seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

이계도함수와 변곡점

Second Derivative & Inflection

굽은 방향을 읽는다
1
👀 눈으로 보자
①f″>0이면 곡선은 아래로 볼록(∪)
②f″<0이면 위로 볼록(∩)
③볼록 방향이 바뀌는 점이 변곡점이다
④점을 움직이면 색이 바뀌는 지점이 곧 변곡점
오목·볼록의 정의
오목·볼록 판정
f″(x) > 0 ⇒ 아래로 볼록, f″(x) < 0 ⇒ 위로 볼록
이계도함수의 부호가 곡선이 굽는 방향을 결정한다
변곡점의 조건
f″(a)=0 이고 x=a 좌우로 f″의 부호가 바뀜 ⇒ (a, f(a)) 변곡점
f″=0은 필요조건일 뿐 — 부호 변화까지 확인해야 변곡점
🪞 f″의 부호가 모양을 정한다
①f″(x)>0인 구간에서 그래프는 아래로 볼록
②f″(x)<0인 구간에서 위로 볼록
③변곡점은 f″=0이면서 부호가 바뀌는 곳 — f″=0만으로는 부족
이계도함수 극값 판정법
극값의 이계도함수 판정
f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 극소 / f″(a)<0 ⇒ 극대
도함수가 0인 점에서 f″의 부호로 극대·극소를 빠르게 판정
직접 구해 보자
예제 1
f(x)=x³−3x²+1의 변곡점의 좌표를 구하시오.
1
이계도함수를 구한다.
f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6
2
f″(x)=0을 풀고 부호 변화를 확인한 뒤 y좌표를 구한다.
f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1
▸ (1, −1)
x=1 좌우로 f″의 부호가 −→+로 바뀌므로 변곡점이 맞다.
예제 2
이계도함수 판정으로 f(x)=x³−3x의 극값을 구하시오.
1
f'(x)=3x²−3=0에서 x=±1, f″(x)=6x.
2
f″(1)=6>0이므로 극소, f″(−1)=−6<0이므로 극대.
극솟값 f(1)=−2, 극댓값 f(−1)=2
▸ 극댓값 2, 극솟값 −2
도함수 부호표 없이도 f″의 부호 하나로 극대·극소가 갈린다.
총정리
핵심 정리
f″>0 아래로 볼록, f″<0 위로 볼록, 부호 변화점 = 변곡점
그래프 개형은 f′(증감)과 f″(볼록·변곡)을 함께 읽어 그린다
2021 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형
함수 f(x)=x³−6x²+9x+1의 변곡점의 좌표는?
①(1, 5)
②(2, 3)
③(2, 5)
④(3, 1)
⑤변곡점 없음
▸ ② (2, 3)
1
f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12.
2
f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3.
변곡점 (2, 3)
🎯 시험 포인트
①f″>0 아래로 볼록·f″<0 위로 볼록
②변곡점은 f″=0 + 부호 변화(둘 다 필요)
③극값은 f'=0 후 f″ 부호로 판정
④그래프 개형은 f'·f″ 부호표로
⑤변곡점 좌표는 y값까지 반드시 구하기
이 페이지가 도움 됐다면 후원하기