두 곡선 사이에 갇힌 넓이를 구하는 원리는 생각보다 단순해요.
위에 있는 곡선에서 아래에 있는 곡선을 뺀 차이를 적분하면, 그 값이 두 곡선 사이의 넓이예요.
그래서 두 곡선이 만나는 교점을 먼저 찾아 적분 구간의 양 끝으로 삼고, 그 구간에서 어느 곡선이 위인지만 확인하면 돼요.
그림에서 오른쪽 끝 b 를 옮기면 y = x 와 y = x² 사이의 넓이가 b = 1 에서 1/6 까지 차올라요.
위 곡선에서 아래 곡선을 뺀다
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y = x 와 y = x² 이 둘러싼 영역의 0 부터 b 까지. 위에 그 넓이 S 가 적힌다
1
👀 그림에서 읽을 것
①두 곡선 사이의 넓이는 (위 곡선 − 아래 곡선)을 적분한 값이다
②0 ≤ x ≤ 1 에서는 y = x 가 위, y = x² 이 아래에 있다
③b 를 1 까지 옮기면 넓이는 1/6 ≈ 0.1667 이 된다
④x > 1 에서는 y = x² 이 위로 올라가 위아래가 바뀐다
넓이 공식
두 곡선 사이의 넓이
S = ∫ab (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)
a, b 는 두 곡선이 만나는 점의 x좌표이고, f 는 위쪽 곡선, g 는 아래쪽 곡선이다
교점부터 구한다
적분 구간은 교점
f(x) = g(x)
두 식을 같게 놓고 푼 x 의 값이 적분의 양 끝 a, b 가 된다
예제로 확인하기
예제 1
곡선 y=x와 y=x²로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
1
두 식을 같게 놓아 교점을 구한다.
x = x2 ⇒ x = 0, 1
2
0 ≤ x ≤ 1 에서 y = x 가 위이므로 x − x² 을 적분한다.
S = ∫01 (x − x2) dx = [x22 − x33]01 = 16
▸ 1/6
x = 1/2 을 넣어 보면 x = 0.5 가 x² = 0.25 보다 크므로 y = x 가 위이다. 한 점만 넣어 보면 빼는 순서를 틀리지 않는다.
예제 2
곡선 y=x²과 직선 y=2x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
1
두 식을 같게 놓아 교점을 구한다.
x2 = 2x ⇒ x = 0, 2
2
0 ≤ x ≤ 2 에서 직선 y = 2x 가 위이므로 2x − x² 을 적분한다.
S = ∫02 (2x − x2) dx = [x2 − x33]02 = 43
▸ 4/3
곡선과 직선 사이도 위에서 아래를 빼서 적분한다는 원칙은 같다.
정리
풀이 전략
S = ∫ab (위 − 아래) dx, a·b는 교점
교점으로 구간을 정하고, 위에서 아래를 빼서 적분한다
2022 교육청 학평 수학 유형 변형
곡선 y=x²−2x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
①2/3
②1
③4/3
④2
⑤8/3
▸ ③ 4/3
1
x축(y = 0)과 만나는 점을 구한다.
x2 − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2
2
0 ≤ x ≤ 2 에서 곡선이 x축 아래에 있으므로 0 − (x² − 2x) 를 적분한다.