미적분›도함수의 활용

도함수의 활용

Applications of Derivatives

함수의 증감과 극값
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👀 눈으로 보자
①금색 곡선이 f(x), 파란 점선이 f'(x)
②f'(x) > 0인 구간: f 증가 (오른쪽 위로)
③f'(x) < 0인 구간: f 감소 (오른쪽 아래로)
④f'(x) = 0인 점: 빨간 점 (극대 또는 극소)
극값 판정법
1차 도함수 판정법
f'(c) = 0이고 f'의 부호가 + → − : 극대, − → + : 극소
f'의 부호 변화로 극대/극소를 판별한다
2차 도함수 판정법
f'(c) = 0일 때, f''(c) > 0 → 극소, f''(c) < 0 → 극대
2차 도함수의 부호로 오목/볼록을 판별 → 극값 결정
🏔️ 산과 골짜기
①극대 = 산꼭대기: 위로 볼록 (f'' < 0)
②극소 = 골짜기: 아래로 볼록 (f'' > 0)
③변곡점 = 볼록 ↔ 오목 전환점: f'' = 0
최적화 문제
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📐 최적화 풀이 절차
①목적함수 세우기: A(x) = x(10−x)
②미분: A'(x) = 10 − 2x = 0 → x = 5
③2차 미분 판정: A''(5) = −2 < 0 → 극대
④최댓값: A(5) = 25
접선과 근사
접선의 방정식
y − f(a) = f'(a)(x − a)
x = a에서의 접선: 기울기 f'(a), 지나는 점 (a, f(a))
선형 근사
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a) (x ≈ a)
a 근처에서 함수를 접선으로 근사
💡 근사의 위력
①√(4.01) ≈ √4 + (1/2√4)(0.01) = 2.0025
②접선은 '그 점 근처에서 가장 좋은 직선 근사'이다
③이것이 나중에 테일러 급수로 확장된다
총정리
도함수 활용 핵심
f' = 0 → 극값 후보, f'' > 0 → 극소, f'' < 0 → 극대
1차 도함수로 후보, 2차 도함수로 판정
🎯 시험 포인트
①증감표: f'의 부호 변화를 구간별로 정리
②극값 판정: 1차 or 2차 도함수 판정법 선택
③최적화: 목적함수 → 미분 → 임계점 → 판정
④접선 방정식: y − f(a) = f'(a)(x − a)
⑤변곡점: f'' = 0이고 f''의 부호가 바뀌는 점