고등학교 3학년 (17-18세)

여러 가지 함수의 미분

Derivatives of Transcendental Functions

다항함수가 아닌 지수함수, 삼각함수, 로그함수도 저마다 간결한 미분 공식을 가지고 있어요. 특히 eˣ 는 미분해도 자기 자신이 그대로 나오는 함수라서, 어느 점에서든 접선의 기울기가 그 점의 높이와 같아요. sin x 를 미분하면 cos x, cos x 를 미분하면 −sin x 가 되는 것도 그래프가 오르내리는 빠르기를 그대로 읽은 결과예요. 접점 x 를 움직여 eˣ 위 접선의 기울기와 높이를 비교하고, sin x 위 접선의 기울기가 cos x 의 높이와 같은지 확인할 수 있어요.

도함수가 자기 자신인 함수

접점 x1

👀 높이와 기울기가 같다

①금색 곡선이 y = eˣ, 파란 선이 접점에서 그은 접선이다

②(eˣ)′ = eˣ 이므로 접선의 기울기는 접점의 높이 eˣ 와 같다

③그래서 접선은 언제나 접점보다 1 만큼 왼쪽에서 x 축과 만난다. 밑변 1 위에 높이 eˣ 를 세운 직각삼각형의 빗변이 곧 접선이다

삼각함수의 미분

🔄 sin x 의 기울기와 cos x

①sin x 가 꼭대기(x = π/2)에 있을 때 접선은 수평이고, 그때 cos x = 0 이다

②sin x 가 커지는 구간에서는 cos x > 0, 작아지는 구간에서는 cos x < 0 이다

③sin x 가 가장 가파르게 오르는 x = 0 에서 cos x 가 가장 큰 값 1 을 가진다. 도함수가 변화율이라서 이렇게 맞아떨어진다

여러 가지 함수의 미분 공식

지수함수의 미분

(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a

밑이 e 이면 도함수가 자기 자신이고, 밑이 a 이면 ln a 가 곱해진다

삼각함수의 미분

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

sin x 를 미분하면 cos x, cos x 를 미분하면 −sin x 다

로그함수의 미분

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

자연로그의 도함수는 1/x 이고, 밑이 a 인 로그는 여기에 1/ln a 가 곱해진다

나머지 삼각함수의 미분

tan x, sec x 의 미분

(tan x)′ = sec²x, (sec x)′ = sec x · tan x

tan x = sin x / cos x 를 몫의 미분법으로 미분하면 1/cos²x = sec²x 가 나온다

cot x, csc x 의 미분

(cot x)′ = −csc²x, (csc x)′ = −csc x · cot x

cot x 와 csc x 의 도함수에는 음의 부호가 붙는다

💡 외우는 요령

①sin x 를 미분하면 부호 없이 cos x

②cos x 를 미분하면 −sin x

③tan x 를 미분하면 sec²x

④이름이 co 로 시작하는 cos, cot, csc 의 도함수에는 음의 부호가 붙는다

예제

예제 1

함수 y = e^x sin x 를 미분하시오.

곱의 미분법 (fg)′ = f′g + fg′ 를 쓴다. f = e^x, g = sin x 다.

(e^x sin x)′ = (e^x)′ sin x + e^x (sin x)′

(e^x)′ = e^x, (sin x)′ = cos x 를 대입한다.

e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

▸ e^x(sin x + cos x)

e^x 는 미분해도 그대로이므로, e^x 가 곱해진 식은 곱의 미분법만 정확히 쓰면 된다.

예제 2

함수 y = ln(cos x) 를 미분하시오.

바깥 함수 ln u 를 미분하고 안쪽 u = cos x 의 미분을 곱한다.

y' = 1cos x · (cos x)'

(cos x)′ = −sin x 를 대입한다.

y' = -sin xcos x = -tan x

▸ −tan x

(ln u)′ = u′/u 이므로 안쪽 cos x 의 도함수 −sin x 가 분자로 온다. 합성함수의 미분은 다음 단원에서 자세히 다룬다.

정리

자주 쓰는 미분 공식

(eˣ)′ = eˣ, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (ln x)′ = 1/x

가장 자주 쓰는 네 가지 공식이다

수능 유형 변형

함수 f(x) = x ln x 에 대하여 f′(e)의 값은?

①1

②2

③e

④e + 1

⑤2e

▸ ② 2

곱의 미분법으로 f′(x) 를 구한다.

f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1

x = e 를 대입한다. ln e = 1 이다.

f′(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2

🎯 시험 포인트

①(eˣ)′ = eˣ 는 미분해도 모양이 그대로인 공식이다

②sin x 를 거듭 미분하면 cos x → −sin x → −cos x → sin x 로 네 번 만에 돌아온다

③(ln x)′ = 1/x 는 로그미분법의 바탕이다

④(aˣ)′ = aˣ ln a 에서 a = e 이면 ln e = 1 이라 (eˣ)′ = eˣ 가 된다

⑤co 로 시작하는 삼각함수의 도함수에는 음의 부호가 붙는다

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등비급수의 활용

여러 가지 미분법

마지막 수정 2026-10-17

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