고등학교 3학년 (17-18세)

여러 가지 미분법

Differentiation Methods

식이 복잡해 보여도 미분하는 길은 몇 갈래로 정리돼요. 함수 안에 다른 함수가 들어 있으면 바깥을 미분하고 안쪽의 미분을 곱하는 연쇄법칙을, y 를 x 에 대한 식으로 풀어내기 어려우면 식 그대로 양변을 미분하는 음함수 미분을, 점의 위치가 t 에 따라 정해지면 dy/dt 를 dx/dt 로 나누는 매개변수 미분을 써요. 첫 그림에서 x 를 움직이면 sin 2x 위 빨간 접선의 기울기가 같은 x 에서 파란 곡선 2cos 2x 의 높이와 늘 같아요. 둘째 그림에서는 바퀴가 구르며 사이클로이드를 그리는데, 그 접선이 언제나 바퀴 꼭대기를 지난다는 것도 확인할 수 있어요.

합성함수의 미분 (연쇄법칙)

x1.5

🔗 안쪽의 미분 2 가 곱해지는 까닭

①sin 2x 는 바깥 함수 sin 에 안쪽 함수 2x 를 넣은 합성함수다

②x 가 조금 늘면 안쪽의 2x 는 그 두 배만큼 늘고, sin 값은 그 증가량에 cos 2x 를 곱한 만큼 변한다. 그래서 도함수는 cos 2x 에 2 를 곱한 2cos 2x 가 된다

③금색 곡선은 sin x 를 가로로 절반 압축한 모양이라 같은 높이를 두 배 빠르게 오르내린다. 파란 곡선의 높이가 ±2 까지 가는 것이 바로 그 2 때문이다

연쇄법칙

{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)

바깥 함수의 미분에 안쪽 함수의 미분을 곱한다

음함수의 미분

원 x² + y² = r² 의 음함수 미분

x² + y² = r² 양변 미분 → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy

y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 에 대해 미분한다. y² 을 미분하면 연쇄법칙에 따라 2y · y′ 이 된다

🔄 음함수 미분의 순서

①y = f(x) 꼴로 풀지 않아도 미분할 수 있다. 원처럼 x 하나에 y 가 둘인 곡선도 점마다 기울기가 있다

②y 가 들어간 항을 미분할 때마다 연쇄법칙으로 y′ 을 곱한다

③양변을 미분한 뒤 y′ 에 대해 정리한다. 원에서는 y′ = −x/y 이고 이 값에 반지름의 기울기 y/x 를 곱하면 −1 이 되어, 접선이 반지름에 수직이라는 사실과 맞아떨어진다

매개변수로 나타낸 함수의 미분

매개변수 t (바퀴가 구른 각, 라디안)4

매개변수 미분법

x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)

x 와 y 를 각각 t 로 미분한 뒤 dy/dt 를 dx/dt 로 나눈다. dx/dt ≠ 0 인 곳에서만 쓸 수 있다

🎡 사이클로이드의 접선

①반지름 1 인 바퀴가 각 t 만큼 구르면 바퀴 둘레의 한 점은 x = t − sin t, y = 1 − cos t 에 온다. 그림은 가로와 세로의 축척이 같아서 빨간 점이 늘 파란 바퀴 위에 있다

②dx/dt = 1 − cos t, dy/dt = sin t 이므로 접선의 기울기는 sin t / (1 − cos t) 이다

③이 직선은 빨간 점과 바퀴 꼭대기 (t, 2) 를 잇는 직선과 같다. 슬라이더를 어디로 옮겨도 빨간 접선이 흰 동그라미를 지나는 까닭이 여기에 있다

④t = 2π 처럼 1 − cos t = 0 이 되는 곳은 점이 땅에 닿는 첨점이고, 그 근처에서는 기울기의 절댓값이 한없이 커진다

로그미분법

y = x^x → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = x^x(ln x + 1)

x > 0 에서 양변에 자연로그를 취하면 지수에 있던 x 가 곱으로 내려와 미분할 수 있는 꼴이 된다. 왼쪽의 ln y 를 미분하면 연쇄법칙에 따라 y′/y 가 된다

💡 로그미분법을 쓰는 때

①밑과 지수에 모두 변수가 있을 때(xˣ). 거듭제곱의 미분 공식도 지수함수의 미분 공식도 그대로는 들어맞지 않는다

②여러 인수의 곱과 몫이 얽혀 있을 때. ln 을 취하면 곱은 합으로, 몫은 차로 바뀐다

③미분한 뒤에는 양변에 y 를 곱해 y′ 만 남긴다

예제

예제 1

함수 y = (2x+1)⁵ 을 미분하시오.

안쪽 함수를 u = 2x + 1 로 두면 y = u⁵ 이다.

y = u⁵, u = 2x + 1

바깥의 미분 5u⁴ 에 안쪽의 미분 (2x + 1)′ = 2 를 곱한다.

y′ = 5(2x+1)⁴ · 2 = 10(2x+1)⁴

▸ y′ = 10(2x+1)⁴

안쪽의 미분 2 를 빠뜨리면 5(2x+1)⁴ 라는 흔한 오답이 나온다.

예제 2

원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4) 에서 그은 접선의 기울기를 구하시오.

양변을 x 에 대해 미분한다. y² 을 미분하면 2y · y′ 이 된다.

2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy

점 (3, 4) 를 대입한다.

y'|_(3,4) = -34

▸ -34

(3, 4) 까지 그은 반지름의 기울기는 4/3 이고, 접선의 기울기 −3/4 와 곱하면 −1 이다. 접선이 반지름에 수직이라는 사실로도 같은 답을 얻는다.

정리

세 가지 미분법

합성: {f(g(x))}' = f'·g' 음함수: 양변 미분 후 y' 정리 매개: g'(t)f'(t)

연쇄법칙, 음함수 미분, 매개변수 미분은 모두 작은 변화량을 곱하고 나누는 일로 이어진다

평가원 유형 변형

매개변수 x = t² + 1, y = t³ − t 로 나타낸 곡선에서 t = 2일 때 dydx 의 값은?

①94

②52

③114

④3

⑤134

▸ ③ 114

x 와 y 를 각각 t 로 미분하면 dx/dt = 2t, dy/dt = 3t² − 1 이다.

dydx = 3t² - 12t

t = 2 를 대입하면 분자는 11, 분모는 4 이다.

3(2)² - 12(2) = 114

🎯 시험 포인트

①연쇄법칙이 가장 자주 나오고, 안쪽 함수의 미분을 곱하는 것을 빠뜨리기 쉽다

②음함수 미분에서는 y 가 들어간 항마다 y′ 을 곱한다

③매개변수 미분은 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) 이고, dx/dt = 0 인 점은 따로 살핀다

④xˣ 꼴은 양변에 ln 을 취한 뒤 미분한다

⑤연쇄법칙과 음함수 미분을 함께 써야 하는 문제가 자주 나온다

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여러 가지 함수의 미분

도함수의 활용

마지막 수정 2026-10-17

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