seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

방정식과 부등식에의 활용

Equations & Inequalities

방정식을 풀라고 하면 흔히 계산으로 x 를 찾으려 하지만, 미분을 쓰면 방정식을 그래프 한 장으로 바꿔 볼 수 있어요. x³ − 3x = k 의 실근은 곡선 y = x³ − 3x 와 수평선 y = k 가 만나는 점의 x좌표와 같아서, 근이 몇 개인지 계산 없이 셀 수 있어요. 부등식도 마찬가지로, 양변의 차의 최솟값이 0 이상인지만 확인하면 증명이 끝나요. 그림에서 수평선 y = k 를 위아래로 옮기면, 교점이 3개에서 1개로 바뀌는 경계가 극댓값 2 와 극솟값 −2 자리라는 것을 볼 수 있어요.

실근은 그래프의 교점이다

0
👀 그림에서 읽을 것
①방정식 f(x) = k 의 실근은 y = f(x) 와 y = k 의 교점의 x좌표이다
②−2 < k < 2 이면 교점이 3개, k > 2 또는 k < −2 이면 1개이다
③k = ±2 이면 수평선이 봉우리나 골짜기에 닿아 중근이 생기고, 서로 다른 실근은 2개이다
④경계가 되는 k 는 극댓값과 극솟값이다

삼차방정식의 실근 개수

극값의 부호로 판정
(극댓값) × (극솟값) < 0 ⇒ 서로 다른 실근 3개
곱이 0 이면 중근이 있어 서로 다른 실근은 2개, 0 보다 크면 1개이다

f(x) = k 꼴로 나누기

상수를 한쪽으로
f(x)=k의 실근 개수 = y=f(x) 그래프와 y=k의 교점 수
k 를 위아래로 움직이는 수평선으로 보면 극값이 개수가 바뀌는 경계가 된다

예제로 확인하기

예제 1
방정식 x³−3x+1=0의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
1
f(x) = x³ − 3x + 1 이라 하면 f'(x) = 3x² − 3 = 0 에서 x = ±1 이다.
2
극댓값 f(−1) = 3 > 0, 극솟값 f(1) = −1 < 0 으로 부호가 다르다.
(극댓값)(극솟값) < 0 ⇒ 실근 3개
▸ 3개
봉우리는 x축 위에, 골짜기는 x축 아래에 있으므로 그래프가 x축을 세 번 지난다. 그림에서 k = −1 로 둔 것과 같은 상황이다.
예제 2
x ≥ 0에서 부등식 x³−3x+2 ≥ 0이 성립함을 보이시오.
1
g(x) = x³ − 3x + 2 라 하면 g'(x) = 3x² − 3 = 0 에서 x ≥ 0 인 것은 x = 1 이다.
2
x ≥ 0 에서 g 의 최솟값은 g(1) = 1 − 3 + 2 = 0 이고 0 이상이다.
minx≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0
▸ 최솟값 0 ≥ 0이므로 성립
부등식은 (좌변 − 우변) 의 최솟값이 0 이상임을 보이면 증명된다. g(x) = (x − 1)²(x + 2) 로 인수분해해도 x ≥ 0 에서 0 이상임을 알 수 있다.

정리

풀이 전략
실근 개수 = 그래프 교점, 부등식 = 최솟값의 부호
방정식은 극값의 부호로, 부등식은 최솟값으로 푼다
2022 교육청 학평 수학 유형 변형
방정식 x³−3x = k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위는?
①k < −2
②−2 < k < 2
③k > 2
④k = ±2
⑤모든 실수
▸ ② −2 < k < 2
1
f(x) = x³ − 3x 에서 f'(x) = 3x² − 3 = 0 이므로 극댓값 f(−1) = 2, 극솟값 f(1) = −2 이다.
2
서로 다른 세 실근을 가지려면 수평선 y = k 가 극솟값과 극댓값 사이에 있어야 한다.
−2 < k < 2
🎯 시험 포인트
①방정식의 실근은 그래프의 교점으로 바꾸어 센다
②삼차방정식의 실근 개수는 (극댓값)(극솟값) 의 부호로 정한다
③f(x) = k 꼴로 상수를 떼어 내 수평선을 움직인다
④부등식은 차의 최솟값이 0 이상임을 보인다
⑤x 의 범위가 정해져 있으면 그 범위 안의 최솟값을 본다
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