공간좌표

Space Coordinates

평면 위의 점이 (x, y) 두 개의 수로 정해지듯, 공간 속의 점은 (x, y, z) 세 개의 수로 위치가 정해져요. 높이를 나타내는 z 하나만 더 얹으면, 바닥에 있던 점이 공중으로 떠오르는 셈이에요. 두 점 사이의 거리도 구의 방정식도, 평면에서 쓰던 공식에 z 한 겹만 더 붙이면 그대로 3차원으로 넓어져요. x, y, z 슬라이더를 움직여 점이 공간 어디에 놓이는지와 좌표평면으로 떨어지는 그림자(정사영)를, 반지름 r 슬라이더로는 구가 커지고 작아지는 모습을 확인해 봐요.

3차원 좌표계

x좌표3

y좌표4

z좌표2

👀 공간 위의 점

①점 P(x,y,z)는 세 좌표로 위치가 결정된다

②점선은 각 좌표축과 좌표평면으로의 정사영

③xy평면 위의 그림자: (x,y,0)

④z축 위의 그림자: (0,0,z)

두 점 사이의 거리

공간 두 점 사이의 거리

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

피타고라스 정리를 3차원으로 확장

📐 거리 공식의 직관

①2D 거리 공식: √(Δx² + Δy²)

②3D는 Δz²를 하나 더 추가하면 된다

③점선으로 그린 직각 경로를 따라가면

④Δx → Δy → Δz 순서로 직각삼각형 두 번 적용

구의 방정식

반지름 r3

구의 방정식

(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²

중심 C(a,b,c), 반지름 r

🌐 구란?

①한 점(중심)에서 같은 거리(반지름)에 있는 점의 집합

②원의 방정식을 3차원으로 확장한 것

③전개하면 x² + y² + z² + Dx + Ey + Fz + G = 0 형태

④이 일반형에서 완전제곱식으로 변환하면 중심과 반지름을 구할 수 있다

내분점과 무게중심

내분점 (3D)

P = (nx₁+mx₂m+n, ny₁+my₂m+n, nz₁+mz₂m+n)

선분 AB를 m:n으로 내분하는 점

삼각형의 무게중심

G = (x₁+x₂+x₃3, y₁+y₂+y₃3, z₁+z₂+z₃3)

세 꼭짓점 좌표의 평균

💡 내분점 기억법

①2D 내분점 공식과 구조가 동일

②z좌표만 하나 더 추가하면 된다

③중점은 m=n=1인 특수 경우: 각 좌표의 평균

④무게중심은 세 좌표를 각각 평균

직접 풀어보기

예제 1

두 점 A(1, 2, 3), B(4, 6, 3) 사이의 거리를 구하시오.

각 좌표의 차를 제곱해 더한다.

AB = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²)

제곱의 합을 계산하고 근호를 푼다.

AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5

▸ 5

z좌표가 같으면 Δz=0이 되어 2차원 거리 공식과 똑같아진다.

예제 2

구 x²+y²+z²−2x+4y−6z+5=0의 중심의 좌표와 반지름을 구하시오.

x, y, z에 대해 각각 완전제곱식으로 묶는다.

x²−2x = (x−1)²−1, y²+4y = (y+2)²−4, z²−6z = (z−3)²−9

표준형과 비교해 중심과 반지름을 읽는다.

(x−1)² + (y+2)² + (z−3)² = 1+4+9−5 = 9

▸ 중심 (1, −2, 3), 반지름 3

우변이 r²이므로 √9=3이 반지름이다. 우변이 음수면 구가 존재하지 않는다.

총정리

원점에서의 거리

d = √(x² + y² + z²)

원점 O에서 점 P(x,y,z)까지의 거리

2023 평가원 모평 수학(기하) 유형 변형

두 점 A(2, 0, 1), B(0, 4, 3)을 지름의 양 끝점으로 하는 구의 중심의 좌표는?

①(1, 2, 2)

②(2, 2, 1)

③(1, 2, 1)

④(2, 4, 2)

⑤(1, 4, 2)

▸ ① (1, 2, 2)

지름의 양 끝점의 중점이 구의 중심이다.

각 좌표를 평균낸다.

((2+0)/2, (0+4)/2, (1+3)/2) = (1, 2, 2)

🎯 시험 포인트

①공간 거리 공식: 2D에 Δz²만 추가

②구의 방정식: 원의 방정식에 z항 추가

③일반형 → 표준형 변환으로 중심·반지름 구하기

④내분점·무게중심: 2D와 같은 구조, z좌표 추가

⑤대칭점 구하기: 축·평면·점 대칭 각각 연습

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