포물선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)에서 똑같은 거리에 있는 점들이 모여 만들어지는 곡선이에요.
'거리가 같다'는 이 하나의 규칙이 포물선의 모든 성질을 결정해요.
위성 안테나와 자동차 헤드라이트가 포물선을 쓰는 것도, 초점에 모인 빛을 평행하게 쏘아 보내는 성질 덕분이에요.
초점 거리 p 슬라이더를 움직여 포물선이 넓어지고 좁아지는 모습과, 점 P에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 늘 같아지는 것을 확인해 봐요.
초점과 준선의 직관
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포물선의 초점, 준선, 꼭짓점 시각화
1.5
👀 포물선이란?
①포물선 위의 아무 점 P를 찍어 보자
②초점 F까지의 거리와 준선까지의 거리가 항상 같다
③이 '같은 거리' 조건이 포물선의 정의이다
④초점에서 나온 빛은 포물선에 반사되어 평행하게 나간다. 위성안테나, 헤드라이트의 원리!
p에 따른 모양 변화
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p값에 따른 포물선 형태 비교
1.5
📏 p의 의미
①p가 크면 초점이 멀어지고 포물선이 넓게 퍼진다
②p가 작으면 초점이 가까워지고 포물선이 좁아진다
③준선은 항상 초점의 반대편 같은 거리에 있다
표준형 공식 도출
포물선의 표준형 (가로)
y² = 4px
초점 F(p, 0), 준선 x = −p, 꼭짓점 원점
포물선의 표준형 (세로)
x² = 4py
초점 F(0, p), 준선 y = −p, 꼭짓점 원점
🔍 도출 과정
①포물선의 정의: PF = Pd (초점까지 거리 = 준선까지 거리)
②점 P(x,y)에서 F(p,0)까지 거리: √((x−p)² + y²)
③준선 x=−p까지 거리: |x+p|
④양변을 제곱하면 (x−p)² + y² = (x+p)²
⑤전개하면 y² = 4px
꼭짓점이 원점이 아닌 경우
평행이동된 포물선
(y − k)² = 4p(x − h)
꼭짓점 (h, k), 초점 (h+p, k)
🎯 평행이동 핵심
①x 대신 (x−h), y 대신 (y−k)를 대입
②초점도 같은 방향으로 (h,k)만큼 이동
③준선도 x = h−p로 이동
④공식의 구조는 동일하다
직접 풀어보기
예제 1
포물선 y²=12x의 초점과 준선을 구하시오.
1
표준형 y²=4px와 비교하여 p를 구한다.
4p=12 ⇒ p=3
2
초점은 (p, 0), 준선은 x=−p이다.
초점 (3, 0), 준선 x=−3
▸ 초점 (3, 0), 준선 x=−3
y²=4px 꼴에서 4p의 값만 비교하면 초점과 준선이 바로 나온다.
예제 2
포물선 (y−1)²=8(x−2)의 초점의 좌표를 구하시오.
1
꼭짓점은 (2, 1)이고 4p=8에서 p=2이다.
4p=8 ⇒ p=2, 꼭짓점 (2, 1)
2
초점은 꼭짓점에서 x방향으로 p만큼 이동한 (h+p, k)이다.
초점 (2+2, 1) = (4, 1)
▸ (4, 1)
평행이동된 포물선은 꼭짓점 (h,k)에 p를 더해 초점을 구한다. 준선은 x=h−p=0이다.