여러 가지 함수의 미분

Derivatives of Transcendental Functions

지수함수와 삼각함수, 로그함수처럼 다항식이 아닌 함수들도 저마다 놀랄 만큼 깔끔한 미분 공식을 가지고 있어요. 특히 eˣ는 아무리 미분해도 자기 자신이 그대로 나오는 유일한 함수라서, 어느 점에서든 접선의 기울기가 그 점의 높이와 정확히 똑같아요. sin을 미분하면 cos, cos를 미분하면 −sin이 되는 순환도 사실은 그래프가 오르내리는 변화율을 그대로 읽은 결과예요. 접점 x를 움직여 eˣ의 기울기가 함수값을 따라가는지, x를 밀어 sin이 커질 때 cos가 어떻게 반응하는지 두 눈으로 확인해 봐요.

자기 자신이 도함수인 함수

접점 x1

👀 놀라운 성질

금색 곡선이 eˣ이고, 파란 점선이 접선이다. 접선의 기울기(= 도함수) 값이 항상 그 점의 함수값과 같다! (eˣ)' = eˣ

삼각함수의 미분

x 위치1

🔄 sin → cos 변환

①금색 점(sin x)이 꼭대기에 있을 때 → 파란 점(cos x)이 0이다

②sin이 증가하는 구간 → cos > 0

③sin이 감소하는 구간 → cos < 0

④도함수는 '변화율'이니까 당연하다!

초월함수 미분 공식

지수함수의 미분

(eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a

자연지수함수의 도함수는 자기 자신, 일반 지수함수는 ln a가 곱해진다

삼각함수의 미분

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

sin을 미분하면 cos, cos를 미분하면 -sin

로그함수의 미분

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

자연로그의 도함수는 1/x, 일반 로그는 ln a로 나눈다

나머지 삼각함수 미분

tan, sec의 미분

(tan x)' = sec²x, (sec x)' = sec x · tan x

tan 미분은 sec², sec 미분은 sec·tan

cot, csc의 미분

(cot x)' = −csc²x, (csc x)' = −csc x · cot x

cot, csc는 부호가 (−)인 것에 주의

💡 암기 팁

①sin → cos: 부호 (+)

②cos → −sin: 부호 (−)

③tan → sec²: '탄세크제곱'

④co-가 붙은 함수(cos, cot, csc)의 미분에는 (−)가 붙는다

예제로 익히기

예제 1

함수 y = e^x sin x 를 미분하시오.

곱의 미분 (fg)′ = f′g + fg′ 를 적용한다. f = e^x, g = sin x.

(e^x sin x)' = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'

(e^x)' = e^x, (sin x)' = cos x 를 대입한다.

e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

▸ e^x(sin x + cos x)

지수함수는 미분해도 그대로이므로, e^x가 곱해진 식은 곱의 미분만 정확히 쓰면 된다.

예제 2

함수 y = ln(cos x) 를 미분하시오.

합성함수 미분: 바깥 ln u(u = cos x)를 미분하고 안쪽 미분을 곱한다.

y' = 1cos x · (cos x)'

(cos x)′ = −sin x 를 대입한다.

y' = -sin xcos x = -tan x

▸ -tan x

로그함수 미분은 (ln u)′ = u′/u. 여기서는 cos x의 미분 −sin x가 분자로 올라온다.

총정리

핵심 미분 공식 모음

(eˣ)' = eˣ, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (ln x)' = 1/x

가장 자주 출제되는 4대 초월함수 미분

수능 유형 변형

함수 f(x) = x ln x 에 대하여 f′(e)의 값은?

①1

②2

③e

④e + 1

⑤2e

▸ ② 2

곱의 미분으로 f′(x)를 구한다.

f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1

x = e를 대입한다 (ln e = 1).

f'(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2

🎯 시험 포인트

①(eˣ)' = eˣ → 미분해도 변하지 않는 유일한 함수

②sin ↔ cos 미분 순환: sin → cos → −sin → −cos

③(ln x)' = 1/x : 로그미분법의 기초

④(aˣ)' = aˣ ln a에서 a=e이면 ln e =1

⑤co-함수 미분에는 반드시 (−)부호