두 곡선 사이의 넓이

Area Between Curves

두 곡선 사이에 갇힌 넓이를 구하는 원리는 생각보다 단순해요. 위에 있는 곡선에서 아래에 있는 곡선을 뺀 다음, 그 차이를 적분하면 그것이 바로 두 곡선 사이의 넓이예요. 그래서 두 곡선이 만나는 교점을 먼저 찾아 적분 구간의 양 끝으로 삼고, 구간 안에서 누가 위쪽인지만 확인하면 돼요. 아래에서 오른쪽 끝 b를 움직여 y=x와 y=x² 사이의 넓이가 1/6까지 채워지는 모습을 확인해 봐요.

위 곡선에서 아래 곡선을 뺀다

오른쪽 끝 b1

👀 눈으로 보자

①두 곡선 사이의 넓이는 (위 곡선 − 아래 곡선)을 적분한 값

②[0,1]에서는 y=x가 위, y=x²이 아래

③b를 1까지 늘리면 사이 넓이는 1/6로 채워진다

넓이 공식

두 곡선 사이의 넓이

S = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx (f ≥ g)

a, b는 두 곡선의 교점의 x좌표, f는 위쪽·g는 아래쪽 곡선

교점부터 구한다

적분 구간 = 교점

f(x) = g(x)

두 식을 연립해 나온 x값이 곧 적분의 양 끝(a, b)이 된다

직접 구해 보자

예제 1

곡선 y=x와 y=x²로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

교점을 구한다. 두 식을 연립한다.

x = x² ⇒ x = 0, 1

[0,1]에서 x가 위쪽이므로 (x − x²)을 적분한다.

S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²2 − x³3]₀¹ = 16

▸ 1/6

어느 곡선이 위인지 구간에서 한 점만 대입해 확인하면 부호 실수를 막는다.

예제 2

곡선 y=x²과 직선 y=2x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

교점을 구한다.

x² = 2x ⇒ x = 0, 2

[0,2]에서 직선 2x가 위쪽이므로 (2x − x²)을 적분한다.

S = ∫₀² (2x − x²) dx = [x² − x³3]₀² = 43

▸ 4/3

곡선과 직선 문제도 (위 − 아래) 원칙은 똑같다.

총정리

핵심 전략

S = ∫_a^b (위 − 아래) dx, a·b는 교점

교점으로 구간을 정하고, 위에서 아래를 빼서 적분

2022 교육청 학평 수학 유형 변형

곡선 y=x²−2x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

①2/3

②1

③4/3

④2

⑤8/3

▸ ③ 4/3

x축(y=0)과의 교점을 구한다.

x² − 2x = 0 ⇒ x = 0, 2

[0,2]에서 곡선이 x축 아래이므로 (0 − (x²−2x))을 적분한다.

S = ∫₀² (2x − x²) dx = 43

🎯 시험 포인트

①넓이 = ∫(위 − 아래)dx

②적분 구간은 반드시 교점에서

③곡선이 x축 아래면 (0 − 곡선) = −곡선을 적분

④위·아래가 도중에 바뀌면 구간을 나눠서

⑤절댓값으로 한 번에 쓰되 부호는 구간별로 확인