정적분으로 정의된 함수

Functions Defined by Integrals

정적분의 위끝을 조금씩 늘려 가면, 그때까지 쌓인 부호 있는 넓이가 x에 대한 새로운 함수 F(x)가 돼요. f가 양수인 구간에서는 넓이가 더해져 F가 커지고, 음수인 구간에서는 넓이가 깎여 F가 작아져요. 놀랍게도 이렇게 넓이로 만든 F를 미분하면 원래의 피적분함수 f가 그대로 돌아오는데, 이게 미적분학의 기본정리예요. 위끝 x 슬라이더를 움직여 색칠된 넓이가 어떻게 쌓이고, F 값이 언제 늘고 줄어드는지 직접 확인해 봐요.

넓이가 쌓여 함수가 된다

위끝 x1.5

👀 눈으로 보자

①F(x)는 0부터 x까지 f의 부호 있는 넓이

②f가 양수인 구간에서는 넓이가 더해져 F가 증가

③f가 음수인 구간에서는 F가 감소

④f의 부호가 바뀌는 x에서 F는 극값

미분하면 피적분함수가 나온다

미적분학의 기본정리 (제2)

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

아래끝 a는 상수, 위끝 x로 미분하면 f(x) 그대로

아래끝에서의 값

F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0

적분 구간이 한 점이면 넓이는 0

F의 증감과 극값

F의 증감 판정

F'(x) = f(x) ⇒ f>0이면 F 증가, f<0이면 F 감소

F의 극값은 f(x)=0이면서 부호가 바뀌는 x에서 생긴다

직접 구해 보자

예제 1

F(x)=∫₀^x (t−2) dt 의 극값을 구하시오.

기본정리로 미분하면 피적분함수가 나온다.

F'(x) = x − 2

F'(x)=0 ⇒ x=2, 좌우로 부호가 −→+이므로 극소.

F(2) = ∫₀² (t−2) dt = [t²2 − 2t]₀² = −2

▸ 극솟값 −2

F를 직접 적분하지 않아도 F′=f로 증감을 먼저 판단할 수 있다.

예제 2

F(x)=∫₀^x (t²−3t+2) dt 일 때 F'(1)의 값을 구하시오.

기본정리에서 F'(x)=f(x)이므로 t에 x를 넣은 식이 곧 F'.

x=1을 대입한다.

F'(1) = 1 − 3 + 2 = 0

▸ 0

F를 적분해 구할 필요 없이 f(1)을 바로 계산하면 된다.

총정리

핵심 정리

F(x)=∫_a^x f(t) dt ⇒ F'(x)=f(x), F(a)=0

미분하면 피적분함수, 아래끝에서 0: 이 두 가지가 모든 문제의 출발점

2021 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

함수 F(x)=∫₀^x (t²−2t) dt 의 극솟값은?

①−4/3

②−2/3

③0

④4/3

⑤2

▸ ① −4/3

F'(x)=x²−2x=x(x−2)=0 ⇒ x=0, x=2. x=2에서 부호 −→+이므로 극소.

F(2)=∫₀² (t²−2t) dt = [t³3 − t²]₀² 을 계산한다.

F(2) = 83 − 4 = −43

🎯 시험 포인트

①F(x)=∫_a^x f(t)dt면 F'(x)=f(x)

②F(a)=0 (아래끝에서 넓이 0)

③F의 극값은 f의 부호 변화 지점

④극값을 묻는 문제는 그 x에서 다시 적분해 값 계산

⑤위끝이 g(x)면 합성으로 F'=f(g(x))·g'(x)