고등학교 3학년 (17-18세)

이계도함수와 변곡점

Second Derivative & Inflection

함수가 어디서 커지고 작아지는지는 도함수가 알려 주지만, 곡선이 어느 쪽으로 휘는지는 이계도함수 f″ 의 부호로 알 수 있어요. f″ 이 양수인 구간에서는 그래프가 그릇처럼 아래로 볼록하고(∪), 음수인 구간에서는 뚜껑처럼 위로 볼록해요(∩). 휘는 방향이 뒤바뀌는 점이 변곡점인데, f″ = 0 이면서 그 좌우에서 f″ 의 부호가 바뀌어야 변곡점이에요. 그림에서 점을 곡선 위로 옮기면 x = 0 을 지날 때 곡선의 색과 휘는 방향이 함께 바뀌어요.

휘는 방향 읽기

점의 위치 x1

👀 그림에서 읽을 것

①f″ > 0 이면 곡선은 아래로 볼록(∪)하고 접선이 곡선 아래에 놓인다

②f″ < 0 이면 위로 볼록(∩)하고 접선이 곡선 위에 놓인다

③y = x³ − 3x 는 f″(x) = 6x 이므로 x = 0 에서 볼록한 방향이 바뀐다

④그래서 원점이 변곡점이다

볼록한 방향의 판정

f″(x) > 0 ⇒ 아래로 볼록, f″(x) < 0 ⇒ 위로 볼록

이계도함수의 부호가 곡선이 휘는 방향을 정한다

변곡점의 조건

f″(a)=0 이고 x=a 좌우로 f″의 부호가 바뀜 ⇒ (a, f(a)) 변곡점

f″ = 0 은 필요한 조건일 뿐이고, 부호가 바뀌는지까지 확인해야 변곡점이다

🪞 f″ 의 부호가 모양을 정한다

①f″(x) > 0 인 구간에서 그래프는 아래로 볼록하다

②f″(x) < 0 인 구간에서 그래프는 위로 볼록하다

③변곡점은 f″ = 0 이면서 부호가 바뀌는 점이다. f″ = 0 만으로는 부족하다

④예를 들어 y = x⁴ 은 x = 0 에서 f″ = 0 이지만 양쪽 모두 아래로 볼록해 변곡점이 아니다

이계도함수로 극값 판정

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 극소 / f″(a)<0 ⇒ 극대

도함수가 0 인 점에서 f″ 의 부호로 극대와 극소를 바로 가린다

예제로 확인하기

예제 1

f(x)=x³−3x²+1의 변곡점의 좌표를 구하시오.

이계도함수를 구한다.

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

f″(x) = 0 을 풀고 부호가 바뀌는지 확인한 뒤 y좌표를 구한다.

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

x = 1 의 좌우에서 f″ 의 부호가 − 에서 + 로 바뀌므로 변곡점이 맞다.

예제 2

이계도함수 판정으로 f(x)=x³−3x의 극값을 구하시오.

f'(x) = 3x² − 3 = 0 에서 x = ±1 이고, f″(x) = 6x 이다.

f″(1) = 6 > 0 이므로 극소, f″(−1) = −6 < 0 이므로 극대이다.

극솟값 f(1)=−2, 극댓값 f(−1)=2

▸ 극댓값 2, 극솟값 −2

증감표를 그리지 않아도 f″ 의 부호 하나로 극대와 극소가 갈린다. 그림의 곡선이 바로 이 함수이다.

정리

핵심 정리

f″>0 아래로 볼록, f″<0 위로 볼록, 부호 변화점 = 변곡점

그래프의 모양은 f′(증가 · 감소)과 f″(볼록한 방향 · 변곡점)을 함께 읽어 그린다

2021 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

함수 f(x)=x³−6x²+9x+1의 변곡점의 좌표는?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤변곡점 없음

▸ ② (2, 3)

f'(x) = 3x² − 12x + 9 이고 f″(x) = 6x − 12 이다.

f″(x) = 0 에서 x = 2 이고, f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3 이다.

변곡점 (2, 3)

🎯 시험 포인트

①f″ > 0 이면 아래로 볼록, f″ < 0 이면 위로 볼록

②변곡점은 f″ = 0 과 부호 변화가 함께 필요하다

③극값은 f′ = 0 인 점에서 f″ 의 부호로 판정한다

④그래프의 모양은 f′ 과 f″ 의 부호표로 그린다

⑤변곡점은 y좌표까지 구해 좌표로 답한다

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도함수의 활용

방정식과 부등식에의 활용

마지막 수정 2026-10-17

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