내적은 두 벡터가 얼마나 '같은 방향'을 향하는지를 하나의 숫자로 알려줘요.
같은 쪽을 보면(예각) 양수, 직각이면 0, 반대쪽으로 벌어지면(둔각) 음수가 되죠.
기하적으로는 한 벡터를 다른 벡터 위에 드리운 그림자(정사영) 길이와 관련되는데, 신기하게도 성분끼리 곱해서 더하기만 해도 똑같은 값이 나와요.
사이각 슬라이더를 돌려 부호가 양수에서 0, 음수로 바뀌는 걸 보고, 성분을 움직여 a·b 값이 어떻게 계산되는지 확인해 봐요.
내적의 기하학적 의미
seegongsik.com
두 벡터 사이각과 내적의 부호 관계
45°
👀 내적이란?
①두 벡터가 얼마나 '같은 방향'인지를 숫자로 나타낸 것
②초록색 구간 = b를 a 방향으로 정사영한 길이
③예각(θ<90°)이면 양수, 직각이면 0, 둔각이면 음수
④내적 = |a||b|cosθ
성분을 이용한 내적
seegongsik.com
두 벡터의 성분과 내적 계산 결과
3
1
1
3
🔢 성분으로 계산
①a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)일 때
②a · b = a₁b₁ + a₂b₂
③각 성분끼리 곱해서 더하면 끝
④이 값과 |a||b|cosθ는 항상 같다
내적 공식
내적 (기하)
a · b = | a || b | cosθ
두 벡터의 크기와 사이각의 코사인의 곱
내적 (성분)
a · b = a1 b1 + a2 b2
각 성분끼리 곱해서 합산
사이각 구하기
cosθ = a · b| a || b |
내적을 크기의 곱으로 나누면 cosθ
🔍 두 공식의 연결
①기하적 정의에서 출발하여 성분 공식을 유도할 수 있다
②문제 풀이에서는 성분 공식이 계산에 편리
③사이각을 구할 때는 cosθ 공식 사용
④직교 판별: a · b = 0 ↔ a ⊥ b
정사영과 활용
정사영 벡터
proja b = a · b| a |² a
b를 a 위에 정사영한 벡터
정사영 길이
| proja b | = | a · b || a |
정사영의 크기 (부호 무시)
💡 정사영의 의미
①정사영 = b의 그림자를 a 방향으로 떨어뜨린 것
②물리: 일(Work) = 힘 · 이동거리 = F · d cosθ = 내적
③수학: 직선 위로의 수선의 발 좌표 구하기
직접 풀어보기
예제 1
a=(1, 2), b=(3, −1)일 때 a · b를 구하시오.
1
성분 공식 a · b = a₁b₁ + a₂b₂에 대입한다.
a · b = 1·3 + 2·(−1)
2
각 항을 계산해 더한다.
a · b = 3 − 2 = 1
▸ a · b = 1
성분끼리 곱해서 더하기만 하면 끝: 사이각을 몰라도 내적을 구할 수 있다.
예제 2
a=(1, 2), b=(3, −1)일 때 두 벡터가 이루는 각 θ에 대해 cosθ를 구하시오.