seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

정적분의 활용

Applications of Definite Integrals

곡선을 x 축 둘레로 한 바퀴 돌리면 입체가 생겨요. 그 입체를 x 축에 수직으로 얇게 자르면 단면은 반지름이 f(x) 인 원판이라서, 원판의 넓이 π[f(x)]² 를 x 에 대해 적분하면 부피가 나와요. 곡선의 길이도 같은 생각으로, 곡선을 아주 짧은 선분 ds = √(dx² + dy²) 로 잘라 피타고라스 정리로 재고 모두 더하면 돼요. 회전각을 돌리면 곡선이 x 축 둘레로 돌아가며 단면 원이 그려지고, 위끝 t 를 움직이면 곡선의 길이와 그 정확한 값이 함께 바뀌어요.

회전체의 부피

270°
√x
🍩 원판을 쌓는다
①곡선을 x 축 둘레로 한 바퀴 돌리면 입체가 된다. 점선은 회전각만큼 돌아간 곡선이고, 주황 호는 각 x 에서 그려지는 단면 원이다
②x 에서 자른 단면은 반지름이 f(x) 인 원판이고, 그 넓이는 π[f(x)]² 다
③이 넓이를 x 에 대해 적분하면 부피가 된다. 그림 아래에 고른 함수의 부피를 정확한 값으로 적었다

부피를 구하는 세 가지 방법

원판법
V = π ∫ab [f(x)]² dx
x 축 둘레로 회전할 때, 반지름이 f(x) 인 원판의 넓이를 적분한다
와셔법
V = π ∫ab ([R(x)]² − [r(x)]²) dx
두 곡선 사이의 영역을 회전할 때, 바깥 반지름 R 의 원에서 안쪽 반지름 r 의 원을 뺀 고리의 넓이를 적분한다
원통껍질법
V = 2π ∫ab x · f(x) dx
y 축 둘레로 회전할 때, 반지름 x, 높이 f(x) 인 얇은 원통 껍질의 옆넓이 2πx · f(x) 를 적분한다
💡 어떤 방법을 쓸까
①x 축 둘레로 돌리고 x 로 적분하면 원판법이다
②가운데가 빈 입체는 와셔법으로 바깥 원에서 안쪽 원을 뺀다
③y 축 둘레로 돌리면서 x 로 적분하고 싶을 때 원통껍질법을 쓴다. 둘 다 가능하면 계산이 간단한 쪽을 고른다

곡선의 길이

3
📏 곡선을 따라 재기
①곡선을 아주 짧게 자르면 각 조각은 직선 ds 에 가깝다
②ds = √(dx² + dy²) 는 피타고라스 정리다. dy = f′(x) dx 이므로 ds = √(1 + [f′(x)]²) dx 다
③y = x√x 이면 f′(x) = (3/2)√x 라서 1 + [f′(x)]² = 1 + 9x/4 이고, 이를 0 부터 t 까지 적분한 값이 그림 아래의 L 이다
④같은 두 끝점을 곧은 선분으로 이으면 길이가 L 보다 짧다
곡선의 길이
L = ∫ab √(1 + [f′(x)]²) dx
ds = √(1 + (dy/dx)²) dx 를 적분한다

넓이와 이동 거리

두 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab |f(x) − g(x)| dx
위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 뺀 값을 적분한다. 위아래가 바뀌는 교점이 있으면 구간을 나눈다
속도와 이동 거리
거리 = ∫ab |v(t)| dt, 변위 = ∫ab v(t) dt
속도의 절댓값을 적분하면 실제로 움직인 거리이고, 속도를 그대로 적분하면 위치의 변화(변위)다
🚗 적분으로 쌓는 양
①속도 v(t) 를 적분하면 위치의 변화(변위), |v(t)| 를 적분하면 움직인 거리다
②가속도 a(t) 를 적분하면 속도의 변화다
③적분은 작은 양을 쌓는 계산이다. 원판의 넓이를 쌓으면 부피, 짧은 선분을 쌓으면 곡선의 길이가 된다

예제

예제 1
곡선 y = √x (0 ≤ x ≤ 4) 를 x 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 구하시오.
1
원판법 V = π∫[f(x)]² dx 를 쓴다. [f(x)]² = x 다.
V = π ∫04 (√x)2 dx = π ∫04 x dx
2
정적분을 계산한다.
π · 422 = π · 8 = 8π
▸ 8π
회전체의 부피는 단면 원판의 넓이 π[f(x)]² 를 적분한 것이다. 그림의 y = √x 는 구간이 0 ≤ x ≤ 2 라서 2π 이고, 0 ≤ x ≤ 4 이면 8π 가 된다.
예제 2
두 곡선 y = x2 과 y = 2x 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
1
교점을 구해 적분 구간을 정한다. 0 < x < 2 에서 2x 가 위쪽, x2 이 아래쪽이다.
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
(위쪽 − 아래쪽) 을 적분한다.
∫02 (2x − x2) dx = 4 − 83 = 43
▸ 43
넓이는 교점 사이에서 (위쪽 함수 − 아래쪽 함수) 를 적분한다. 위아래 관계부터 확인한다.

정리

정적분 활용의 세 공식
V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1 + [f′(x)]²)dx, S = ∫|f − g|dx
회전체의 부피, 곡선의 길이, 두 곡선 사이의 넓이
수능 유형 변형
수직선 위를 움직이는 점 P 의 속도가 v(t) = 3t2 − 6t 일 때, t = 0 에서 t = 3 까지 점 P 가 움직인 거리는?
①4
②6
③8
④10
⑤12
▸ ③ 8
1
v(t) = 3t(t − 2) 의 부호를 본다. 0 < t < 2 에서 음수, 2 < t < 3 에서 양수다. 위치는 s(t) = t3 − 3t2 으로 둔다.
v(t) = 3t(t − 2), s(t) = t3 − 3t2
2
움직인 거리는 ∫|v| dt 이므로 구간마다 변위의 절댓값을 더한다.
|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8
🎯 시험 포인트
①원판법 V = π∫[f(x)]² dx 가 x 축 회전의 기본이다
②와셔법은 [R(x)]² − [r(x)]² 처럼 제곱의 차를 쓴다. (R − r)² 가 아니다
③원통껍질법 2π∫x · f(x) dx 는 y 축 회전에서 편하다
④곡선의 길이는 f′(x) 를 먼저 구해 √(1 + [f′(x)]²) 를 정리하는 것이 핵심이다
⑤넓이는 위아래가 바뀌는 교점부터 확인한다
← 이전
두 곡선 사이의 넓이
다음 →
포물선

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