공간도형

Space Figures

평평한 종이 위에서는 두 직선이 만나거나 평행하거나 둘 중 하나예요. 하지만 우리가 사는 3차원 공간에서는 만나지도 평행하지도 않는 '꼬인 위치'까지 생기고, 직선과 평면, 평면과 평면 사이에도 평행·교차·수직 같은 여러 위치 관계가 나타나요. 두 평면이 벌어진 정도를 재는 이면각은 책을 펼친 각도와 똑같은 개념이에요. 슬라이더로 시점을 돌려 입체감을 느끼고, 위치 관계와 이면각을 직접 바꿔 가며 공간 속에서 직선과 평면이 어떻게 놓이는지 확인해 봐요.

공간좌표축

시점 회전30°

👀 3차원 공간

①평면(2D)에 y축을 더하면 공간(3D)

②x축(빨강), y축(초록), z축(파랑)은 서로 수직

③슬라이더로 시점을 돌려 입체감을 느껴 보자

④모든 점은 (x, y, z) 세 좌표로 표현된다

직선과 평면의 위치 관계

관계 선택0

📐 위치 관계

①0: 두 평면이 평행 (만나지 않음)

②1: 두 평면이 만나 교선 형성

③2: 직선이 평면에 수직 (평면 위 모든 직선과 수직)

④공간에서는 '꼬인 위치'도 있다. 만나지도 않고 평행하지도 않은 두 직선

이면각

이면각60°

📖 이면각이란?

①두 반평면이 공유하는 교선(모서리)이 있다

②교선 위의 한 점에서 각 평면 위에 교선에 수직인 반직선을 그린다

③이 두 반직선이 이루는 각이 이면각

④책을 펼친 각도와 같은 개념

공간에서의 수직·평행 정리

삼수선의 정리

PA ⊥ ℓ ⟺ PH ⊥ ℓ (H는 A에서 평면 위 수선의 발)

평면 위 직선과의 수직 관계를 수선의 발로 판별

평행 판정

ℓ ∥ α ⟺ ℓ ∥ m (m ⊂ α인 직선 m 존재)

평면 안의 어떤 직선과 평행하면, 직선은 평면과 평행

🔍 핵심 정리들

①직선 ⊥ 평면: 평면 위 모든 직선과 수직

②두 평면 ⊥: 한 평면에 수직인 직선이 다른 평면에 포함

③삼수선의 정리: 수능 단골 출제

④위의 정리들을 그림으로 그려가며 증명 과정을 따라가면 이해가 빠르다

직접 풀어보기

예제 1: 삼수선의 정리

평면 α 위의 직선 ℓ 밖의 점 P에서 α에 내린 수선의 발을 H, H에서 ℓ에 내린 수선의 발을 O라 하자. PH=3, HO=4일 때 PO의 길이를 구하시오.

삼수선의 정리에 의해 PO⊥ℓ이고, 삼각형 PHO는 H에서 직각이다.

PH ⊥ α, HO ⊥ ℓ ⇒ PO ⊥ ℓ

직각삼각형 PHO에서 피타고라스 정리로 빗변 PO를 구한다.

PO = √(PH² + HO²) = √(9 + 16) = √25

▸ PO = 5

PH가 평면에 수직이므로 PH는 HO와도 수직: 그래서 삼각형 PHO를 직각삼각형으로 쓸 수 있다.

예제 2: 정사영

평면 α와 60°의 이면각을 이루는 평면 β 위에 넓이가 12인 도형이 있다. 이 도형의 α 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

정사영 넓이는 원래 넓이에 두 평면이 이루는 각의 코사인을 곱한 값이다.

S' = S · cosθ

S=12, θ=60°를 대입한다.

S' = 12 · cos60° = 12 · (1/2)

▸ S' = 6

각이 클수록 cos값이 작아져 정사영도 작아진다. 90°이면 정사영 넓이는 0이 된다.

총정리

정사영 넓이

S' = S cosθ

평면 도형의 정사영 넓이 = 원래 넓이 × cos(이면각)

2021 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형

한 변의 길이가 4인 정사각형이 평면 α와 45°를 이룰 때, 이 정사각형의 α 위로의 정사영의 넓이는?

①8

②8√2

③16

④4√2

⑤4

▸ ② 8√2

정사각형의 넓이는 4 × 4 = 16이다.

정사영 넓이 공식에 S=16, θ=45°를 대입한다.

S' = 16 · cos45° = 16 · (√2/2) = 8√2

🎯 시험 포인트

①공간에서 직선·평면의 위치 관계 5가지 판별

②삼수선의 정리: 조건과 결론 정확히

③이면각 구하기: 교선에 수직인 두 반직선

④정사영 넓이 = 원래 넓이 × cosθ

⑤꼬인 위치의 두 직선 사이 거리 구하기