벡터의 연산

Vector Operations

벡터는 방향과 크기를 함께 가진 화살표예요. 두 화살표를 이어 붙이면 평행사변형의 대각선이 바로 두 벡터의 합이 되고, 화살표에 숫자(스칼라)를 곱하면 방향은 그대로인 채 길이만 늘었다 줄었다 하거나 반대로 뒤집혀요. 놀라운 건 이 모든 게 x성분끼리, y성분끼리 따로 더하고 곱하는 계산으로 딱 떨어진다는 점이에요. 슬라이더로 a와 b의 성분을 움직여 합벡터가 어떻게 그려지는지 보고, k를 바꿔 화살표가 늘어나고 뒤집히는 모습을 확인해 봐요.

벡터의 덧셈

a_x3

a_y2

b_x1

b_y3

👀 벡터 덧셈의 직관

①빨간 화살표 a와 파란 화살표 b가 원점 O에서 출발

②두 화살표 끝을 대각선으로 잇는 평행사변형을 만든다

③대각선이 바로 합벡터 a+b (골드)

④성분끼리 더하면 된다: (a_x+b_x, a_y+b_y)

스칼라배

스칼라 k1.5

↔️ 스칼라배란?

①k > 1이면 같은 방향으로 늘어난다

②0 < k < 1이면 같은 방향으로 줄어든다

③k < 0이면 반대 방향으로 뒤집힌다

④k = 0이면 영벡터가 된다

벡터 연산 법칙

벡터 덧셈 (성분)

a + b = (a_x + b_x, a_y + b_y)

각 성분끼리 더한다

스칼라배 (성분)

ka = (ka_x, ka_y)

각 성분에 k를 곱한다

📐 연산 법칙

①교환법칙: a + b = b + a

②결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)

③분배법칙: k(a + b) = ka + kb

④분배법칙: (k + m)a = ka + ma

위치벡터와 내분·외분

내분점의 위치벡터

p = na + mbm + n

선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P

중점의 위치벡터

p = a + b2

m = n = 1인 특수 경우

🎯 내분점 공식 기억법

①m:n 내분 → 상대편 계수 교차

②분모는 항상 m+n

③중점은 그냥 평균

④외분: m:n 외분 → 분모가 m−n (부호 주의)

직접 풀어보기

예제 1

a=(2, 3), b=(−1, 4)일 때 a+b와 2a−b를 구하시오.

덧셈은 성분끼리 더한다.

a + b = (2+(−1), 3+4) = (1, 7)

스칼라배 후 빼는 것도 성분끼리 계산한다.

2a − b = (4−(−1), 6−4) = (5, 2)

▸ a+b=(1, 7), 2a−b=(5, 2)

벡터 연산은 x성분끼리, y성분끼리 따로 계산하면 된다.

예제 2

a=(3, −4)일 때 크기 |a|와 a 방향의 단위벡터를 구하시오.

크기는 피타고라스 정리로 구한다.

| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5

단위벡터는 a를 자신의 크기로 나눈다.

a / | a | = (35, −45)

▸ |a|=5, 단위벡터=(3/5, −4/5)

단위벡터는 방향만 같고 크기가 1인 벡터다.

총정리

벡터 크기

| a | = √(a_x² + a_y²)

피타고라스 정리로 크기(길이) 계산

2023 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형

두 벡터 a=(1, 2), b=(3, k)에 대하여 a + b = (4, 5)일 때, k의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

▸ ③ 3

덧셈은 성분끼리 더하므로 y성분을 비교한다.

y성분: 2+k=5.

2 + k = 5 ⇒ k = 3

🎯 시험 포인트

①벡터 덧셈은 성분끼리 더하기

②스칼라배는 방향(부호)과 크기(절댓값)를 바꾼다

③평행 조건: a = kb (영이 아닌 스칼라 k가 존재)

④내분점 공식에서 계수 교차 순서 암기

⑤단위벡터: a / |a| (크기 1)