고등학교 3학년 (17-18세)

도함수의 활용

Applications of Derivatives

도함수를 보면 함수가 어디서 오르고 어디서 내려가는지, 그리고 어디서 방향을 바꾸는지 알 수 있어요. 기울기가 0 이 되는 자리가 봉우리인 극대나 골짜기인 극소의 후보이고, 이계도함수의 부호로 둘을 가려요. 이 생각을 쓰면 넓이나 비용처럼 가장 크게 또는 가장 작게 만들고 싶은 값을 찾는 최적화 문제도 풀 수 있어요. 첫 그림에서 a 를 바꾸면 극대와 극소가 움직이고, 둘째 그림에서 가로를 바꾸면 둘레가 20 인 직사각형의 넓이가 가로 5 인 정사각형에서 가장 커져요.

함수의 증가 · 감소와 극값

계수 a3

👀 그림에서 읽을 것

①금색 곡선이 f(x), 파란 점선이 f'(x) 이다

②f'(x) > 0 인 구간에서 f 는 증가하고, f'(x) < 0 인 구간에서 감소한다

③f'(x) = 0 인 x = ±√(a/3) 에 빨간 점(극대 · 극소)이 있다

④a = 0 이면 f' ≥ 0 이라 극값이 없다

극값 판정

도함수의 부호로 판정

f'(c) = 0이고 f'의 부호가 + → − : 극대, − → + : 극소

f' 의 부호가 바뀌는 방향으로 극대와 극소를 가린다

이계도함수로 판정

f'(c) = 0일 때, f''(c) > 0 → 극소, f''(c) < 0 → 극대

f''(c) 의 부호로 곡선이 어느 쪽으로 볼록한지 보고 극값을 정한다

🏔️ 봉우리와 골짜기

①극대는 봉우리로, 그 둘레에서 곡선이 위로 볼록하다(f'' < 0)

②극소는 골짜기로, 곡선이 아래로 볼록하다(f'' > 0)

③f''(c) = 0 이면 이 방법으로는 판정할 수 없어 f' 의 부호를 따로 본다

최적화 문제

가로 x3

📐 최적화의 순서

①구하려는 양을 함수로 세운다: 세로가 10 − x 이므로 A(x) = x(10 − x)

②미분해 0 이 되는 점을 찾는다: A'(x) = 10 − 2x = 0 에서 x = 5

③판정한다: A''(5) = −2 < 0 이므로 극대

④최댓값은 A(5) = 25 이고, 이때 직사각형은 정사각형이다

접선과 근삿값

접선의 방정식

y − f(a) = f'(a)(x − a)

x = a 에서의 접선은 기울기가 f'(a) 이고 점 (a, f(a)) 를 지난다

일차 근사

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)

a 근처에서는 함수를 접선으로 바꾸어 어림할 수 있다

💡 접선으로 어림하기

①√4.01 은 √4 에서의 접선으로 어림하면 2 + (1/4) × 0.01 = 2.0025 이다

②접선은 그 점 둘레에서 함수에 가장 가까운 직선이다

③더 나아가면 이차, 삼차 항까지 쓰는 근사로 이어진다

예제로 익히기

예제 1

함수 f(x) = x³ − 3x 의 극값을 구하시오.

f'(x) = 0 인 점을 찾아 극값의 후보로 삼는다.

f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1

이계도함수 f''(x) = 6x 의 부호로 판정한다.

f''(−1) < 0 ⇒ 극대 2, f''(1) > 0 ⇒ 극소 −2

▸ 극대 2 (x = −1), 극소 −2 (x = 1)

f''(−1) = −6 < 0 이라 x = −1 은 봉우리, f''(1) = 6 > 0 이라 x = 1 은 골짜기이다. 첫 그림에서 a = 3 으로 두면 같은 곡선이 된다.

예제 2

곡선 y = x³ − 2x 위의 점 (1, −1)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

접선의 기울기 f'(1) 을 구한다.

f'(x) = 3x² − 2, f'(1) = 1

접선의 방정식 y − f(a) = f'(a)(x − a) 에 넣는다.

y − (−1) = 1·(x − 1) ⇒ y = x − 2

▸ y = x − 2

접선은 기울기 f'(a) 와 접점 (a, f(a)) 만 알면 바로 세울 수 있다.

정리

도함수 활용 핵심

f' = 0 → 극값 후보, f'' > 0 → 극소, f'' < 0 → 극대

도함수로 후보를 찾고, 이계도함수나 부호 변화로 판정한다

수능 유형 변형

0 ≤ x ≤ 3에서 함수 f(x) = x³ − 3x² + 4 의 최댓값은?

①0

②2

③4

④6

⑤8

▸ ③ 4

f'(x) = 0 인 점을 구한다.

f'(x) = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, 2

닫힌구간의 양 끝과 극값의 후보에서 함숫값을 비교한다.

f(0)=4, f(2)=0, f(3)=4 ⇒ 최댓값 4

🎯 시험 포인트

①증감표: 구간마다 f' 의 부호를 정리한다

②극값은 도함수의 부호 변화나 이계도함수의 부호로 판정한다

③최적화: 구할 양을 함수로 → 미분 → 0 이 되는 점 → 판정

④접선의 방정식은 y − f(a) = f'(a)(x − a)

⑤변곡점은 f'' = 0 이면서 f'' 의 부호가 바뀌는 점이다

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여러 가지 미분법

이계도함수와 변곡점

마지막 수정 2026-10-17

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