등비급수의 활용

Applications of Geometric Series

앞에서 배운 무한등비급수 공식이 실제로 어디에 숨어 있는지 만나는 시간이에요. 0.777처럼 끝없이 반복되는 순환소수도, 중점을 이어 점점 작아지는 도형들의 넓이 합도 결국 첫째항과 공비만 찾으면 되는 등비급수예요. 특히 정사각형의 절반을 칠하고 남은 곳의 절반을 또 칠하기를 무한히 반복하면, 조각들이 정확히 정사각형 하나를 채워 합이 1이 돼요. 색칠한 조각 수를 늘려 넓이의 합 Sₖ가 1에 조금씩 다가가는 모습을 확인해 봐요.

순환소수의 정체

🔁 순환소수는 무한등비급수

①0.777…은 7/10 + 7/100 + 7/1000 + … 이다

②첫째항 7/10, 공비 1/10인 무한등비급수

③|1/10|<1이므로 수렴하고, 합이 곧 분수 표현이다

예제 1

순환소수 0.777…을 기약분수로 나타내시오.

첫째항 7/10, 공비 1/10인 무한등비급수로 본다.

합 공식 S = a/(1−r)을 적용한다.

S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10

▸ 7/9

순환마디가 한 자리면 분모는 9, 두 자리면 99: 등비급수에서 자연스럽게 나온다.

순환소수 → 분수 공식

순환소수의 분수화

0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99

순환마디 자릿수만큼 9를 분모에 둔다(한 자리 9, 두 자리 99)

도형으로 보는 무한합

색칠한 조각 수3

절반 급수

12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1

첫째항 1/2, 공비 1/2: 합은 정확히 1

🟧 절반의 절반의 절반…

①정사각형의 절반을 칠하면 1/2

②남은 곳의 절반을 칠하면 1/4 추가

③이를 무한히 반복하면 색칠 넓이의 합은 정사각형 전체, 즉 1로 수렴한다

닮음 도형의 넓이 합

예제 2

한 변의 길이가 2인 정사각형의 각 변의 중점을 이어 새 정사각형을 만들고, 이를 한없이 반복할 때 모든 정사각형의 넓이의 합을 구하시오.

중점을 이은 정사각형의 넓이는 바로 앞 정사각형의 1/2이다(공비 1/2).

첫 정사각형의 넓이는 4이므로 S = 4/(1−1/2).

S = 41/2 = 8

▸ 8

닮음비가 k면 넓이비는 k²: 공비를 넓이비로 잡는 것이 핵심이다.

총정리

활용 핵심

|r|<1 ⇒ S = a1 - r

순환소수·도형 넓이·길이 합 모두 첫째항 a와 공비 r을 찾아 대입

2021 교육청 학평 수학 유형 변형

한 변의 길이가 6인 정사각형 S₁의 각 변의 중점을 이어 정사각형 S₂를 만들고, 이를 한없이 반복한다. 모든 정사각형의 넓이의 합은?

①48

②60

③72

④96

⑤발산

▸ ③ 72

중점을 이은 정사각형의 넓이는 앞 정사각형의 1/2(공비 1/2).

S₁의 넓이 = 36이므로 S = 36/(1−1/2).

S = 361/2 = 72

🎯 시험 포인트

①순환소수는 공비 1/10·1/100인 무한등비급수

②순환마디 자릿수 = 분모의 9 개수

③도형 문제는 닮음비 → 넓이비(k²)·길이비(k)로 공비 잡기

④첫째항을 도형의 "처음 값"으로 정확히

⑤항상 |r|<1 확인 후 S=a/(1−r)