기하›이차곡선

타원

Ellipse

타원의 정의
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👀 타원이란?
①두 초점 F, F'이 있다
②타원 위의 어떤 점 P를 잡아도 PF + PF' = 2a (일정)
③장반축 a가 클수록 타원이 가로로 길어진다
④단반축 b가 a에 가까우면 원에 가까워진다
실과 핀으로 그리는 타원
📌 실 작도법
①두 초점에 핀을 꽂는다
②길이 2a인 실의 양 끝을 각 핀에 고정
③연필로 실을 팽팽하게 당기며 한 바퀴 돌리면 타원이 그려진다
④실의 길이가 일정 = PF + PF' = 2a (일정)
표준형 공식
타원의 표준형 (가로)
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
초점 (±c, 0), c² = a² − b²
타원의 표준형 (세로)
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
초점 (0, ±c), c² = a² − b²
🔍 공식 도출
①정의: PF + PF' = 2a
②P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)에 대해 거리 공식 적용
③정리하면 x²/a² + y²/b² = 1 (단, b² = a² − c²)
④큰 분모 아래의 변수 방향이 장축 방향이다
이심률과 모양
이심률
e = ca (0 < e < 1)
e→0이면 원, e→1이면 납작한 타원
🎯 이심률의 직관
①이심률 e = c/a = (초점거리)/(장반축)
②e가 0에 가까우면 두 초점이 중심에 모여 → 원에 가깝다
③e가 1에 가까우면 초점이 양 끝으로 벌어져 → 납작해진다
④행성 궤도는 타원: 지구 e≈0.017(거의 원), 혜성은 e≈0.99(매우 납작)
총정리
핵심 관계식
a² = b² + c²
장반축² = 단반축² + 초점거리²
🎯 시험 포인트
①타원의 정의: 두 초점까지 거리의 합 = 2a
②표준형에서 큰 분모 → 장축 방향
③c² = a² − b²로 초점 좌표 구하기
④이심률 e = c/a (0 < e < 1)
⑤꼭짓점이 (h,k)이면 x→(x−h), y→(y−k) 평행이동