공간도형

Space Figures

평평한 종이 위에서는 두 직선이 만나거나 평행하거나 둘 중 하나예요. 하지만 우리가 사는 3차원 공간에서는 만나지도 평행하지도 않는 '꼬인 위치'까지 생기고, 직선과 평면, 평면과 평면 사이에도 평행·교차·수직 같은 여러 위치 관계가 나타나요. 두 평면이 벌어진 정도를 재는 이면각은 책을 펼친 각도와 똑같은 개념이에요. 슬라이더로 시점을 돌리면 입체감이 잡히고, 위치 관계와 이면각을 바꾸면 공간 속에서 직선과 평면이 어떻게 놓이는지 보여요.

공간좌표축

시점 회전30°

👀 3차원 공간

①평면(2D)에 y축을 더하면 공간(3D)

②x축(빨강), y축(초록), z축(파랑)은 서로 수직

③슬라이더로 시점을 돌려 입체감을 느껴 보자

④모든 점은 (x, y, z) 세 좌표로 표현된다

직선과 평면의 위치 관계

관계 선택∥

📐 위치 관계

①0: 두 평면이 평행 (만나지 않음)

②1: 두 평면이 만나 교선 형성

③2: 직선이 평면에 수직 (평면 위 모든 직선과 수직)

④공간에서는 '꼬인 위치'도 있다. 만나지도 않고 평행하지도 않은 두 직선

이면각

이면각60°

📖 이면각이란?

①두 반평면이 공유하는 교선(모서리)이 있다

②교선 위의 한 점에서 각 평면 위에 교선에 수직인 반직선을 그린다

③이 두 반직선이 이루는 각이 이면각

④책을 펼친 각도와 같은 개념

공간에서의 수직·평행 정리

삼수선의 정리

PH ⊥ α 이면 (PO ⊥ ℓ ⟺ HO ⊥ ℓ). P는 평면 밖, H는 수선의 발, O는 ℓ 위의 점

평면 위 직선과의 수직 관계를 수선의 발로 판별

평행 판정

ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (m ⊂ α인 직선 m 존재)

평면 안의 어떤 직선과 평행하면, 직선은 평면과 평행

🔍 핵심 정리들

①직선 ⊥ 평면: 평면 위 모든 직선과 수직

②두 평면 ⊥: 한 평면에 수직인 직선이 다른 평면에 포함

③삼수선의 정리: 수능 단골 출제

④위의 정리들을 그림으로 그려가며 증명 과정을 따라가면 이해가 빠르다

⑤꼬인 두 직선 사이 거리는 다음 장에서 본다

직접 풀어보기

예제 1: 삼수선의 정리

평면 α 위의 직선 ℓ 밖의 점 P에서 α에 내린 수선의 발을 H, H에서 ℓ에 내린 수선의 발을 O라 하자. PH=3, HO=4일 때 PO의 길이를 구하시오.

삼수선의 정리에 의해 PO⊥ℓ이고, 삼각형 PHO는 H에서 직각이다.

PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ

직각삼각형 PHO에서 피타고라스 정리로 빗변 PO를 구한다.

PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25

▸ PO = 5

PH가 평면에 수직이므로 PH는 HO와도 수직: 그래서 삼각형 PHO를 직각삼각형으로 쓸 수 있다.

예제 2: 정사영

평면 α와 60°의 이면각을 이루는 평면 β 위에 넓이가 12인 도형이 있다. 이 도형의 α 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

정사영 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이다.

S' = S · cosθ

S=12, θ=60°를 대입한다.

S' = 12 · cos60° = 12 · (1/2)

▸ S' = 6

각이 클수록 cos값이 작아져 정사영도 작아진다. 90°이면 정사영 넓이는 0이 된다.

총정리

정사영 넓이

S' = S cosθ

평면 도형의 정사영 넓이 = 원래 넓이 × cos(이면각)

2021 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형

한 변의 길이가 4인 정사각형이 평면 α와 45°를 이룰 때, 이 정사각형의 α 위로의 정사영의 넓이는?

①8

②8√2

③16

④4√2

⑤4

▸ ② 8√2

정사각형의 넓이는 4 × 4 = 16이다.

정사영 넓이 공식에 S=16, θ=45°를 대입한다.

S' = 16 · cos45° = 16 · (√2/2) = 8√2

🎯 시험 포인트

①공간에서 직선·평면의 위치 관계 5가지 판별

②삼수선의 정리: 조건과 결론 정확히

③이면각 구하기: 교선에 수직인 두 반직선

④정사영 넓이 = 원래 넓이 × cosθ

⑤꼬인 위치의 두 직선 사이 거리 구하기