포물선

초점과 준선

이차함수의 그래프로만 보던 포물선을 초점과 준선으로 다시 정의하는 까닭은, 곡선이 왜 그런 모양인지를 한 가지 조건으로 설명할 수 있기 때문이다. 곡선 위의 점 P 에서 초점 F 까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다는 조건을 좌표로 쓰면 표준형 y² = 4px 가 나온다. 이 식에서 4p 만 읽으면 초점 (p, 0), 준선 x = −p, 꼭짓점인 원점이 한꺼번에 정해진다. 위아래로 열린 포물선은 x² = 4py 이고, 꼭짓점이 (h, k) 로 옮겨 가면 초점과 준선도 같은 방향으로 같은 만큼 옮겨 간다. 초점에서 나온 빛이 반사되어 축에 평행하게 나가는 성질도 이 거리 조건에서 나오는 결과다.

첫째 그림은 오른쪽으로 열린 포물선 y² = 4px 이다. 금색 점이 초점 F(p, 0), 파란 점선이 준선 x = −p 이고, 초록 점 P 는 곡선 위를 움직인다. 초록 선분이 PF, 파란 선분이 P 에서 준선에 내린 수선 PD 이며, 위 띠에 두 길이가 함께 나온다. 점 P 의 y 좌표를 위아래로 옮겨도, 초점 거리 p 를 0.5 에서 3 까지 바꿔도 PF 와 PD 는 언제나 같고 그 값은 x + p 다. 둘째 그림에는 p = 0.5, 1, 2 인 기준 곡선이 흐리게 깔려 있고, 고른 p 의 곡선과 초점이 금색으로 겹쳐 그려진다. 기준 곡선과 견주어 보면 p 가 클수록 곡선이 더 넓게 열리는 것을 알 수 있다.

p 에 따른 모양

y² = 4px 에서 x 의 계수 4p 를 그대로 p 로 읽으면 초점과 준선이 네 배 멀리 놓인다. y² = 12x 라면 4p = 12 이므로 p = 3 이고, 초점은 (3, 0), 준선은 x = −3 이다. p 가 커지면 곡선이 좁아진다고 생각하기 쉽지만 반대다. 같은 x 에서 y² = 4px 의 y 의 크기는 p 가 클수록 커지므로, 둘째 그림에서 p = 2 인 곡선이 p = 0.5 인 곡선보다 넓게 열린다. 꼭짓점만 보고 초점과 준선을 잊으면, 곡선 위의 점에서 두 거리가 같은지 확인하는 검산도 할 수 없다. 이 그림은 p > 0 인 경우만 그렸고, p < 0 이면 같은 식이 왼쪽으로 열린 포물선을 나타낸다.

표준형 구하기

꼭짓점이 원점이 아닐 때

예제

정리