고등학교 3학년 (17-18세)

여러 가지 적분법

Integration Methods

적분이 까다로운 까닭은 피적분함수의 생김새가 저마다 다르기 때문이고, 그래서 생김새에 맞는 방법을 골라 써요. 치환적분은 안쪽 함수를 u 로 바꿔 더 단순한 적분으로 옮기고, 부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 써서 어려운 적분을 쉬운 적분으로 바꿔요. 근호가 있으면 삼각치환을, 분수 꼴이면 부분분수를 떠올리는 식으로 생김새를 보고 방법을 정해요. 첫 그림에서 위끝 t 를 움직이면 x 쪽 넓이와 u 쪽 넓이가 늘 같은 값 sin(t²) 이 되고, 둘째 그림에서는 xeˣ 아래 넓이가 부분적분으로 구한 값과 맞아요.

치환적분

위끝 t2

🔄 x 의 적분을 u 의 적분으로

①2x cos(x²) 는 cos 안에 x² 가 들어 있고, 그 x² 의 도함수 2x 가 앞에 곱해져 있다

②u = x² 로 놓으면 du = 2x dx 이므로 2x cos(x²) dx 가 통째로 cos u du 로 바뀐다

③구간도 함께 바뀌어 x 가 0 에서 t 까지 가면 u 는 0 에서 t² 까지 간다. 그림의 두 넓이가 늘 sin(t²) 으로 같은 까닭이다

④그래서 부정적분은 sin u + C = sin(x²) + C 이다

치환적분

∫ f(g(x)) · g′(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))

안쪽 함수를 u = g(x) 로 놓으면 g′(x) dx = du 가 된다. 정적분이면 적분 구간도 u 의 값으로 바꾼다

부분적분

위끝 t1.5

부분적분

∫ u dv = uv − ∫ v du

곱의 미분법 (uv)′ = u′v + uv′ 의 양변을 적분해 정리한 식이다. 미분하면 간단해지는 쪽을 u, 적분하기 쉬운 쪽을 dv 로 고른다

🧩 u 를 고르는 순서

①흔히 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 앞에 있는 것을 u 로 고른다

②∫xeˣ dx 에서는 다항식 x 를 u, eˣ dx 를 dv 로 둔다. 그러면 du = dx, v = eˣ 이다

③∫xeˣ dx = xeˣ − ∫eˣ dx = xeˣ − eˣ + C 이고, 0 부터 t 까지 적분하면 (t − 1)eᵗ + 1 이다. 그림 아래의 값이 이 식으로 계산한 것이다

모양에 따른 방법

삼각치환

√(a² − x²) → x = a sin θ, √(x² − a²) → x = a sec θ, √(x² + a²) → x = a tan θ

근호 안의 모양을 보고 치환을 고른다. 1 − sin²θ = cos²θ 처럼 근호를 없애 주는 항등식이 바탕이다

부분분수로 나누기

1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b

분모가 일차식의 곱인 유리함수는 부분분수로 나눈 뒤 각각 ln 꼴로 적분한다. 양변에 (x − a)(x − b) 를 곱하고 x = a, x = b 를 넣으면 A, B 가 정해진다

💡 방법을 고르는 기준

①안쪽 함수와 그 도함수가 함께 보이면 치환적분

②종류가 다른 두 함수의 곱이면 부분적분

③근호 안이 a² − x² 같은 꼴이면 삼각치환

④분모를 인수분해할 수 있는 분수 꼴이면 부분분수

⑤적분한 결과를 미분해 피적분함수가 다시 나오는지 확인한다

자주 쓰는 적분 공식

지수함수와 1/x 의 적분

∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C

eˣ 의 적분은 eˣ 그대로이고, 1/x 의 적분은 ln|x| 다. 절댓값은 x < 0 인 구간까지 함께 다루려고 붙인다

삼각함수의 적분

∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C

(cos x)′ = −sin x 이므로 sin x 의 적분에는 음의 부호가 붙는다

sec² 과 csc² 의 적분

∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C

(tan x)′ = sec²x, (cot x)′ = −csc²x 를 거꾸로 읽은 것이다

예제

예제 1

부정적분 ∫ 2x cos(x²) dx 를 구하시오.

안쪽 함수 x² 을 u 로 놓으면 du = 2x dx 이다.

u = x², du = 2x dx

u 에 대해 적분한 뒤 다시 x 로 바꾼다.

∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

▸ sin(x²) + C

안쪽 함수의 도함수가 곱해져 있으면 치환적분을 쓸 수 있다는 신호다.

예제 2

부정적분 ∫ x e^x dx 를 구하시오.

u = x, dv = e^x dx 로 두면 du = dx, v = e^x 이다.

u = x, dv = e^x dx ⇒ du = dx, v = e^x

부분적분 공식 ∫ u dv = uv − ∫ v du 에 대입한다.

x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

▸ (x − 1)e^x + C

다항식을 u 로 두면 미분할 때마다 차수가 낮아져 적분이 쉬워진다. 반대로 eˣ 를 u 로 두면 x 의 차수가 올라가 더 복잡해진다.

정리

적분법 고르기

합성함수 → 치환, 두 함수의 곱 → 부분적분, 근호 → 삼각치환, 분수 → 부분분수

피적분함수의 모양을 보고 네 가지 가운데 하나를 고른다

수능 유형 변형

정적분 ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx 의 값은?

①154

②4

③174

④152

⑤8

▸ ① 154

u = x² + 1 로 치환하고 적분 구간도 바꾼다. x 가 0 에서 1 까지 가면 u 는 1 에서 2 까지 간다.

u = x² + 1, x: 0 → 1 ⇒ u: 1 → 2

u 에 대한 정적분을 계산한다.

∫₁² u³ du = 2⁴ − 1⁴4 = 154

🎯 시험 포인트

①치환적분은 무엇을 u 로 놓느냐가 핵심이고, 대개 안쪽 함수를 u 로 놓는다

②부분적분은 로그, 다항, 삼각, 지수 순으로 u 를 고른다

③정적분에서 치환하면 적분 구간도 u 의 값으로 바꾼다

④부분분수는 분모를 인수분해한 뒤 계수를 정한다

⑤적분한 뒤에는 결과를 미분해 검산한다

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속도와 가속도

정적분

마지막 수정 2026-10-17

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