포물선

초점과 준선의 직관

이차식의 그래프와 초점·준선 정의는 같은 곡선을 가리키지만, 읽는 입구가 다르다. 점 P 에서 초점 F 까지 길이와 준선까지 수선 길이가 같다는 조건이 포물선이고, 표준형 y² = 4px 는 그 조건을 계수 하나에 담은 식이다. 초점은 (p, 0), 준선은 x = −p, 꼭짓점은 원점이라서, 4p 만 읽으면 세 자리가 같이 나온다. 세로로 열린 꼴은 x² = 4py 이고, 꼭짓점이 (h, k) 로 옮으면 초점도 같은 방향으로 함께 옮긴다. 평행한 빛 다발은 이 등거리 규칙의 결과이지, 이차식이라는 이유만으로 생기는 성질이 아니에요.

첫 그림은 y² = 4px 를 옆으로 연 곡선이다. 금색 점 F 는 (p, 0) 에 찍혀 있고, 파란 점선 준선은 x = −p 에 세워져 있으며, 꼭짓점 O 는 원점에 있다. 초록 점 P 에서 F 로, 또 준선으로 수선이 이어져 있고 곁에 PF = Pd 가 적혀 있다. 초점 거리 p 는 0.5 부터 3 까지이고 처음 값은 1.5 이다. p 를 키우면 F 는 오른쪽으로, 준선은 왼쪽으로 더 벌어지고 곡선은 더 넓게 그려진다. 둘째 그림에는 비교용으로 p = 0.5, 1.0, 2.0 세 곡선이 겹쳐 있고, 고른 p 에 가까운 선이 더 진하다. 아래 문장은 p 가 클수록 포물선이 넓어진다고 적혀 있어요.

p에 따른 모양 변화

y² = 4px 에서 오른쪽 계수를 p 로 읽으면 초점과 준선이 네 배만큼 어긋난다. 비교해야 하는 값은 4p 이고, 초점은 (p, 0), 준선은 x = −p 다. p 를 키우면 곡선이 좁아진다고 생각하면 둘째 그림과 반대다. p = 0.5 보다 p = 2.0 쪽이 더 넓게 열려 있다. 꼭짓점만 보고 초점과 준선을 빼면, 곡선 위 한 점에서 두 길이가 같아야 한다는 검사를 할 수 없다. 이 그림의 p 슬라이더는 0.5 이상이라 오른쪽으로 열린 꼴만 그려져 있고, p < 0 으로 왼쪽이 열리는 경우는 식의 부호로만 적혀 있어요.

표준형 공식 도출

꼭짓점이 원점이 아닌 경우

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총정리