방정식과 부등식에의 활용

Equations & Inequalities

방정식을 풀라고 하면 보통 x를 계산으로 찾으려 하지만, 미분을 쓰면 방정식을 한 장의 그림으로 바꿔서 볼 수 있어요. x³−3x=k의 실근은 곡선 y=x³−3x와 수평선 y=k가 만나는 교점과 정확히 같아서, 근이 몇 개인지 계산 없이 눈으로 셀 수 있어요. 부등식도 마찬가지라, 양변의 차가 가장 작아지는 값인 최솟값이 0 이상인지만 확인하면 증명이 끝나요. 수평선 y=k를 위아래로 움직여 교점 개수가 1개에서 3개로 바뀌는 경계가 왜 하필 극댓값과 극솟값 자리인지 확인해 봐요.

실근은 그래프의 교점이다

수평선 y = k0

👀 눈으로 보자

①방정식 f(x)=k의 실근은 y=f(x)와 y=k의 교점이다

②k를 올리고 내리면 교점 수가 1개↔3개로 바뀐다

③경계는 극댓값·극솟값을 지나는 순간

삼차방정식 실근 개수 판정

극값 부호로 판정

(극댓값) × (극솟값) < 0 ⇒ 서로 다른 실근 3개

곱이 0이면 중근(2개), 0보다 크면 1개

f(x)=k 꼴로 분리

상수 분리

f(x)=k의 실근 개수 = y=f(x) 그래프와 y=k의 교점 수

k를 움직이는 수평선으로 보면 극값이 경계가 된다

직접 풀어 보자

예제 1

방정식 x³−3x+1=0의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

f(x)=x³−3x+1, f'(x)=3x²−3=0에서 x=±1.

극댓값 f(−1)=3>0, 극솟값 f(1)=−1<0: 부호가 다르다.

(극댓값)(극솟값) < 0 ⇒ 실근 3개

▸ 3개

삼차함수는 극댓값·극솟값의 부호만 보면 실근 개수가 바로 나온다.

예제 2

x ≥ 0에서 부등식 x³−3x+2 ≥ 0이 성립함을 보이시오.

g(x)=x³−3x+2, g'(x)=3x²−3=0에서 x≥0이면 x=1.

x≥0에서 최솟값은 g(1)=1−3+2=0 ≥ 0.

min_x≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0

▸ 최솟값 0 ≥ 0이므로 성립

부등식 증명은 (좌변−우변)의 최솟값이 0 이상임을 보이는 것이 정석이다.

총정리

핵심 전략

실근 개수 = 그래프 교점, 부등식 = 최솟값의 부호

방정식은 극값 부호로, 부등식은 최솟값으로: 미분으로 일관되게 해결

2022 교육청 학평 수학 유형 변형

방정식 x³−3x = k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위는?

①k < −2

②−2 < k < 2

③k > 2

④k = ±2

⑤모든 실수

▸ ② −2 < k < 2

f(x)=x³−3x, f'(x)=3x²−3=0에서 극대 f(−1)=2, 극소 f(1)=−2.

세 실근 조건은 수평선 y=k가 극솟값과 극댓값 사이.

−2 < k < 2

🎯 시험 포인트

①방정식 실근 = 그래프 교점으로 환원

②삼차 실근 개수는 (극대)(극소) 부호로

③f(x)=k는 상수 분리해 수평선 이동으로

④부등식은 (차)의 최솟값 ≥ 0 보이기

⑤정의역 제한이 있으면 그 구간의 최솟값을 본다