고등학교 3학년 (17-18세)

정적분으로 정의된 함수

Functions Defined by Integrals

정적분의 위끝을 x 로 두고 움직이면, 그때까지 쌓인 부호 있는 넓이가 x 의 함수 F(x) 가 돼요. f 가 양수인 구간을 지날 때는 넓이가 더해져 F 가 커지고, 음수인 구간을 지날 때는 넓이가 빠져서 F 가 작아져요. 이렇게 넓이로 만든 F 를 미분하면 원래의 피적분함수 f 가 그대로 나오는데, 이것이 미적분의 기본정리예요. 위끝 x 를 움직이면 색칠한 넓이와 금색 곡선 F 가 함께 변하고, F 가 줄다가 x = 1 에서 가장 작아진 뒤 다시 커지는 것을 볼 수 있어요.

넓이가 쌓여 함수가 된다

위끝 x1.5

👀 그림에서 읽을 것

①F(x) 는 0 부터 x 까지 f(t) = t − 1 이 만드는 부호 있는 넓이다

②0 < x < 1 에서는 f 가 음수라 빨간 넓이가 쌓이며 F 가 줄어든다

③x = 1 에서 f 의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 F 는 극소이고, 그 값은 F(1) = −1/2 이다

④x > 1 에서는 초록 넓이가 더해져 F 가 다시 커지고, x = 2 에서 두 넓이가 같아져 F(2) = 0 이 된다

⑤위 띠의 F′(x) = f(x) 는 파란 점의 높이와 같고, 그 부호에 따라 금색 곡선이 오르거나 내린다

미분하면 피적분함수가 나온다

미적분의 기본정리

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

아래끝 a 가 상수일 때 위끝 x 로 미분하면 f(x) 가 그대로 나온다. 위끝이 g(x) 이면 연쇄법칙으로 F′(x) = f(g(x)) · g′(x) 이다

아래끝에서의 값

F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0

적분 구간의 길이가 0 이면 넓이도 0 이다

F 의 증가 · 감소와 극값

F 의 증감 판정

F′(x) = f(x) ⇒ f > 0 이면 F 증가, f < 0 이면 F 감소

F 는 f(x) = 0 이면서 f 의 부호가 바뀌는 x 에서 극값을 갖는다

예제

예제 1

F(x) = ∫₀^x (t − 2) dt 의 극값을 구하시오.

기본정리에 따라 F 를 미분하면 피적분함수가 나온다.

F′(x) = x − 2

F′(x) = 0 에서 x = 2 이고, 그 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극소다.

F(2) = ∫₀² (t−2) dt = [t²2 − 2t]₀² = −2

▸ 극솟값 −2

F 를 먼저 적분하지 않아도 F′ = f 로 증가와 감소를 판단할 수 있다. 값이 필요할 때만 그 x 까지 적분한다.

예제 2

F(x) = ∫₀^x (t² − 3t + 2) dt 일 때 F′(1) 의 값을 구하시오.

기본정리에서 F′(x) = f(x) 이므로 피적분함수의 t 에 x 를 넣은 식이 F′(x) 다.

x = 1 을 대입한다.

F′(1) = 1 − 3 + 2 = 0

▸ 0

F 를 적분해서 구할 필요 없이 f(1) 만 계산하면 된다.

정리

핵심 정리

F(x) = ∫_a^x f(t) dt ⇒ F′(x) = f(x), F(a) = 0

미분하면 피적분함수가 나오고 아래끝에서 값이 0 이다. 대부분의 문제가 이 두 가지에서 출발한다

2021 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

함수 F(x) = ∫₀^x (t² − 2t) dt 의 극솟값은?

①−4/3

②−2/3

③0

④4/3

⑤2

▸ ① −4/3

F′(x) = x² − 2x = x(x − 2) = 0 에서 x = 0, 2 이다. x = 2 의 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극소다.

F(2)=∫₀² (t²−2t) dt = [t³3 − t²]₀² 을 계산한다.

F(2) = 83 − 4 = −43

🎯 시험 포인트

①F(x) = ∫_a^x f(t) dt 이면 F′(x) = f(x) 이다

②F(a) = 0 이다

③F 의 극값은 f 의 부호가 바뀌는 x 에서 생긴다

④극값을 물으면 그 x 까지 다시 적분해 값을 구한다

⑤위끝이 g(x) 이면 연쇄법칙으로 F′(x) = f(g(x)) · g′(x) 이다

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정적분

정적분과 무한급수

마지막 수정 2026-10-17

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