여러 가지 미분법

Differentiation Methods

복잡해 보이는 함수도 미분하는 길은 몇 가지 도구로 나뉘어요. 함수 안에 또 함수가 들어 있으면 바깥을 미분한 뒤 안쪽 미분을 곱하는 연쇄법칙, y가 엉켜 풀리지 않으면 양변을 그대로 미분하는 음함수 미분, 곡선이 시간 t를 따라 움직이면 매개변수 미분을 써요. 겉모습은 달라도 결국 작은 미분을 곱하거나 나누어 잇는 같은 원리예요. 슬라이더로 x를 움직여 sin(2x)의 접선 기울기가 왜 2배로 커지는지, 매개변수 t를 늘려 사이클로이드가 그려지는 과정을 눈으로 확인해 봐요.

합성함수의 미분 (연쇄법칙)

x 위치1.5

🔗 연쇄(Chain) 비유

①sin(2x)에서 바깥함수는 sin, 안쪽함수는 2x

②미분할 때 바깥을 먼저 미분(cos) → 안쪽 미분(2)을 곱한다

③결과: 2cos(2x) 진폭이 2배로 커진 이유가 여기에 있다

연쇄법칙 (Chain Rule)

{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)

바깥함수의 미분 × 안쪽함수의 미분

음함수 미분

음함수 미분법

x² + y² = r² 양변 미분 → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy

y를 x의 함수로 보고 양변을 x에 대해 미분한다

🔄 음함수 미분의 핵심

①y = f(x) 형태로 풀리지 않아도 미분 가능

②y가 나올 때마다 연쇄법칙 적용: dy/dx = y'

③양변을 미분한 후 y'에 대해 정리

매개변수 미분

매개변수 t4

매개변수 미분법

x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)

x, y 각각을 t로 미분한 뒤, dy/dt를 dx/dt로 나눈다

🎡 사이클로이드

①바퀴가 굴러가면서 바퀴 위 한 점이 그리는 곡선

②x = t − sin t, y = 1 − cos t

③빨간 접선의 기울기 = (sin t)/(1 − cos t)

로그미분법

y = x^x → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = x^x(ln x + 1)

양변에 자연로그를 취한 뒤 미분하면 복잡한 함수도 깔끔해진다

💡 언제 쓰나?

①변수가 밑과 지수 양쪽에 있을 때 (xˣ)

②곱과 나눗셈이 복잡하게 얽혀 있을 때

③양변에 ln을 취하면 곱→합, 나눗셈→차로 바뀌어 간단해진다

예제로 익히기

예제 1

함수 y = (2x+1)⁵ 을 미분하시오.

바깥함수 u⁵, 안쪽함수 u = 2x+1로 보고 연쇄법칙을 적용한다.

y = (2x+1)⁵, u = 2x+1

바깥 미분 5u⁴에 안쪽 미분 (2x+1)′ = 2를 곱한다.

y' = 5(2x+1)⁴ · 2 = 10(2x+1)⁴

▸ y' = 10(2x+1)⁴

연쇄법칙은 바깥 미분에 안쪽 미분을 곱하는 것. 안쪽 미분을 빠뜨리지 말 것.

예제 2

원 x² + y² = 25 위의 점 (3, 4)에서 접선의 기울기를 구하시오.

양변을 x에 대해 미분한다 (음함수 미분).

2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy

점 (3, 4)를 대입한다.

y'|_(3,4) = -34

▸ -34

음함수 미분에서는 y를 미분할 때마다 y′를 곱한 뒤, 마지막에 y′에 대해 정리한다.

총정리

3대 미분법 요약

합성: {f(g(x))}' = f'·g' 음함수: 양변 미분 후 y' 정리 매개: g'(t)f'(t)

연쇄법칙, 음함수 미분, 매개변수 미분: 세 가지 핵심 도구

평가원 유형 변형

매개변수 x = t² + 1, y = t³ − t 로 나타낸 곡선에서 t = 2일 때 dydx 의 값은?

①94

②52

③114

④3

⑤134

▸ ③ 114

x, y를 각각 t로 미분한 뒤 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)에 대입한다.

dydx = 3t² - 12t

t = 2를 대입한다.

3(2)² - 12(2) = 114

🎯 시험 포인트

①연쇄법칙: 바깥 미분 × 안쪽 미분. 가장 빈출

②음함수: y가 나올 때마다 y'를 곱하는 것을 잊지 말자

③매개변수: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

④로그미분법: xˣ 형태 → 양변 ln 후 미분

⑤복합 문제: 연쇄법칙 + 음함수를 동시에 쓰는 문제 주의