타원은 두 점(초점)에서 잰 거리의 합이 늘 일정한 점들이 모여 이루는 곡선이에요.
실 양 끝을 두 핀에 걸고 연필로 팽팽하게 당겨 한 바퀴 돌리면 타원이 그려지는데, 이때 실의 길이가 바로 그 '거리의 합'이에요.
행성이 태양을 도는 궤도도 살짝 찌그러진 타원 모양이랍니다.
장반축 a와 단반축 b 슬라이더를 움직여, 점 P에서 두 초점까지 거리의 합이 항상 2a로 일정하게 유지되는 것을 확인해 봐요.
타원의 정의
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타원의 두 초점과 점 P에서 초점까지 거리의 합
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👀 타원이란?
①두 초점 F, F'이 있다
②타원 위의 어떤 점 P를 잡아도 PF + PF' = 2a (일정)
③장반축 a가 클수록 타원이 가로로 길어진다
④단반축 b가 a에 가까우면 원에 가까워진다
실과 핀으로 그리는 타원
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두 초점에 핀을 꽂고 실로 타원을 그리는 애니메이션
📌 실 작도법
①두 초점에 핀을 꽂는다
②길이 2a인 실의 양 끝을 각 핀에 고정
③연필로 실을 팽팽하게 당기며 한 바퀴 돌리면 타원이 그려진다
④실의 길이가 일정 = PF + PF' = 2a (일정)
표준형 공식
타원의 표준형 (가로)
x²a² + y²b² = 1 (a > b > 0)
초점 (±c, 0), c² = a² − b²
타원의 표준형 (세로)
x²b² + y²a² = 1 (a > b > 0)
초점 (0, ±c), c² = a² − b²
🔍 공식 도출
①정의: PF + PF' = 2a
②P(x,y), F(c,0), F'(-c,0)에 대해 거리 공식 적용
③정리하면 x²/a² + y²/b² = 1 (단, b² = a² − c²)
④큰 분모 아래의 변수 방향이 장축 방향이다
이심률과 모양
이심률
e = ca (0 < e < 1)
e→0이면 원, e→1이면 납작한 타원
🎯 이심률의 직관
①이심률 e = c/a = (초점거리)/(장반축)
②e가 0에 가까우면 두 초점이 중심에 모여 → 원에 가깝다
③e가 1에 가까우면 초점이 양 끝으로 벌어져 → 납작해진다
④행성 궤도는 타원: 지구 e≈0.017(거의 원), 혜성은 e≈0.99(매우 납작)
직접 풀어보기
예제 1
타원 x²/25 + y²/9 = 1의 두 초점의 좌표와 장축의 길이를 구하시오.
1
a, b를 읽고 c² = a² − b²로 c를 구한다.
a²=25, b²=9 ⇒ c²=25−9=16, c=4
2
초점은 (±c, 0), 장축의 길이는 2a이다.
초점 (±4, 0), 장축 2a=10
▸ 초점 (±4, 0), 장축의 길이 10
큰 분모(25)가 x² 아래이므로 장축은 가로 방향이고 초점도 x축 위에 있다.
예제 2
두 초점이 (±3, 0)이고 두 초점까지의 거리의 합이 10인 타원의 방정식을 구하시오.
1
거리의 합 2a=10에서 a를 구하고, 초점에서 c를 읽는다.
2a=10 ⇒ a=5, c=3
2
b² = a² − c²로 b²을 구해 표준형에 대입한다.
b²=25−9=16 ⇒ x²25 + y²16 = 1
▸ x²/25 + y²/16 = 1
정의(거리의 합=2a)에서 a를 먼저 얻고, c는 초점 좌표에서 바로 읽으면 b²이 결정된다.