이계도함수와 변곡점

Second Derivative & Inflection

함수가 어디서 커지고 작아지는지는 일계도함수가 가리키지만, 곡선이 어느 쪽으로 휘어지는지는 이계도함수 f″이 가리켜요. f″이 양수인 구간에서는 그래프가 컵처럼 아래로 볼록하고(∪), 음수인 구간에서는 뚜껑처럼 위로 볼록해요(∩). 이렇게 휘는 방향이 뒤집히는 딱 그 지점이 바로 변곡점이라, f″=0이 되면서 좌우로 부호까지 바뀌어야 진짜 변곡점으로 인정돼요. 점을 곡선 위에서 천천히 움직이면, f″의 부호가 바뀔 때 색과 휘는 방향이 함께 뒤집히는 변곡점이 보여요.

굽은 방향을 읽는다

점의 위치 x1

👀 눈으로 보자

①f″>0이면 곡선은 아래로 볼록(∪)

②f″<0이면 위로 볼록(∩)

③볼록 방향이 바뀌는 점이 변곡점이다

④점을 움직이면 색이 바뀌는 지점이 곧 변곡점

오목·볼록의 정의

오목·볼록 판정

f″(x) > 0 ⇒ 아래로 볼록, f″(x) < 0 ⇒ 위로 볼록

이계도함수의 부호가 곡선이 굽는 방향을 결정한다

변곡점의 조건

f″(a)=0 이고 x=a 좌우로 f″의 부호가 바뀜 ⇒ (a, f(a)) 변곡점

f″=0은 필요조건일 뿐: 부호 변화까지 확인해야 변곡점

🪞 f″의 부호가 모양을 정한다

①f″(x)>0인 구간에서 그래프는 아래로 볼록

②f″(x)<0인 구간에서 위로 볼록

③변곡점은 f″=0이면서 부호가 바뀌는 곳: f″=0만으로는 부족

④이 그림 y = x³ − 3x는 실제로 부호가 바뀐다. 반례(f″=0인데 변곡 아님): x⁴

이계도함수 극값 판정법

극값의 이계도함수 판정

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 극소 / f″(a)<0 ⇒ 극대

도함수가 0인 점에서 f″의 부호로 극대·극소를 빠르게 판정

직접 구해 보자

예제 1

f(x)=x³−3x²+1의 변곡점의 좌표를 구하시오.

이계도함수를 구한다.

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

f″(x)=0을 풀고 부호 변화를 확인한 뒤 y좌표를 구한다.

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

x=1 좌우로 f″의 부호가 −→+로 바뀌므로 변곡점이 맞다.

예제 2

이계도함수 판정으로 f(x)=x³−3x의 극값을 구하시오.

f'(x)=3x²−3=0에서 x=±1, f″(x)=6x.

f″(1)=6>0이므로 극소, f″(−1)=−6<0이므로 극대.

극솟값 f(1)=−2, 극댓값 f(−1)=2

▸ 극댓값 2, 극솟값 −2

도함수 부호표 없이도 f″의 부호 하나로 극대·극소가 갈린다.

총정리

핵심 정리

f″>0 아래로 볼록, f″<0 위로 볼록, 부호 변화점 = 변곡점

그래프 개형은 f′(증감)과 f″(볼록·변곡)을 함께 읽어 그린다

2021 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

함수 f(x)=x³−6x²+9x+1의 변곡점의 좌표는?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤변곡점 없음

▸ ② (2, 3)

f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12.

f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3.

변곡점 (2, 3)

🎯 시험 포인트

①f″>0 아래로 볼록·f″<0 위로 볼록

②변곡점은 f″=0 + 부호 변화(둘 다 필요)

③극값은 f'=0 후 f″ 부호로 판정

④그래프 개형은 f'·f″ 부호표로

⑤변곡점 좌표는 y값까지 반드시 구하기. 증감·극값의 기본은 수학Ⅱ 도함수의 활용 장에서