seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

방정식과 부등식에의 활용

Equations & Inequalities

실근은 그래프의 교점이다
0
👀 눈으로 보자
①방정식 f(x)=k의 실근은 y=f(x)와 y=k의 교점이다
②k를 올리고 내리면 교점 수가 1개↔3개로 바뀐다
③경계는 극댓값·극솟값을 지나는 순간
삼차방정식 실근 개수 판정
극값 부호로 판정
(극댓값) × (극솟값) < 0 ⇒ 서로 다른 실근 3개
곱이 0이면 중근(2개), 0보다 크면 1개
f(x)=k 꼴로 분리
상수 분리
f(x)=k의 실근 개수 = y=f(x) 그래프와 y=k의 교점 수
k를 움직이는 수평선으로 보면 극값이 경계가 된다
직접 풀어 보자
예제 1
방정식 x³−3x+1=0의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
1
f(x)=x³−3x+1, f'(x)=3x²−3=0에서 x=±1.
2
극댓값 f(−1)=3>0, 극솟값 f(1)=−1<0 — 부호가 다르다.
(극댓값)(극솟값) < 0 ⇒ 실근 3개
▸ 3개
삼차함수는 극댓값·극솟값의 부호만 보면 실근 개수가 바로 나온다.
예제 2
x ≥ 0에서 부등식 x³−3x+2 ≥ 0이 성립함을 보이시오.
1
g(x)=x³−3x+2, g'(x)=3x²−3=0에서 x≥0이면 x=1.
2
x≥0에서 최솟값은 g(1)=1−3+2=0 ≥ 0.
minx≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0
▸ 최솟값 0 ≥ 0이므로 성립
부등식 증명은 (좌변−우변)의 최솟값이 0 이상임을 보이는 것이 정석이다.
총정리
핵심 전략
실근 개수 = 그래프 교점, 부등식 = 최솟값의 부호
방정식은 극값 부호로, 부등식은 최솟값으로 — 미분으로 일관되게 해결
2022 교육청 학평 수학 유형 변형
방정식 x³−3x = k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위는?
①k < −2
②−2 < k < 2
③k > 2
④k = ±2
⑤모든 실수
▸ ② −2 < k < 2
1
f(x)=x³−3x, f'(x)=3x²−3=0에서 극대 f(−1)=2, 극소 f(1)=−2.
2
세 실근 조건은 수평선 y=k가 극솟값과 극댓값 사이.
−2 < k < 2
🎯 시험 포인트
①방정식 실근 = 그래프 교점으로 환원
②삼차 실근 개수는 (극대)(극소) 부호로
③f(x)=k는 상수 분리해 수평선 이동으로
④부등식은 (차)의 최솟값 ≥ 0 보이기
⑤정의역 제한이 있으면 그 구간의 최솟값을 본다
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