정적분의 활용

Applications of Definite Integrals

곡선 하나를 x축 둘레로 빙 돌리면 입체가 만들어져요. 그 입체를 아주 얇은 원판으로 잘라 보면 각 원판은 반지름이 f(x)인 원이라서, 원판 넓이 π[f(x)]²를 죽 쌓아 적분하면 부피가 나와요. 곡선의 길이도 똑같은 발상인데, 곡선을 잘게 자른 직선 조각 ds = √(dx²+dy²)를 피타고라스 정리로 재서 전부 이어 붙이면 돼요. 아래에서 회전각을 돌려 회전체가 만들어지는 모습을, 상한 t를 움직여 호의 길이가 쌓이는 과정을 확인해 봐요.

회전체의 부피

회전각270°

함수 선택0

🍩 디스크를 쌓자

①곡선을 x축 둘레로 회전하면 입체가 된다

②각 x 위치에서 원판(디스크)의 반지름 = f(x)

③원판의 넓이 = π[f(x)]² → 이것을 적분하면 부피

부피 공식

디스크법 (원판법)

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

x축 회전: 반지름 f(x)인 원판의 넓이를 적분

와셔법

V = π ∫_a^b ([R(x)]² − [r(x)]²) dx

두 함수 사이의 영역 회전: 바깥 반지름 R, 안쪽 반지름 r

셸법 (원통껍질법)

V = 2π ∫_a^b x · f(x) dx

y축 회전: 반지름 x, 높이 f(x)인 원통 껍질을 적분

💡 디스크 vs 셸

①x축 회전 + x로 적분 → 디스크법

②y축 회전 + x로 적분 → 셸법

③둘 다 가능할 때는 계산이 간단한 쪽을 선택

호의 길이

상한 t3

📏 곡선을 따라 재자

①곡선을 아주 짧게 자르면 직선 조각(ds)이 된다

②ds = √(dx² + dy²): 피타고라스 정리!

③이 조각들을 모두 더하면(적분하면) 호의 길이

호의 길이 공식

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

ds = √(1 + (dy/dx)²) dx를 적분

넓이와 속도·거리

두 곡선 사이의 넓이

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

위쪽 함수 − 아래쪽 함수의 절댓값을 적분

속도와 거리

거리 = ∫_a^b |v(t)| dt, 변위 = ∫_a^b v(t) dt

속도의 절댓값 적분 = 총 이동거리, 속도 적분 = 변위(부호 있음)

🚗 적분의 물리적 의미

①속도 v(t)를 적분하면 → 이동거리

②가속도 a(t)를 적분하면 → 속도

③적분은 '쌓는 것'이다. 순간을 쌓으면 전체가 된다

예제로 익히기

예제 1

곡선 y = √x (0 ≤ x ≤ 4)를 x축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 구하시오.

디스크법 V = π∫[f(x)]² dx 를 쓴다. [f(x)]² = x.

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

정적분을 계산한다.

π · 4²2 = π · 8 = 8π

▸ 8π

회전체 부피는 각 단면 원판의 넓이 π[f(x)]²를 적분한 것. x축 회전이면 디스크법이 기본.

예제 2

두 곡선 y = x² 과 y = 2x 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

교점을 구해 적분 구간과 위·아래 함수를 정한다.

x² = 2x ⇒ x = 0, 2, 위쪽 2x · 아래쪽 x²

(위 − 아래)를 적분한다.

∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 83 = 43

▸ 43

넓이는 (위쪽 함수 − 아래쪽 함수)를 교점 사이에서 적분한다. 위·아래 관계 확인이 먼저.

총정리

정적분 활용 핵심 3공식

V = π∫[f(x)]²dx, L = ∫√(1+[f']²)dx, S = ∫|f−g|dx

회전체 부피, 호의 길이, 두 곡선 사이 넓이

수능 유형 변형

수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 v(t) = 3t² − 6t 일 때, t = 0에서 t = 3까지 점 P가 움직인 거리는?

①4

②6

③8

④10

⑤12

▸ ③ 8

v(t) = 3t(t − 2)의 부호를 본다 (구간 (0,2)에서 음, (2,3)에서 양).

v(t) = 3t(t − 2), 위치 s(t) = t³ − 3t²

총 이동거리는 ∫|v| dt이므로 구간별 변위의 절댓값을 더한다.

|s(2) − s(0)| + |s(3) − s(2)| = 4 + 4 = 8

🎯 시험 포인트

①디스크법: V = π∫[f(x)]²dx. x축 회전 기본

②와셔법: 두 함수 → [R²−r²] 차이 주의

③셸법: 2π∫x·f(x)dx. y축 회전시 유리

④호의 길이: √(1+f'²) 계산이 핵심, f'을 먼저 구하자

⑤넓이: |f−g| 절댓값 → 위아래 관계가 바뀌는 교차점 확인 필수

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두 곡선 사이의 넓이

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