seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

공간좌표

Space Coordinates

평면 위의 점은 (x, y) 두 수로 자리가 정해지는데, 공간에서는 높이를 나타내는 z 를 하나 더 붙여 (x, y, z) 세 수로 정해요. 바닥을 xy 평면으로 두고 그 위로 z 축을 세우면, 점 P 에서 바닥으로 내린 수선의 발 H 가 (x, y, 0) 이고 그 수선의 길이가 바로 z 예요. 두 점 사이의 거리와 구의 방정식도 평면에서 쓰던 식에 z 항 하나를 더한 모양이라, 새로 외울 것이 생각보다 적어요. x · y · z 슬라이더로 P 를 옮기면 바닥의 그림자와 원점까지의 거리가 함께 바뀌고, 둘째 그림은 A 에서 같은 P 까지의 거리를 재며, 셋째 그림에서는 반지름 r 을 바꾸면 구의 크기와 방정식의 우변이 같이 달라져요.

좌표공간의 점

3
4
2
👀 세 좌표를 읽는 법
①P 에서 바닥으로 내린 수선의 발 H 는 (x, y, 0) 이고, 선분 PH 의 길이가 z 좌표다
②H 에서 x 축과 y 축으로 그은 점선이 닿는 눈금이 x 좌표와 y 좌표다
③P 에서 z 축으로 그은 점선은 높이 z 를 z 축 위의 점 (0, 0, z) 로 옮긴다
④OH 와 PH 를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이 OP 이므로, 원점에서 P 까지의 거리는 √(x² + y² + z²) 이다

두 점 사이의 거리

두 점 사이의 거리
d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)
피타고라스 정리를 두 번 쓴 결과
📐 거리 공식이 나오는 길
①A 에서 x 방향으로 Δx, y 방향으로 Δy 만큼 가면 바닥과 나란한 직각삼각형이 생기고, 그 빗변은 √(Δx² + Δy²) 이다
②그 끝에서 위나 아래로 Δz 만큼 가면 B 에 닿는데, 앞의 빗변과 Δz 가 다시 직각을 이룬다
③둘째 직각삼각형의 빗변이 d 이므로 d² = Δx² + Δy² + Δz² 이다
④A 는 (1, 1, 1) 에 두었고 B 는 첫 그림의 점 P 를 따라 움직인다. P 를 (1, 1, 1) 로 옮기면 d = 0 이 된다

구의 방정식

3
구의 방정식
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²
중심 C(a, b, c), 반지름 r
🌐 구를 식으로 쓰면
①구는 한 점 C 에서 거리가 r 로 같은 점 P 를 모두 모은 도형이다
②CP = r 을 거리 공식으로 쓰고 양변을 제곱하면 (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² 이 된다
③이것을 전개하면 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 꼴이 되고, 거꾸로 이 꼴이 주어지면 문자마다 완전제곱식으로 묶어 중심과 반지름을 찾는다
④그림에서 중심은 그대로 두고 r 만 바꾼다. r 이 2배가 되면 우변 r² 은 4배가 된다

내분점과 무게중심

선분의 내분점
P = (nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n, nz1+mz2m+n)
선분 AB 를 m : n 으로 내분하는 점
삼각형의 무게중심
G = (x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)
세 꼭짓점 좌표의 평균
💡 평면 공식에 z 한 줄을 더해서
①내분점은 x, y, z 좌표마다 같은 비 m : n 을 따로 적용해 구한다
②평면에서 쓰던 공식에 z 좌표 줄 하나를 더한 모양이다
③중점은 m = n = 1 인 경우라 각 좌표의 평균이 된다
④무게중심은 세 꼭짓점의 x, y, z 좌표를 각각 평균한 점이다

예제

예제 1
두 점 A(1, 2, 3), B(4, 6, 3) 사이의 거리를 구하시오.
1
좌표마다 차를 구해 제곱하고 모두 더한다.
AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)
2
제곱의 합 25 의 제곱근을 구한다.
AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
▸ 5
두 점의 z 좌표가 같아 Δz = 0 이므로, 같은 높이의 평면 위에서 재는 평면 거리와 값이 같다.
예제 2
구 x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0의 중심의 좌표와 반지름을 구하시오.
1
x, y, z 항을 각각 완전제곱식으로 묶는다.
x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9
2
표준형과 맞대어 중심과 반지름을 읽는다.
(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9
▸ 중심 (1, −2, 3), 반지름 3
우변 9 가 r² 이므로 반지름은 3 이다. 묶은 뒤 우변이 음수로 나오면 그 식을 만족하는 점이 없다.

정리

원점에서의 거리
d = √(x² + y² + z²)
원점 O 에서 점 P(x, y, z) 까지의 거리
2023 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형
두 점 A(2, 0, 1), B(0, 4, 3)을 지름의 양 끝점으로 하는 구의 중심의 좌표는?
①(1, 2, 2)
②(2, 2, 1)
③(1, 2, 1)
④(2, 4, 2)
⑤(1, 4, 2)
▸ ① (1, 2, 2)
1
지름의 양 끝점을 이은 선분의 중점이 구의 중심이다.
2
두 점의 x, y, z 좌표를 각각 평균한다.
((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)
🎯 시험 포인트
①두 점 사이의 거리는 평면 공식에 (z₂ − z₁)² 하나를 더한다
②일반형으로 주어진 구의 방정식은 완전제곱식으로 묶어 중심과 반지름을 읽는다. 우변이 0 이면 한 점이고 음수이면 나타내는 도형이 없다
③내분점 · 중점 · 무게중심은 좌표마다 따로 계산한다
④대칭점은 축 · 좌표평면 · 원점 가운데 무엇에 대한 대칭인지에 따라 부호가 바뀌는 좌표가 다르다
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공간도형

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