고등학교 3학년 (17-18세)

정적분으로 정의된 함수

Functions Defined by Integrals

넓이가 쌓여 함수가 된다

위끝 x1.5

👀 눈으로 보자

①F(x)는 0부터 x까지 f의 부호 있는 넓이

②f가 양수인 구간에서는 넓이가 더해져 F가 증가

③f가 음수인 구간에서는 F가 감소

④f의 부호가 바뀌는 x에서 F는 극값

미분하면 피적분함수가 나온다

미적분학의 기본정리 (제2)

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

아래끝 a는 상수, 위끝 x로 미분하면 f(x) 그대로

아래끝에서의 값

F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0

적분 구간이 한 점이면 넓이는 0

F의 증감과 극값

F의 증감 판정

F'(x) = f(x) ⇒ f>0이면 F 증가, f<0이면 F 감소

F의 극값은 f(x)=0이면서 부호가 바뀌는 x에서 생긴다

직접 구해 보자

예제 1

F(x)=∫₀^x (t−2) dt 의 극값을 구하시오.

1

기본정리로 미분하면 피적분함수가 나온다.

F'(x) = x − 2

2

F'(x)=0 ⇒ x=2, 좌우로 부호가 −→+이므로 극소.

F(2) = ∫₀² (t−2) dt = [t²2 − 2t]₀² = −2

▸ 극솟값 −2

F를 직접 적분하지 않아도 F′=f로 증감을 먼저 판단할 수 있다.

예제 2

F(x)=∫₀^x (t²−3t+2) dt 일 때 F'(1)의 값을 구하시오.

1

기본정리에서 F'(x)=f(x)이므로 t에 x를 넣은 식이 곧 F'.

2

x=1을 대입한다.

F'(1) = 1 − 3 + 2 = 0

▸ 0

F를 적분해 구할 필요 없이 f(1)을 바로 계산하면 된다.

총정리

핵심 정리

F(x)=∫_a^x f(t) dt ⇒ F'(x)=f(x), F(a)=0

미분하면 피적분함수, 아래끝에서 0 — 이 두 가지가 모든 문제의 출발점

2021 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

함수 F(x)=∫₀^x (t²−2t) dt 의 극솟값은?

①−4/3

②−2/3

③0

④4/3

⑤2

▸ ① −4/3

1

F'(x)=x²−2x=x(x−2)=0 ⇒ x=0, x=2. x=2에서 부호 −→+이므로 극소.

2

F(2)=∫₀² (t²−2t) dt = [t³3 − t²]₀² 을 계산한다.

F(2) = 83 − 4 = −43

🎯 시험 포인트

①F(x)=∫_a^x f(t)dt면 F'(x)=f(x)

②F(a)=0 (아래끝에서 넓이 0)

③F의 극값은 f의 부호 변화 지점

④극값을 묻는 문제는 그 x에서 다시 적분해 값 계산

⑤위끝이 g(x)면 합성으로 F'=f(g(x))·g'(x)

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