도함수의 활용

Applications of Derivatives

미분은 함수가 어디서 올라가고 어디서 내려가는지, 그리고 어디서 방향을 바꾸는지 알려주는 도구예요. 기울기가 0이 되는 지점이 바로 산꼭대기(극대)나 골짜기(극소)의 후보가 되고, 이계도함수의 부호로 둘을 구분해요. 이 아이디어를 쓰면 넓이나 비용처럼 가장 크거나 작게 만들고 싶은 값을 찾는 최적화 문제도 풀 수 있어요. 계수 a 슬라이더를 움직여 극대와 극소가 어떻게 옮겨가는지, 가로 길이를 바꿔 직사각형 넓이가 언제 최대가 되는지 직접 확인해 봐요.

함수의 증감과 극값

계수 a3

👀 눈으로 보자

①금색 곡선이 f(x), 파란 점선이 f'(x)

②f'(x) > 0인 구간: f 증가 (오른쪽 위로)

③f'(x) < 0인 구간: f 감소 (오른쪽 아래로)

④f'(x) = 0인 점: 빨간 점 (극대 또는 극소)

극값 판정법

1차 도함수 판정법

f'(c) = 0이고 f'의 부호가 + → − : 극대, − → + : 극소

f'의 부호 변화로 극대/극소를 판별한다

2차 도함수 판정법

f'(c) = 0일 때, f''(c) > 0 → 극소, f''(c) < 0 → 극대

2차 도함수의 부호로 오목/볼록을 판별 → 극값 결정

🏔️ 산과 골짜기

①극대 = 산꼭대기: 위로 볼록 (f'' < 0)

②극소 = 골짜기: 아래로 볼록 (f'' > 0)

③변곡점 = 볼록 ↔ 오목 전환점: f'' = 0

최적화 문제

가로 길이 x3

📐 최적화 풀이 절차

①목적함수 세우기: A(x) = x(10−x)

②미분: A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5

③2차 미분 판정: A''(5) = −2 < 0 → 극대

④최댓값: A(5) = 25

접선과 근사

접선의 방정식

y − f(a) = f'(a)(x − a)

x = a에서의 접선: 기울기 f'(a), 지나는 점 (a, f(a))

선형 근사

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)

a 근처에서 함수를 접선으로 근사

💡 근사의 위력

①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025

②접선은 '그 점 근처에서 가장 좋은 직선 근사'이다

③이것이 나중에 테일러 급수로 확장된다

예제로 익히기

예제 1

함수 f(x) = x³ − 3x 의 극값을 구하시오.

f′(x) = 0인 점(극값 후보)을 찾는다.

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1

2차 도함수 f″(x) = 6x의 부호로 판정한다.

f''(−1) < 0 ⇒ 극대 2, f''(1) > 0 ⇒ 극소 −2

▸ 극대 2 (x = −1), 극소 −2 (x = 1)

f′ = 0으로 후보를 찾고, f″의 부호로 극대(−)·극소(+)를 판정한다.

예제 2

곡선 y = x³ − 2x 위의 점 (1, −1)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

접선의 기울기 f′(1)을 구한다.

f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1

접선 공식 y − f(a) = f'(a)(x − a)에 대입한다.

y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2

▸ y = x − 2

접선은 기울기 f′(a)와 접점 (a, f(a))만 있으면 점-기울기 꼴로 바로 세운다.

총정리

도함수 활용 핵심

f' = 0 → 극값 후보, f'' > 0 → 극소, f'' < 0 → 극대

1차 도함수로 후보, 2차 도함수로 판정

수능 유형 변형

0 ≤ x ≤ 3에서 함수 f(x) = x³ − 3x² + 4 의 최댓값은?

①0

②2

③4

④6

⑤8

▸ ③ 4

f′(x) = 0인 임계점을 구한다.

f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2

폐구간의 끝점과 임계점에서 함숫값을 비교한다.

f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 최댓값 4

🎯 시험 포인트

①증감표: f'의 부호 변화를 구간별로 정리

②극값 판정: 1차 or 2차 도함수 판정법 선택

③최적화: 목적함수 → 미분 → 임계점 → 판정

④접선 방정식: y − f(a) = f'(a)(x − a)

⑤변곡점: f'' = 0이고 f''의 부호가 바뀌는 점