속도와 가속도

Velocity & Acceleration

위치-시간 그래프에서 어느 순간의 접선 기울기가 바로 그 순간의 속도가 돼요. 그래서 위치를 시간으로 한 번 미분하면 속도가 되고, 그 속도를 다시 한 번 미분하면 가속도가 돼요. 기울기가 0이 되는 순간에는 잠시 멈췄다가 방향을 바꾸기도 하는데, 속도의 부호가 실제로 바뀌어야 진짜 방향 전환이에요. 시각 t 슬라이더를 움직여 접선의 기울기와 점의 색이 어떻게 변하는지, 언제 속도가 0이 되는지 직접 확인해 봐요.

위치를 미분하면 속도

시각 t2

👀 눈으로 보자

①곡선은 시간에 따른 위치 x(t)

②어떤 순간의 접선 기울기가 곧 그 순간의 속도 v

③기울기가 0이면 속도 0: 잠시 멈추고 방향을 바꾼다

위치·속도·가속도의 관계

속도 = 위치의 도함수

v(t) = dxdt = x′(t)

위치 x(t)를 시간으로 미분하면 속도 v(t)

가속도 = 속도의 도함수

a(t) = dvdt = x′′(t)

속도를 한 번 더 미분하면 가속도: 위치의 이계도함수

속도가 0이면 방향 전환

운동 방향 전환

v(t)=0 이고 좌우로 v의 부호가 바뀜 ⇒ 그 시각에 방향 전환

v=0만으로는 부족: 부호가 실제로 바뀌어야 방향이 전환된다

🔄 v의 부호가 방향

①v>0이면 양의 방향, v<0이면 음의 방향으로 운동

②v=0인 순간 운동 방향이 바뀐다(부호가 바뀔 때)

③속력은 속도의 절댓값 |v|

직접 구해 보자

예제 1

점 P의 위치가 x(t)=t³−6t²+9t일 때 t=2에서의 속도와 가속도를 구하시오.

속도와 가속도를 위해 1계·2계 도함수를 구한다.

v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12

t=2를 대입한다.

v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0

▸ 속도 −3, 가속도 0

속도가 음수이면 음의 방향으로 움직이는 중이라는 뜻이다.

예제 2

같은 점 P가 운동 방향을 바꾸는 모든 시각을 구하시오. (t>0)

v(t)=0을 푼다.

v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3

t=1, t=3 좌우로 v의 부호가 모두 바뀐다.

▸ t = 1, t = 3

v=0인 시각마다 부호 변화를 확인해야 진짜 방향 전환이다.

총정리

핵심 관계

위치 x(t) → 미분 → 속도 v(t) → 미분 → 가속도 a(t)

한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도

2020 수능 수학(미적분) 유형 변형

수직선 위를 움직이는 점 P의 위치가 x(t)=t³−3t²일 때, P가 운동 방향을 바꾸는 시각은? (t>0)

①t = 0

②t = 1

③t = 2

④t = 3

⑤방향을 바꾸지 않는다

▸ ③ t = 2

속도를 구한다.

v(t)=3t²−6t=3t(t−2)

t>0에서 v의 부호는 t=2를 기준으로 음→양으로 바뀐다.

t = 2에서 방향 전환

🎯 시험 포인트

①v=x′, a=v′=x″ (한 번·두 번 미분)

②v>0 양의 방향·v<0 음의 방향

③방향 전환은 v=0 + 부호 변화

④속력은 |v|

⑤t=0은 출발 시각이므로 방향 전환에서 보통 제외