평면벡터의 성분과 내적

Dot Product

내적은 두 벡터가 얼마나 '같은 방향'을 향하는지를 하나의 숫자로 알려줘요. 같은 쪽을 보면(예각) 양수, 직각이면 0, 반대쪽으로 벌어지면(둔각) 음수가 되죠. 기하적으로는 한 벡터를 다른 벡터 위에 드리운 그림자(정사영) 길이와 관련되는데, 신기하게도 성분끼리 곱해서 더하기만 해도 똑같은 값이 나와요. 사이각 슬라이더를 돌리면 부호가 양수에서 0, 음수로 바뀌고, 성분을 움직이면 a·b 값이 어떻게 계산되는지 보여요.

내적의 기하학적 의미

사이각 θ45°

👀 내적이란?

①두 벡터가 얼마나 '같은 방향'인지를 숫자로 나타낸 것

②초록색 구간 = b를 a 방향으로 정사영한 길이

③예각(θ<90°)이면 양수, 직각이면 0, 둔각이면 음수

④내적 = |a||b|cosθ

⑤첫 그림의 |a|·|b|는 고정. θ만 움직임

성분을 이용한 내적

a_x3

a_y1

b_x1

b_y3

🔢 성분으로 계산

①a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂)일 때

②a · b = a₁b₁ + a₂b₂

③각 성분끼리 곱해서 더하면 끝

④이 값과 |a||b|cosθ는 항상 같다

내적 공식

내적 (기하)

a · b = | a || b | cosθ

두 벡터의 크기와 사이각의 코사인의 곱

내적 (성분)

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂

각 성분끼리 곱해서 합산

사이각 구하기

cosθ = a · b| a || b |

내적을 크기의 곱으로 나누면 cosθ

🔍 두 공식의 연결

①기하적 정의에서 출발하여 성분 공식을 유도할 수 있다

②문제 풀이에서는 성분 공식이 계산에 편리

③사이각을 구할 때는 cosθ 공식 사용

④직교 판별: a · b = 0 ↔ a ⊥ b

정사영과 활용

정사영 벡터

proj_a b = a · b| a |² a

b를 a 위에 정사영한 벡터

정사영 길이

| proj_a b | = | a · b || a |

정사영의 크기 (부호 무시)

💡 정사영의 의미

①정사영 = b의 그림자를 a 방향으로 떨어뜨린 것

②물리: 일(Work) = 힘 · 이동거리 = F · d cosθ = 내적

③수학: 직선 위로의 수선의 발 좌표 구하기

④정사영은 공식 상자만. 그림은 없음

직접 풀어보기

예제 1

a=(1, 2), b=(3, −1)일 때 a · b를 구하시오.

성분 공식 a · b = a₁b₁ + a₂b₂에 대입한다.

a · b = 1·3 + 2·(−1)

각 항을 계산해 더한다.

a · b = 3 − 2 = 1

▸ a · b = 1

성분끼리 곱해서 더하기만 하면 끝: 사이각을 몰라도 내적을 구할 수 있다.

예제 2

a=(1, 2), b=(3, −1)일 때 두 벡터가 이루는 각 θ에 대해 cosθ를 구하시오.

내적과 두 벡터의 크기를 구한다.

a · b = 1, |a| = √5, |b| = √10

cosθ = (a · b)/(|a||b|)에 대입해 정리한다.

cosθ = 1√5·√10 = 1√50 = √210

▸ cosθ = √2/10

먼저 내적과 크기를 따로 구한 뒤 cosθ 공식에 넣으면 사이각이 나온다.

총정리

수직 조건

a ⊥ b ⟺ a · b = 0

내적이 0이면 두 벡터는 수직

2022 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형

두 벡터 a=(2, 1), b=(k, −4)가 서로 수직일 때, k의 값은?

①−2

②1

③2

④3

⑤4

▸ ③ 2

두 벡터가 수직이면 a · b = 0이다.

성분으로 내적을 세워 0으로 두고 k를 구한다.

a · b = 2k − 4 = 0 ⇒ k = 2

🎯 시험 포인트

①내적 두 공식: |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

②cosθ를 구해 사이각 판별

③a · b = 0 ↔ 수직

④정사영 벡터와 정사영 길이 공식

⑤|a|² = a · a (크기의 제곱 = 자기 자신과의 내적)