seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

속도와 가속도

Velocity & Acceleration

위치를 미분하면 속도
2
👀 눈으로 보자
①곡선은 시간에 따른 위치 x(t)
②어떤 순간의 접선 기울기가 곧 그 순간의 속도 v
③기울기가 0이면 속도 0 — 잠시 멈추고 방향을 바꾼다
위치·속도·가속도의 관계
속도 = 위치의 도함수
v(t) = dxdt = x′(t)
위치 x(t)를 시간으로 미분하면 속도 v(t)
가속도 = 속도의 도함수
a(t) = dvdt = x′′(t)
속도를 한 번 더 미분하면 가속도 — 위치의 이계도함수
속도가 0이면 방향 전환
운동 방향 전환
v(t)=0 이고 좌우로 v의 부호가 바뀜 ⇒ 그 시각에 방향 전환
v=0만으로는 부족 — 부호가 실제로 바뀌어야 방향이 전환된다
🔄 v의 부호가 방향
①v>0이면 양의 방향, v<0이면 음의 방향으로 운동
②v=0인 순간 운동 방향이 바뀐다(부호가 바뀔 때)
③속력은 속도의 절댓값 |v|
직접 구해 보자
예제 1
점 P의 위치가 x(t)=t³−6t²+9t일 때 t=2에서의 속도와 가속도를 구하시오.
1
속도와 가속도를 위해 1계·2계 도함수를 구한다.
v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12
2
t=2를 대입한다.
v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0
▸ 속도 −3, 가속도 0
속도가 음수이면 음의 방향으로 움직이는 중이라는 뜻이다.
예제 2
같은 점 P가 운동 방향을 바꾸는 모든 시각을 구하시오. (t>0)
1
v(t)=0을 푼다.
v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3
2
t=1, t=3 좌우로 v의 부호가 모두 바뀐다.
▸ t = 1, t = 3
v=0인 시각마다 부호 변화를 확인해야 진짜 방향 전환이다.
총정리
핵심 관계
위치 x(t) → 미분 → 속도 v(t) → 미분 → 가속도 a(t)
한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도
2020 수능 수학(미적분) 유형 변형
수직선 위를 움직이는 점 P의 위치가 x(t)=t³−3t²일 때, P가 운동 방향을 바꾸는 시각은? (t>0)
①t = 0
②t = 1
③t = 2
④t = 3
⑤방향을 바꾸지 않는다
▸ ③ t = 2
1
속도를 구한다.
v(t)=3t²−6t=3t(t−2)
2
t>0에서 v의 부호는 t=2를 기준으로 음→양으로 바뀐다.
t = 2에서 방향 전환
🎯 시험 포인트
①v=x′, a=v′=x″ (한 번·두 번 미분)
②v>0 양의 방향·v<0 음의 방향
③방향 전환은 v=0 + 부호 변화
④속력은 |v|
⑤t=0은 출발 시각이므로 방향 전환에서 보통 제외
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