여러 가지 적분법

Integration Methods

적분이 어려운 이유는 함수의 생김새가 제각각이기 때문인데, 그래서 형태에 맞는 무기를 골라 써요. 치환적분은 복잡한 x의 세계를 u라는 더 단순한 세계로 갈아타서 계산하고, 부분적분은 어려운 적분을 더 쉬운 적분으로 맞바꾸는 방법이에요. 근호가 있으면 삼각치환, 분수 꼴이면 부분분수처럼 생김새가 곧 전략이 돼요. 상한 슬라이더를 움직이면 x-세계가 u-세계로 바뀌고, xeˣ 아래 넓이가 쌓이는 모습이 보여요.

치환적분의 직관

적분 상한2

🔄 세계를 바꾸자

①왼쪽(x-세계): 2x·cos(x²) 복잡하다

②u = x²로 치환하면 → 오른쪽(u-세계): cos(u) 간단!

③적분한 후 다시 x로 되돌리면 sin(x²) + C

치환적분 공식

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))

안쪽 함수 g(x) = u로 놓으면, g'(x)dx = du

부분적분의 직관

적분 상한1.5

부분적분 공식

∫ u dv = uv − ∫ v du

미분하기 쉬운 것을 u, 적분하기 쉬운 것을 dv로 선택

🧩 LIATE 법칙

①u 선택 우선순위: Log → Inverse trig → Algebraic → Trig → Exponential

②예: ∫xeˣdx → u=x(대수), dv=eˣdx

③결과: xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C

치환적분 주요 유형

삼각함수 치환

√(a²−x²) → x = a sin θ, √(x²−a²) → x = a sec θ, √(x²+a²) → x = a tan θ

근호 안의 형태에 따라 삼각치환을 선택한다

부분분수 분해

1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b

유리함수를 부분분수로 분해한 뒤 각각 적분한다. (x−a)(x−b)를 곱한 뒤 대입해 A, B를 정한다

💡 핵심 전략

①합성함수 형태 → 치환적분

②두 함수의 곱 → 부분적분

③근호 → 삼각치환

④유리함수 → 부분분수 분해

⑤적분한 뒤 미분해서 원래 함수가 나오는지 검산한다

자주 나오는 적분 공식

지수·로그 적분

∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C

eˣ의 적분은 자기 자신, 1/x의 적분은 ln|x|

삼각함수 적분

∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C

sin 적분에 (−)부호 주의!

sec² 적분

∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C

미분의 역과정

예제로 익히기

예제 1

부정적분 ∫ 2x cos(x²) dx 를 구하시오.

안쪽 함수 x²을 u로 치환한다. du = 2x dx.

u = x², du = 2x dx

u-세계에서 적분한 뒤 다시 x로 되돌린다.

∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

▸ sin(x²) + C

치환적분의 핵심은 안쪽 함수를 u로 놓는 것. 미분 du = g′(x)dx가 식에 보이면 치환 신호다.

예제 2

부정적분 ∫ x e^x dx 를 구하시오.

LIATE에 따라 u = x(대수), dv = e^x dx로 둔다. du = dx, v = e^x.

u = x, dv = e^x dx ⇒ du = dx, v = e^x

부분적분 ∫u dv = uv − ∫v du를 적용한다.

x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

▸ (x − 1)e^x + C

부분적분에서 u는 미분하면 간단해지는 것을 고른다 (LIATE 순서). 다항식은 보통 u로 둔다.

총정리

적분법 선택 가이드

합성함수 → 치환, 함수×함수 → 부분, 근호 → 삼각치환, 분수 → 부분분수

피적분함수의 형태에 따라 적분법을 선택하는 4대 원칙

수능 유형 변형

정적분 ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx 의 값은?

①154

②4

③174

④152

⑤8

▸ ① 154

u = x²+1로 치환하고 적분 구간도 함께 바꾼다 (x: 0→1 ⇒ u: 1→2).

u = x²+1, x: 0→1 ⇒ u: 1→2

u에 대한 정적분을 계산한다.

∫₁² u³ du = 2⁴ − 1⁴4 = 154

🎯 시험 포인트

①치환적분: u를 무엇으로 놓을지가 핵심. 안쪽 함수를 u로

②부분적분: LIATE 순서로 u 선택

③삼각치환: √(a²−x²) → sinθ, √(x²+a²) → tanθ, √(x²−a²) → secθ

④부분분수: 분모를 인수분해 후 미정계수 결정

⑤적분 후 반드시 검산: 결과를 미분해서 원래 함수가 나오는지 확인