등비급수의 활용

Applications of Geometric Series

순환소수의 정체

🔁 순환소수는 무한등비급수

①0.777…은 7/10 + 7/100 + 7/1000 + … 이다

②첫째항 7/10, 공비 1/10인 무한등비급수

③|1/10|<1이므로 수렴하고, 합이 곧 분수 표현이다

예제 1

순환소수 0.777…을 기약분수로 나타내시오.

첫째항 7/10, 공비 1/10인 무한등비급수로 본다.

합 공식 S = a/(1−r)을 적용한다.

S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10

▸ 7/9

순환마디가 한 자리면 분모는 9, 두 자리면 99 — 등비급수에서 자연스럽게 나온다.

순환소수 → 분수 공식

순환소수의 분수화

0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99

순환마디 자릿수만큼 9를 분모에 둔다(한 자리 9, 두 자리 99)

도형으로 보는 무한합

색칠한 조각 수3

절반 급수

12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1

첫째항 1/2, 공비 1/2 — 합은 정확히 1

🟧 절반의 절반의 절반…

①정사각형의 절반을 칠하면 1/2

②남은 곳의 절반을 칠하면 1/4 추가

③이를 무한히 반복하면 색칠 넓이의 합은 정사각형 전체, 즉 1로 수렴한다

닮음 도형의 넓이 합

예제 2

한 변의 길이가 2인 정사각형의 각 변의 중점을 이어 새 정사각형을 만들고, 이를 한없이 반복할 때 모든 정사각형의 넓이의 합을 구하시오.

중점을 이은 정사각형의 넓이는 바로 앞 정사각형의 1/2이다(공비 1/2).

첫 정사각형의 넓이는 4이므로 S = 4/(1−1/2).

S = 41/2 = 8

▸ 8

닮음비가 k면 넓이비는 k² — 공비를 넓이비로 잡는 것이 핵심이다.

총정리

활용 핵심

|r|<1 ⇒ S = a1 - r

순환소수·도형 넓이·길이 합 모두 첫째항 a와 공비 r을 찾아 대입

2021 교육청 학평 수학 유형 변형

한 변의 길이가 6인 정사각형 S₁의 각 변의 중점을 이어 정사각형 S₂를 만들고, 이를 한없이 반복한다. 모든 정사각형의 넓이의 합은?

①48

②60

③72

④96

⑤발산

▸ ③ 72

중점을 이은 정사각형의 넓이는 앞 정사각형의 1/2(공비 1/2).

S₁의 넓이 = 36이므로 S = 36/(1−1/2).

S = 361/2 = 72

🎯 시험 포인트

①순환소수는 공비 1/10·1/100인 무한등비급수

②순환마디 자릿수 = 분모의 9 개수

③도형 문제는 닮음비 → 넓이비(k²)·길이비(k)로 공비 잡기

④첫째항을 도형의 "처음 값"으로 정확히

⑤항상 |r|<1 확인 후 S=a/(1−r)

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