seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

타원

Ellipse

타원은 두 점(초점)까지의 거리의 합이 일정한 점들이 이루는 곡선이에요. 두 핀에 실의 양 끝을 묶고 연필로 실을 팽팽하게 당긴 채 한 바퀴 돌리면 타원이 그려지는데, 이때 실의 길이가 바로 그 거리의 합이에요. 행성이 태양 둘레를 도는 궤도도 타원이고, 태양은 그 두 초점 가운데 하나에 있어요. 가로 반축 a 와 세로 반축 b 를 바꾸면 초점의 자리가 따라 움직이고, 점 P 에서 두 초점까지 거리의 합은 언제나 긴 축의 길이와 같아요.

타원의 정의

3
2
👀 그림에서 읽을 것
①빨간 점 두 개가 초점 F, F′ 이고, 초록 선분이 점 P 에서 두 초점까지의 거리다
②위 띠의 PF′ + PF 는 a 와 b 를 어떻게 바꿔도 긴 반축의 두 배와 같다
③a > b 이면 가로로 긴 타원이라 초점이 x 축 위의 (±c, 0) 에 있고, c² = a² − b² 다
④b > a 이면 세로로 긴 타원이 되어 초점이 y 축 위의 (0, ±c) 로 옮겨 가고, 이때 c² = b² − a² 이며 거리의 합은 2b 다
⑤a = b 이면 두 초점이 중심에서 만나 원이 된다

실과 핀으로 그리기

📌 실로 그리는 방법
①두 초점에 핀을 꽂는다
②길이가 긴 축의 길이와 같은 실의 양 끝을 두 핀에 묶는다
③연필로 실을 팽팽하게 당긴 채 한 바퀴 돌리면 타원이 그려진다
④실의 길이가 변하지 않으므로 연필 끝에서 두 핀까지 거리의 합이 일정하다

표준형

타원의 표준형 (가로로 긴 꼴)
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
초점 (±c, 0), c² = a² − b²
타원의 표준형 (세로로 긴 꼴)
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
초점 (0, ±c), c² = a² − b². 이 식의 a 는 긴 반축이라 y² 아래에 온다
🔍 식을 세우는 과정
①정의는 PF + PF′ = 2a 다
②P(x, y), F(c, 0), F′(−c, 0) 에 거리 공식을 쓴다
③근호를 하나씩 없애며 정리하면 x²/a² + y²/b² = 1 이 되고, b² = a² − c² 다
④분모가 큰 쪽의 변수 방향이 긴 축 방향이다

이심률과 모양

이심률
e = ca (0 < e < 1)
e 가 0 에 가까우면 원에 가깝고, 1 에 가까우면 납작한 타원이다
🎯 이심률의 뜻
①이심률 e = c/a 는 중심에서 초점까지의 거리를 긴 반축으로 나눈 값이다
②e 가 0 에 가까우면 두 초점이 중심에 모여 원에 가깝다
③e 가 1 에 가까우면 초점이 양 끝으로 벌어져 납작해진다
④지구 공전 궤도의 이심률은 약 0.017 로 거의 원이고, 핼리 혜성은 약 0.97 로 매우 납작하다

예제

예제 1
타원 x²/25 + y²/9 = 1 의 두 초점의 좌표와 장축의 길이를 구하시오.
1
a 와 b 를 읽고 c² = a² − b² 로 c 를 구한다.
a² = 25, b² = 9 ⇒ c² = 25 − 9 = 16, c = 4
2
초점은 (±c, 0) 이고 장축의 길이는 2a 다.
초점 (±4, 0), 장축 2a = 10
▸ 초점 (±4, 0), 장축의 길이 10
큰 분모 25 가 x² 아래에 있으므로 장축은 가로 방향이고 초점도 x 축 위에 있다.
예제 2
두 초점이 (±3, 0) 이고 두 초점까지의 거리의 합이 10 인 타원의 방정식을 구하시오.
1
거리의 합 2a = 10 에서 a 를 구하고, 초점에서 c 를 읽는다.
2a = 10 ⇒ a = 5, c = 3
2
b² = a² − c² 로 b² 을 구해 표준형에 넣는다.
b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1
▸ x²/25 + y²/16 = 1
정의(거리의 합 = 2a)에서 a 를 먼저 얻고 초점의 좌표에서 c 를 읽으면 b² 이 정해진다.

정리

핵심 관계식
a² = b² + c²
(긴 반축)² = (짧은 반축)² + (중심에서 초점까지의 거리)²
2022 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형
타원 x²/16 + y²/7 = 1 의 두 초점 사이의 거리는?
①6
②5
③4
④3
⑤8
▸ ① 6
1
a² = 16, b² = 7 이므로 c² = a² − b² = 16 − 7 = 9, c = 3 이다.
2
두 초점 사이의 거리는 2c 다.
2c = 6
🎯 시험 포인트
①타원의 정의는 두 초점까지의 거리의 합이 2a 로 일정하다는 것이다
②표준형에서 분모가 큰 쪽이 긴 축 방향이다
③c² = a² − b² 로 초점의 좌표를 구한다
④이심률은 e = c/a 이고 0 < e < 1 이다
⑤중심이 (h, k) 이면 x 대신 x − h, y 대신 y − k 를 넣는다
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쌍곡선

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