seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

공간도형

Space Figures

종이 위 평면에서 두 직선은 만나거나 평행하거나 둘 중 하나예요. 공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치가 더 생기고, 직선과 평면, 평면과 평면 사이에도 평행하거나 만나거나 수직인 관계가 나타나요. 두 평면이 벌어진 정도는 이면각으로 재는데, 책을 펼친 각도를 떠올리면 돼요. 시점을 돌리면 x · y · z 축과 점 P 의 위치가 입체로 보이고, 이면각을 바꾸면 교선에 수직인 두 반직선 사이의 각이 함께 바뀌어요.

공간좌표축

30°
👀 3차원 공간
①평면의 x 축과 y 축에 모두 수직인 z 축을 세우면 공간이 된다
②세 축은 서로 수직이고, 위를 향하는 축을 z 축으로 둔다
③점 P(2, 2, 3) 에서 xy 평면에 수선을 내리면 발은 H(2, 2, 0) 이고, P 의 z 좌표 3 은 선분 PH 의 길이다
④공간의 점은 모두 세 좌표 (x, y, z) 로 나타낸다

직선과 평면의 위치 관계

∥
📐 위치 관계
①∥ : 두 평면이 평행하여 만나지 않는다
②∩ : 두 평면이 만나 교선이라는 직선 하나를 만든다
③ℓ ⊥ α : 직선이 평면에 수직이면 평면 위의 모든 직선과 수직이다
④두 직선 사이에는 만나는 경우, 평행한 경우 말고도 만나지도 평행하지도 않은 꼬인 위치가 있다

이면각

60°
📖 이면각 재는 법
①두 반평면은 교선(초록)을 공유한다
②교선 위의 한 점에서 각 반평면 위에 교선과 수직인 반직선을 하나씩 긋는다
③이 두 반직선이 이루는 각 θ 가 이면각이다
④책을 펼쳤을 때 두 쪽 사이의 각도가 이면각이다

공간에서의 수직과 평행

삼수선의 정리
PH ⊥ α 일 때 (PO ⊥ ℓ ⟺ HO ⊥ ℓ). P 는 평면 밖의 점, H 는 수선의 발, O 는 평면 위 직선 ℓ 위의 점
평면 밖의 점과 평면 위의 직선이 수직인지를 수선의 발로 판별한다
직선과 평면의 평행
ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (m ⊂ α 인 직선 m 이 있음)
평면 밖의 직선이 평면 안의 어떤 직선과 평행하면, 그 직선은 평면과 평행하다
🔍 핵심 정리
①직선이 평면에 수직이면 평면 위의 모든 직선과 수직이다
②한 평면에 수직인 직선을 포함하는 평면은 그 평면과 수직이다
③삼수선의 정리를 쓰면 수선의 발을 거쳐 수직 관계를 판별할 수 있다
④정리마다 그림을 그리고 수선의 발을 표시하면 증명을 따라가기 쉽다

예제

예제 1: 삼수선의 정리
평면 α 위의 직선 ℓ 과 α 밖의 점 P 가 있다. P 에서 α 에 내린 수선의 발을 H, H 에서 ℓ 에 내린 수선의 발을 O 라 하자. PH = 3, HO = 4 일 때 PO 의 길이를 구하시오.
1
삼수선의 정리에 따라 PO ⊥ ℓ 이고, 삼각형 PHO 는 H 에서 직각이다.
PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ
2
직각삼각형 PHO 에서 피타고라스 정리로 빗변 PO 를 구한다.
PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25
▸ PO = 5
PH 가 평면 α 에 수직이므로 α 위의 선분 HO 와도 수직이다. 그래서 삼각형 PHO 를 직각삼각형으로 쓸 수 있다.
예제 2: 정사영
평면 α 와 이루는 각이 60° 인 평면 β 위에 넓이가 12 인 도형이 있다. 이 도형을 α 위로 정사영한 넓이를 구하시오.
1
정사영의 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이다.
S′ = S · cos θ
2
S = 12, θ = 60° 를 대입한다.
S′ = 12 · cos 60° = 12 · (1/2)
▸ S′ = 6
각이 클수록 cos 값이 작아져 정사영도 작아진다. 90° 이면 정사영의 넓이는 0 이다.

정리

정사영의 넓이
S′ = S cos θ
평면도형을 다른 평면에 정사영한 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 것이다
2021 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형
한 변의 길이가 4 인 정사각형이 평면 α 와 45° 를 이룰 때, 이 정사각형을 α 위로 정사영한 넓이는?
①8
②8√2
③16
④4√2
⑤4
▸ ② 8√2
1
정사각형의 넓이는 4 × 4 = 16 이다.
2
정사영 넓이 공식에 S = 16, θ = 45° 를 대입한다.
S′ = 16 · cos 45° = 16 · (√2/2) = 8√2
🎯 시험 포인트
①공간에서 직선과 평면의 위치 관계를 구별한다
②삼수선의 정리는 조건과 결론을 정확히 쓴다
③이면각은 교선에 수직인 두 반직선으로 잰다
④정사영의 넓이는 원래 넓이 × cos θ 다
⑤꼬인 위치의 두 직선 사이 거리를 구할 수 있어야 한다
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공간좌표

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