고등학교 3학년 (17-18세)

정적분

Definite Integrals

정적분은 그냥 넓이가 아니라 부호가 붙은 넓이예요. x축 위쪽은 양으로, 아래쪽은 음으로 세기 때문에 두 부분이 함께 있으면 서로 지워지기도 해요. 계산의 열쇠는 미적분의 기본정리로, 역도함수 F 를 하나 찾아 위끝의 값 F(b) 에서 아래끝의 값 F(a) 를 빼면 정적분이 나와요. 첫 그림에서 a 와 b 를 옮기면 sin x 의 양의 부분과 음의 부분이 어떻게 더해지고 지워지는지 볼 수 있고, 둘째 그림에서는 위끝을 키워도 1/x² 아래의 넓이가 1 을 넘지 않아요.

정적분과 부호 있는 넓이

아래끝 a0

위끝 b3.1

👀 부호 있는 넓이

①x축 위의 넓이는 +, 아래의 넓이는 − 로 센다

②a = 0, b = π 이면 정적분은 2 이다(모두 x축 위)

③a = 0, b = 2π 이면 정적분은 0 이다(위와 아래가 지워진다)

④그림의 b 는 0.1 간격이라 π 대신 3.1 에서 값이 2 에 가까워진다

미적분학의 기본정리

미적분의 기본정리

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

정적분 = 역도함수의 위끝 값 − 아래끝 값

🌉 미분과 적분을 잇는 다리

①미분과 적분은 서로 거꾸로의 연산이다

②F'(x) = f(x) 인 F 를 찾으면 정적분은 F(b) − F(a) 이다

③그림의 sin x 는 F(x) = −cos x 이므로 정적분은 cos a − cos b 이다

기본정리의 다른 꼴

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

위끝이 x 인 정적분을 x 로 미분하면 적분하던 함수가 된다

정적분의 성질

구간 나누기

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

구간을 나누어 적분한 뒤 더하면 전체 구간의 적분과 같다

y축에 대칭인 함수

f(−x) = f(x) → ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx

그래프가 y축에 대칭이면 절반만 계산해 두 배 한다

원점에 대칭인 함수

f(−x) = −f(x) → ∫_−a^a f dx = 0

그래프가 원점에 대칭이면 대칭 구간의 적분은 0 이다

⚖️ 대칭을 쓰면 계산이 준다

①y축에 대칭인 함수(f(−x) = f(x))는 0 부터 a 까지만 계산해 두 배 한다

②원점에 대칭인 함수(f(−x) = −f(x))는 양쪽이 지워져 0 이다

③다항식이면 짝수 차 항과 홀수 차 항으로 나누어 이 성질을 쓴다

위끝이 무한대인 적분(심화)

위끝 t5

∞ 끝없이 이어져도 넓이는 유한

①1/x² 은 빠르게 작아져서 끝없이 이어져도 넓이가 유한하다

②1 부터 t 까지의 넓이는 1 − 1/t 이고, t → ∞ 이면 1 에 다가간다

③반면 1/x 은 1 부터 t 까지의 넓이가 ln t 라서 t → ∞ 이면 한없이 커진다

수렴과 발산의 기준

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 수렴, p ≤ 1 발산

p > 1 이면 넓이가 유한하고, p ≤ 1 이면 한없이 커진다. 고등학교 교과 범위를 넘는 심화 내용이다

예제로 익히기

예제 1

정적분 ∫₁² (3x² + 2) dx 를 구하시오.

미분해서 3x² + 2 가 되는 함수로 F(x) = x³ + 2x 를 잡는다.

F(x) = x³ + 2x

기본정리에 따라 F(2) − F(1) 을 계산한다.

(2³ + 2·2) − (1³ + 2·1) = 12 − 3 = 9

▸ 9

F(2) = 12, F(1) = 3 이므로 답은 9 이다. 역도함수에 붙는 상수 C 는 빼는 과정에서 지워진다.

예제 2

정적분 ∫₋₂² (x³ + x²) dx 를 구하시오.

x³ 은 원점에 대칭(적분 0), x² 은 y축에 대칭(절반만 계산해 두 배)이므로 둘로 나눈다.

∫₋₂² x³ dx = 0, ∫₋₂² x² dx = 2∫₀² x² dx

y축에 대칭인 x² 부분만 계산한다.

2 · 2³3 = 163

▸ 163

대칭 구간에서는 원점에 대칭인 부분이 0 이 되고 y축에 대칭인 부분은 절반만 계산하면 되므로 계산이 크게 준다.

정리

미적분학 기본정리

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

정적분의 계산은 역도함수를 찾는 일로 돌아간다

수능 유형 변형

함수 g(x) = ∫₁^x (2t + 1) dt 에 대하여 g'(2) + g(1)의 값은?

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ③ 5

기본정리에 따라 g'(x) = 2x + 1 이므로 g'(2) = 5 이다.

g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5

g(1) 은 1 부터 1 까지의 적분이라 0 이다.

g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5

🎯 시험 포인트

①F(b) − F(a) 계산이 가장 기본이다

②x축 아래 부분은 음수로 들어가므로 넓이와 구분한다

③대칭 구간에서는 대칭성을 써서 계산을 줄인다

④위끝이 x 인 정적분을 미분하면 적분하던 함수가 된다

⑤위끝이 x 인 정적분은 x 에 아래끝을 넣으면 0 이다

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여러 가지 적분법

정적분으로 정의된 함수

마지막 수정 2026-10-17

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