집합 연산과 드 모르간

드 모르간의 법칙

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

합집합의 여집합 = 각 여집합의 교집합

드 모르간 (2)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

교집합의 여집합 = 각 여집합의 합집합

💡 외우는 법

①여집합을 씌우면 ∪와 ∩이 뒤집힌다

②직관: 'A 또는 B에 속하지 않는 것' = 'A에도 속하지 않고 B에도 속하지 않는 것'

③차집합도 정리: A − B = A ∩ Bᶜ (A에서 B 겹치는 부분을 빼라)

명제와 대우 — 진리값 비교

p (0=거짓, 1=참)1

q (0=거짓, 1=참)1

명제 p → q

p → q 가 거짓인 경우: p=참, q=거짓 (오직 이 경우만!)

가정이 참인데 결론이 거짓이면 명제가 거짓

🔍 역·이·대우

①역: q → p (원래와 진리값 무관)

②이: ~p → ~q (원래와 진리값 무관)

③대우: ~q → ~p (원래와 항상 같은 진리값!)

④대우 증명법: p→q를 직접 증명하기 어려우면 ~q→~p를 증명

총정리

🎯 시험 포인트

①n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

②드 모르간: 여집합 씌우면 ∪ ↔ ∩ 뒤집힘

③p→q가 거짓 ⟺ p 참이고 q 거짓

④원래 명제 ⟺ 대우 (진리값 항상 같음)

⑤충분조건: p→q 참일 때 p는 q의 충분조건, q는 p의 필요조건