seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

쌍곡선

Hyperbola

쌍곡선은 두 초점까지의 거리의 차가 일정한 점들이 이루는 곡선으로, 두 갈래로 나뉘어 있어요. 타원은 거리의 합이 일정한 곡선, 쌍곡선은 거리의 차가 일정한 곡선이라고 짝지어 두면 기억하기 쉬워요. 쌍곡선의 두 가지는 점근선이라는 두 직선에 한없이 가까워지지만 끝내 만나지 않아요. a, b 와 점 P 의 위치를 움직이면 PF′ − PF 가 늘 2a 로 나오고, 가로 2a · 세로 2b 인 직사각형의 대각선이 점근선과 겹치는 것을 볼 수 있어요.

쌍곡선의 정의

2
1.5
1.5
👀 그림에서 읽을 것
①빨간 점 두 개가 초점 F′(−c, 0), F(c, 0) 이고 c² = a² + b² 다
②오른쪽 가지 위 점 P 에서 두 초점까지의 거리는 위 띠에 나오고, 그 차 PF′ − PF 는 P 를 어디로 옮겨도 2a 다
③왼쪽 가지 위의 점이라면 PF − PF′ = 2a 이므로, 두 가지를 함께 쓰면 |PF′ − PF| = 2a 다
④금색 점은 꼭짓점 (±a, 0) 이고, 점선은 점근선 y = ±(b/a)x 다

점근선과 직사각형

📐 점근선 그리는 법
①원점을 중심으로 가로 2a, 세로 2b 인 직사각형을 그린다
②두 대각선을 끝없이 늘이면 점근선 y = ±(b/a)x 가 된다
③쌍곡선은 점근선에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다
④꼭짓점 (±a, 0) 은 직사각형의 좌우 변 위에 있다

표준형

쌍곡선의 표준형 (주축이 x 축)
x²a² − y²b² = 1
초점 (±c, 0), 점근선 y = ±(b/a)x
쌍곡선의 표준형 (주축이 y 축)
y²a² − x²b² = 1
초점 (0, ±c), 점근선 y = ±(a/b)x
🔍 타원과 견주기
①타원은 두 항을 더한 꼴이라 닫힌 곡선이다
②쌍곡선은 두 항을 뺀 꼴이라 두 가지로 열린 곡선이다
③타원은 c² = a² − b² 이다
④쌍곡선은 c² = a² + b² 이고, a 와 b 의 크기 관계는 상관없다

초점과 이심률

초점의 관계식
c² = a² + b²
(중심에서 초점까지의 거리)² = a² + b²
이심률
e = ca > 1
b/a 가 작으면 e 가 1 에 가깝고 가지가 좁으며, b/a 가 크면 e 가 커지고 가지가 넓게 벌어진다
🎯 이심률의 뜻
①쌍곡선의 이심률은 언제나 e > 1 이다
②e = √(1 + b²/a²) 이다
③b/a 가 클수록 점근선이 가파르고 e 가 크다
④a = b 인 직각쌍곡선은 e = √2 이고 점근선이 y = ±x 다

예제

예제 1
쌍곡선 x²/9 − y²/16 = 1 의 초점의 좌표와 점근선의 방정식을 구하시오.
1
a² = 9, b² = 16 에서 a = 3, b = 4 이고, 초점은 c² = a² + b² 로 구한다.
c² = 9 + 16 = 25, c = 5
2
주축이 x 축이므로 초점은 x 축 위에 있고, 점근선은 y = ±(b/a)x 다.
초점 (±5, 0), 점근선 y = ±43x
▸ 초점 (±5, 0), 점근선 y = ±(4/3)x
쌍곡선은 c² = a² + b² 로 더한다. 타원의 c² = a² − b² 와 부호가 반대다.
예제 2
두 초점이 (±5, 0) 이고 두 초점까지의 거리의 차가 6 인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.
1
거리의 차 2a = 6 에서 a = 3 이고, 초점에서 c = 5 다.
2a = 6 ⇒ a = 3, c = 5
2
b² = c² − a² 로 b² 을 구해 표준형에 넣는다.
b² = 25 − 9 = 16, x²9 − y²16 = 1
▸ x²/9 − y²/16 = 1
정의 |PF′ − PF| = 2a 에서 a 를 먼저 정하면 b² 은 c² − a² 로 따라 나온다.

정리

핵심 비교
x²a² − y²b² = 1, c² = a² + b²
빼기 부호가 쌍곡선의 표시이고, c 는 언제나 a 보다 크다
2021 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형
쌍곡선 x²/4 − y²/5 = 1 의 두 초점 사이의 거리는?
①6
②5
③4
④3
⑤2
▸ ① 6
1
a² = 4, b² = 5 이므로 c² = a² + b² = 4 + 5 = 9, c = 3 이다.
2
두 초점 사이의 거리는 2c 다.
2c = 2 × 3 = 6
🎯 시험 포인트
①정의는 |PF′ − PF| = 2a 다
②c² = a² + b² 로 타원과 부호가 반대다
③점근선 y = ±(b/a)x 가 자주 나온다
④이심률은 e > 1 이다
⑤이심률로 견주면 타원은 0 < e < 1, 포물선은 e = 1, 쌍곡선은 e > 1 이다
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타원
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벡터의 연산

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