내적은 두 벡터가 얼마나 같은 쪽을 향하는지를 수 하나로 나타내요.
사이각이 예각이면 양수, 직각이면 0, 둔각이면 음수가 돼요.
기하적으로는 한 벡터를 다른 벡터 방향으로 내린 정사영의 길이와 관련된 값인데, 성분끼리 곱해 더하기만 해도 같은 값이 나와요.
사이각을 돌리면 내적이 양수에서 0 을 지나 음수로 바뀌고, 성분을 움직이면 a · b 가 성분으로 어떻게 계산되는지 볼 수 있어요.
내적의 기하적 뜻
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|a| = 3, |b| = 2.5 인 두 벡터의 사이각과 내적
45°
👀 그림에서 읽을 것
①빨간 a 의 크기는 3, 파란 b 의 크기는 2.5 이고, 사이각 θ 만 바뀐다
②초록 선분은 b 를 a 방향으로 내린 정사영으로, 부호 있는 길이가 |b| cos θ 다
③내적은 a · b = |a||b| cos θ 이므로, a 의 크기에 초록 선분의 부호 있는 길이를 곱한 값이다
④θ < 90° 이면 양수, θ = 90° 이면 0, θ > 90° 이면 음수다
성분으로 구하는 내적
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두 벡터의 성분과 내적, 사이각
3
1
1
3
🔢 성분으로 계산
①a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂) 이면
②a · b = a₁b₁ + a₂b₂ 다
③성분끼리 곱해 더하기만 하면 된다
④이 값은 언제나 |a||b| cos θ 와 같으므로, 거꾸로 사이각을 구할 수 있다
내적 공식
내적 (기하)
a · b = | a || b | cosθ
두 벡터의 크기와 사이각의 코사인을 곱한 값
내적 (성분)
a · b = a1 b1 + a2 b2
같은 자리의 성분끼리 곱해 더한다
사이각 구하기
cosθ = a · b| a || b |
내적을 두 크기의 곱으로 나누면 cos θ 가 나온다
🔍 두 공식의 연결
①코사인법칙을 쓰면 기하적 정의에서 성분 공식을 이끌어 낼 수 있다
②계산할 때는 성분 공식이 편하다
③사이각은 cos θ 공식으로 구한다
④영벡터가 아닌 두 벡터는 a · b = 0 일 때 수직이다
정사영
정사영 벡터
proja b = a · b| a |² a
b 를 a 방향으로 내린 정사영 벡터
정사영의 길이
| proja b | = | a · b || a |
정사영 벡터의 크기(부호는 떼어 낸다)
💡 정사영이 쓰이는 곳
①정사영은 b 를 a 방향의 직선에 수직으로 내린 그림자다
②물리에서 일은 힘과 이동한 변위의 내적 F · d = |F||d| cos θ 다
③직선 위로 내린 수선의 발을 구할 때도 정사영을 쓴다
예제
예제 1
a = (1, 2), b = (3, −1) 일 때 a · b 를 구하시오.
1
성분 공식 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ 에 넣는다.
a · b = 1 · 3 + 2 · (−1)
2
각 항을 계산해 더한다.
a · b = 3 − 2 = 1
▸ a · b = 1
성분끼리 곱해 더하면 사이각을 몰라도 내적을 구할 수 있다.
예제 2
a = (1, 2), b = (3, −1) 일 때 두 벡터가 이루는 각 θ 에 대하여 cos θ 를 구하시오.