seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

벡터의 연산

Vector Operations

벡터는 크기와 방향을 함께 가진 양이라 화살표로 그려요. 두 벡터를 원점에서 출발시켜 평행사변형을 만들면 그 대각선이 두 벡터의 합이고, 벡터에 실수 k 를 곱하면 방향은 그대로 두거나 반대로 뒤집은 채 길이만 |k| 배가 돼요. 이 계산은 모두 x 성분끼리, y 성분끼리 따로 하면 되므로, 그림으로 본 것과 성분으로 계산한 것이 늘 같아요. 성분 슬라이더로 a 와 b 를 바꾸면 합벡터와 그 성분이 함께 바뀌고, k 를 움직이면 화살표가 늘었다 줄었다 하다가 k 가 음수일 때 뒤집혀요.

벡터의 덧셈

3
2
1
3
👀 그림에서 읽을 것
①빨간 화살표 a 와 파란 화살표 b 가 원점 O 에서 출발한다
②점선은 a 의 끝에서 b 만큼, b 의 끝에서 a 만큼 더 간 길이고, 두 길이 만나는 점이 평행사변형의 넷째 꼭짓점이다
③원점에서 그 꼭짓점까지 그은 금색 대각선이 합벡터 a + b 다
④위 띠처럼 x 성분끼리, y 성분끼리 더해도 같은 결과가 나온다

실수배

1.5
↔️ 실수배의 뜻
①k > 1 이면 같은 방향으로 늘어난다
②0 < k < 1 이면 같은 방향으로 줄어든다
③k < 0 이면 방향이 반대로 뒤집히고 길이는 |k| 배가 된다
④k = 0 이면 영벡터가 된다
⑤영벡터가 아닌 두 벡터 a, b 에 대해 a = kb 인 실수 k 가 있으면 두 벡터는 평행하다

벡터 연산의 법칙

벡터의 덧셈 (성분)
a + b = (ax + bx, ay + by)
각 성분끼리 더한다
실수배 (성분)
ka = (kax, kay)
각 성분에 k 를 곱한다
📐 연산 법칙
①교환법칙: a + b = b + a
②결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)
③분배법칙: k(a + b) = ka + kb
④분배법칙: (k + m)a = ka + ma
⑤영벡터가 아닌 a 를 크기 |a| 로 나누면 같은 방향의 단위벡터가 된다

위치벡터와 내분점 · 외분점

내분점의 위치벡터
p = na + mbm + n
선분 AB 를 m : n 으로 내분하는 점 P 의 위치벡터
중점의 위치벡터
p = a + b2
m = n = 1 인 경우다
🎯 내분점 공식 외우기
①m : n 으로 내분하면 a 에는 n, b 에는 m 을 엇갈려 곱한다
②분모는 m + n 이다
③중점은 두 위치벡터의 평균이다
④m : n 으로 외분하면 분모가 m − n 이고, a 쪽 계수의 부호가 바뀐다

예제

예제 1
a = (2, 3), b = (−1, 4) 일 때 a + b 와 2a − b 를 구하시오.
1
덧셈은 성분끼리 더한다.
a + b = (2 + (−1), 3 + 4) = (1, 7)
2
실수배를 한 뒤 빼는 것도 성분끼리 계산한다.
2a − b = (4 − (−1), 6 − 4) = (5, 2)
▸ a + b = (1, 7), 2a − b = (5, 2)
벡터의 연산은 x 성분끼리, y 성분끼리 따로 계산하면 된다.
예제 2
a = (3, −4) 일 때 크기 |a| 와 a 방향의 단위벡터를 구하시오.
1
크기는 피타고라스 정리로 구한다.
| a | = √(3² + (−4)²) = √25 = 5
2
단위벡터는 a 를 자신의 크기로 나눈 것이다.
a / | a | = (35, −45)
▸ |a| = 5, 단위벡터 (3/5, −4/5)
단위벡터는 방향이 같고 크기가 1 인 벡터다.

정리

벡터의 크기
| a | = √(ax² + ay²)
피타고라스 정리로 크기를 계산한다
2023 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형
두 벡터 a = (1, 2), b = (3, k) 에 대하여 a + b = (4, 5) 일 때, k 의 값은?
①1
②2
③3
④4
⑤5
▸ ③ 3
1
덧셈은 성분끼리 하므로 y 성분을 비교한다.
2
y 성분에서 2 + k = 5 다.
2 + k = 5 ⇒ k = 3
🎯 시험 포인트
①벡터의 덧셈은 성분끼리 더한다
②실수배는 k 의 부호로 방향을, |k| 로 크기를 바꾼다
③평행 조건은 a = kb 인 0 이 아닌 실수 k 가 있는 것이다
④내분점에서 P 가 A 에 가까울수록 a 의 계수가 크다
⑤단위벡터는 a / |a| 이고 크기가 1 이다
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평면벡터의 성분과 내적

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