쌍곡선

Hyperbola

쌍곡선은 두 초점까지 잰 거리의 '차'가 늘 일정한 점들이 모여 두 갈래로 갈라진 곡선이에요. 타원이 '거리의 합이 일정'한 곡선이라면, 쌍곡선은 '거리의 차가 일정'한 곡선이라고 짝지어 기억하면 쉬워요. 두 가지는 점근선이라는 직선에 한없이 가까워지지만 결코 닿지는 않아요. a와 b 슬라이더를 움직여 두 초점까지 거리의 차가 항상 2a로 유지되는 것과, 기본 직사각형의 대각선이 그대로 점근선이 되는 것을 확인해 봐요.

쌍곡선의 정의

a (실축 반길이)2

b (허축 반길이)1.5

👀 쌍곡선이란?

①두 초점 F, F'이 있다

②쌍곡선 위의 점 P에서 |PF' − PF| = 2a (차의 절댓값이 일정)

③타원은 '합이 일정', 쌍곡선은 '차가 일정'

④두 갈래(가지)로 나뉜 곡선이다

점근선과 직사각형

📐 점근선의 비밀

①가로 a, 세로 b인 직사각형을 원점에 그린다

②그 대각선을 무한히 연장한 것이 점근선

③쌍곡선은 점근선에 한없이 가까워지지만 절대 만나지 않는다

④점근선: y = ±(b/a)x

표준형 공식

쌍곡선 표준형 (가로)

x²a² − y²b² = 1

초점 (±c, 0), 점근선 y = ±(b/a)x

쌍곡선 표준형 (세로)

y²a² − x²b² = 1

초점 (0, ±c), 점근선 y = ±(a/b)x

🔍 타원과의 비교

①타원: + 부호 → 닫힌 곡선

②쌍곡선: − 부호 → 열린 곡선 (두 가지)

③타원: c² = a² − b² (a > b)

④쌍곡선: c² = a² + b² (a, b 대소 관계 없음)

초점과 이심률

초점 관계식

c² = a² + b²

초점거리² = 실축² + 허축²

이심률

e = ca > 1

e→1이면 점근선이 좁고, e가 크면 점근선이 넓다

🎯 이심률 직관

①쌍곡선의 이심률은 항상 e > 1

②e = √(1 + b²/a²)

③b/a가 클수록 점근선 기울기가 가파르고 e가 크다

④직각쌍곡선(a=b)이면 e = √2, 점근선은 y = ±x

직접 풀어보기

예제 1

쌍곡선 x²/9 − y²/16 = 1의 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 구하시오.

a²=9, b²=16에서 a=3, b=4. 초점은 c²=a²+b²로 구한다.

c² = 9 + 16 = 25, c = 5

가로형이므로 초점은 x축 위, 점근선은 y = ±(b/a)x.

초점 (±5, 0), 점근선 y = ±43x

▸ 초점 (±5, 0), 점근선 y = ±(4/3)x

쌍곡선은 c² = a² + b² (덧셈). 타원의 c² = a² − b²와 부호가 반대임에 주의.

예제 2

두 초점이 (±5, 0)이고 두 초점까지의 거리의 차가 6인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

거리의 차 2a = 6에서 a = 3. 초점에서 c = 5.

2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5

b² = c² − a²로 b²를 구하고 표준형에 대입한다.

b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1

▸ x²/9 − y²/16 = 1

정의 |PF′ − PF| = 2a를 출발점으로 a를 먼저 정하면 b²는 c² − a²로 따라온다.

총정리

핵심 비교

x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²

'−' 부호가 쌍곡선의 상징 | c는 항상 a보다 크다

2021 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형

쌍곡선 x²/4 − y²/5 = 1의 두 초점 사이의 거리는?

①6

②5

③4

④3

⑤2

▸ ① 6

a²=4, b²=5이므로 c² = a² + b² = 4 + 5 = 9, c = 3.

두 초점 사이의 거리는 2c.

2c = 2 × 3 = 6

🎯 시험 포인트

①정의: |PF' − PF| = 2a

②c² = a² + b² (타원과 부호 반대!)

③점근선 y = ±(b/a)x: 문제에서 자주 출제

④이심률 e > 1

⑤타원·포물선·쌍곡선의 이심률 비교: 타원(0<e<1), 포물선(e=1), 쌍곡선(e>1)