정적분

Definite Integrals

정적분은 단순한 넓이가 아니라 부호가 붙은 넓이예요. x축 위쪽 넓이는 양으로, 아래쪽 넓이는 음으로 세기 때문에 둘이 만나면 서로 상쇄되기도 해요. 계산의 진짜 열쇠는 미적분학의 기본정리인데, 역도함수 F를 하나 찾아서 위끝 값 F(b)에서 아래끝 값 F(a)를 빼면 그 값이 바로 정적분이에요. 아래에서 두 끝 a와 b를 움직여 sin x의 양의 넓이와 음의 넓이가 어떻게 더해지고 상쇄되는지 직접 확인해 봐요.

정적분과 부호 있는 넓이

하한 a0

상한 b3.141592653589793

👀 부호 있는 넓이

①x축 위의 넓이는 (+), 아래의 넓이는 (−)

②a=0, b=π → 넓이 2 (전부 양)

③a=0, b=2π → 넓이 0 (양과 음이 상쇄!)

④이것이 정적분의 핵심이다

미적분학의 기본정리

미적분학의 기본정리 (FTC)

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

정적분 = 역도함수의 상한값 − 하한값

🌉 미분과 적분의 다리

①미분과 적분은 서로 역연산이다

②F'(x) = f(x)인 F를 찾으면, 정적분은 F(b) − F(a)

③이것이 수학에서 가장 아름다운 정리 중 하나이다

FTC 제2형

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

적분의 상한으로 미분하면 피적분함수가 된다

정적분의 성질

구간 분할

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

구간을 나눠서 적분한 후 더하면 전체 적분

우함수·기함수

f(−x) = f(x) → ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx

우함수는 대칭이므로 반만 계산해서 2배

기함수 성질

f(−x) = −f(x) → ∫_−a^a f dx = 0

기함수의 대칭 구간 적분은 항상 0

⚖️ 대칭의 힘

①우함수(짝함수): y축 대칭 → 반만 계산 × 2

②기함수(홀함수): 원점 대칭 → 양쪽이 상쇄 → 0

③시험에서 계산량을 절반으로 줄이는 핵심 테크닉

이상적분 (특이적분)

상한 t5

∞ 무한인데 유한?

①1/x²은 빠르게 감소하여, 무한히 더해도 넓이가 유한하다

②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → t→∞이면 → 1

③반면 ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞ : 발산!

이상적분 수렴 판정

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 수렴, p ≤ 1 발산

p-급수 판정: p=2는 수렴, p=1(조화급수)은 발산

예제로 익히기

예제 1

정적분 ∫₁² (3x² + 2) dx 를 구하시오.

역도함수 F(x)를 구한다.

F(x) = x³ + 2x

미적분학의 기본정리 F(2) − F(1)을 계산한다.

(2³ + 2·2) − (1³ + 2·1) = 12 − 3 = 9

▸ 9

정적분은 역도함수 F를 찾아 F(상한) − F(하한)으로 계산한다 (FTC).

예제 2

정적분 ∫₋₂² (x³ + x²) dx 를 구하시오.

x³은 기함수(적분 0), x²은 우함수(반만 계산 × 2)로 분리한다.

∫₋₂² x³ dx = 0, ∫₋₂² x² dx = 2∫₀² x² dx

우함수 부분만 계산한다.

2 · 2³3 = 163

▸ 163

대칭 구간에서는 기함수는 0, 우함수는 절반만 계산해 2배: 계산량을 크게 줄인다.

총정리

미적분학 기본정리

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

정적분의 계산은 역도함수를 찾는 것으로 귀결된다

수능 유형 변형

함수 g(x) = ∫₁^x (2t + 1) dt 에 대하여 g'(2) + g(1)의 값은?

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ③ 5

FTC 제2형으로 g'(x) = 2x + 1을 얻는다.

g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5

g(1)은 적분 구간의 길이가 0이므로 0이다.

g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5

🎯 시험 포인트

①FTC: F(b) − F(a) 계산이 가장 기본

②부호 있는 넓이: x축 아래는 (−)이므로 절대면적과 구분

③우함수/기함수: 대칭 구간에서 계산량 절반 단축

④이상적분: p > 1 ↔ 수렴, p ≤ 1 ↔ 발산

⑤FTC 제2형: 상한이 x인 적분의 미분 = f(x)