고등학교 3학년 (17-18세)

속도와 가속도

Velocity & Acceleration

수직선 위를 움직이는 점의 위치를 시간의 함수 x(t) 로 나타내면, 위치-시각 그래프에서 어느 순간의 접선 기울기가 그 순간의 속도예요. 위치를 시간으로 한 번 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도가 돼요. 속도가 0 인 순간 점이 멈추는데, 그 앞뒤로 속도의 부호가 바뀌어야 실제로 방향이 바뀌어요. 시각 t 를 움직이면 접선의 기울기와 함께 오른쪽 수직선 위의 점 P 가 어느 쪽으로 가는지 볼 수 있어요.

위치를 미분하면 속도

시각 t2

👀 그림에서 읽을 것

①파란 곡선은 시각에 따른 위치 x(t) 이고, 오른쪽 수직선의 점 P 가 실제로 움직이는 점이다

②접선의 기울기가 그 순간의 속도 v 다. 초록 점은 v > 0 이라 P 가 위(양의 방향)로, 주황 점은 v < 0 이라 아래로 움직인다

③t = 1 과 t = 3 에서 v = 0 이고 그 앞뒤로 v 의 부호가 바뀌어 P 가 방향을 바꾼다. 위치는 t = 1 에서 4, t = 3 에서 0 이다

위치 · 속도 · 가속도의 관계

속도는 위치의 도함수

v(t) = dxdt = x′(t)

위치 x(t) 를 시간으로 미분하면 속도 v(t) 다

가속도는 속도의 도함수

a(t) = dvdt = x′′(t)

속도를 한 번 더 미분하면 가속도다. 위치를 두 번 미분한 것과 같다

속도의 부호가 바뀌면 방향이 바뀐다

운동 방향이 바뀌는 조건

v(t) = 0 이고 그 앞뒤로 v 의 부호가 바뀜 ⇒ 그 시각에 방향이 바뀜

v = 0 만으로는 부족하다. 부호가 실제로 바뀌어야 방향이 바뀐다

🔄 v 의 부호가 방향이다

①v > 0 이면 양의 방향, v < 0 이면 음의 방향으로 움직인다

②v = 0 인 순간의 앞뒤로 부호가 바뀌면 그 순간 운동 방향이 바뀐다

③속력은 속도의 절댓값 |v| 이고, 가속도 a = 0 인 순간에는 속도가 극값을 가질 수 있다

예제

예제 1

점 P 의 위치가 x(t) = t³ − 6t² + 9t 일 때, t = 2 에서의 속도와 가속도를 구하시오.

위치를 한 번, 두 번 미분해 속도와 가속도를 구한다.

v(t) = 3t² − 12t + 9, a(t) = 6t − 12

t = 2 를 대입한다.

v(2) = 12 − 24 + 9 = −3, a(2) = 12 − 12 = 0

▸ 속도 −3, 가속도 0

속도가 음수이므로 P 는 음의 방향으로 움직이는 중이다. 그림에서 t = 2 로 두면 같은 값을 확인할 수 있다.

예제 2

같은 점 P 가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오. (t > 0)

v(t) = 0 을 푼다.

v(t) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 ⇒ t = 1, t = 3

t = 1 과 t = 3 의 앞뒤에서 모두 v 의 부호가 바뀐다.

▸ t = 1, t = 3

v = 0 인 시각마다 부호가 바뀌는지 확인해야 방향이 바뀌었다고 할 수 있다.

정리

핵심 관계

위치 x(t) → 미분 → 속도 v(t) → 미분 → 가속도 a(t)

한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도다

2020 수능 수학(미적분) 유형 변형

수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t 에서의 위치가 x(t) = t³ − 3t² 일 때, P 가 운동 방향을 바꾸는 시각은? (t > 0)

①t = 0

②t = 1

③t = 2

④t = 3

⑤방향을 바꾸지 않는다

▸ ③ t = 2

속도를 구한다.

v(t) = 3t² − 6t = 3t(t − 2)

t > 0 에서 v 의 부호는 t = 2 의 앞뒤에서 음에서 양으로 바뀐다.

t = 2 에서 방향이 바뀐다

🎯 시험 포인트

①v = x′, a = v′ = x″ 이다

②v > 0 이면 양의 방향, v < 0 이면 음의 방향으로 움직인다

③방향이 바뀌려면 v = 0 이면서 부호가 바뀌어야 한다

④속력은 |v| 다

⑤t = 0 은 출발 시각이므로 보통 방향 전환에서 뺀다

← 이전

방정식과 부등식에의 활용

여러 가지 적분법

마지막 수정 2026-10-17

이 페이지가 도움 됐다면 후원하기