seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

등비급수의 활용

Applications of Geometric Series

무한등비급수의 합 공식이 실제로 쓰이는 곳을 찾아보는 단원이에요. 0.777… 처럼 같은 숫자가 끝없이 되풀이되는 순환소수도, 중점을 이어 점점 작아지는 도형의 넓이를 모두 더한 값도, 첫째항과 공비만 찾으면 a/(1 − r) 하나로 계산돼요. 정사각형의 절반을 칠하고 남은 부분의 절반을 또 칠하는 일을 한없이 되풀이하면, 칠한 넓이의 합은 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 이에요. 조각 수를 늘릴수록 남은 넓이 1/2ᵏ 이 줄어들고 Sₖ 가 1 에 다가가는 것을 그림에서 볼 수 있어요.

순환소수를 분수로

🔁 순환소수는 무한등비급수다
①0.777… 은 7/10 + 7/100 + 7/1000 + … 로 쪼갤 수 있다
②첫째항이 7/10, 공비가 1/10 인 무한등비급수다
③|1/10| < 1 이므로 수렴하고, 그 합이 곧 순환소수의 분수 표현이다
④0.999… 도 같은 방법으로 계산하면 (9/10)/(1 − 1/10) = 1 이다
예제 1
순환소수 0.777… 을 기약분수로 나타내시오.
1
첫째항 7/10, 공비 1/10 인 무한등비급수로 본다.
2
합의 공식 S = a/(1 − r) 에 대입한다.
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
순환마디가 한 자리면 공비가 1/10 이라 분모에 9 가, 두 자리면 공비가 1/100 이라 99 가 나온다.

순환소수를 분수로 고치는 공식

순환소수의 분수 표현
0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99
(ab) 는 두 자리 수를 뜻한다. 순환마디의 자릿수만큼 분모에 9 를 쓰고, 예를 들어 0.363636… = 36/99 = 4/11 이다

도형으로 보는 무한합

3
절반 급수
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
첫째항 1/2, 공비 1/2 이므로 합은 정확히 1 이다
🟧 절반의 절반의 절반
①넓이가 1 인 정사각형의 절반을 칠하면 1/2 이다
②남은 부분의 절반을 칠하면 1/4 이 더해지고, 남은 넓이는 1/4 이 된다
③k 조각을 칠했을 때 남은 넓이는 언제나 1/2ᵏ 이므로 칠한 넓이의 합은 Sₖ = 1 − 1/2ᵏ 이다
④k 가 한없이 커지면 남은 넓이가 0 에 가까워지므로 합은 정사각형 전체, 즉 1 로 수렴한다

닮은 도형의 넓이 합

예제 2
한 변의 길이가 2 인 정사각형의 각 변의 중점을 이어 새 정사각형을 만들고, 이를 한없이 되풀이한다. 모든 정사각형의 넓이의 합을 구하시오.
1
중점을 이은 정사각형은 한 변이 앞 정사각형의 1/√2 배이므로 넓이는 1/2 배다. 공비는 1/2 이다.
2
첫 정사각형의 넓이가 4 이므로 S = 4/(1 − 1/2) 이다.
S = 41/2 = 8
▸ 8
닮음비가 k 이면 넓이의 비는 k² 이다. 넓이의 합을 물으면 공비는 넓이의 비로 잡는다.

정리

활용의 핵심
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
순환소수, 도형의 넓이, 길이의 합 모두 첫째항 a 와 공비 r 을 찾아 대입한다
2021 교육청 학평 수학 유형 변형
한 변의 길이가 6 인 정사각형 S₁ 의 각 변의 중점을 이어 정사각형 S₂ 를 만들고, 이를 한없이 되풀이한다. 모든 정사각형의 넓이의 합은?
①48
②60
③72
④96
⑤발산
▸ ③ 72
1
중점을 이은 정사각형의 넓이는 앞 정사각형의 1/2 이다(공비 1/2).
2
S₁ 의 넓이가 36 이므로 S = 36/(1 − 1/2) 이다.
S = 361/2 = 72
🎯 시험 포인트
①순환소수는 공비가 1/10 이나 1/100 인 무한등비급수다
②순환마디의 자릿수가 분모에 쓰는 9 의 개수다
③도형 문제는 닮음비 k 에서 넓이의 비 k², 길이의 비 k 로 공비를 잡는다
④첫째항은 첫 번째 도형의 값으로 정확히 잡는다
⑤|r| < 1 을 확인한 뒤 S = a/(1 − r) 에 대입한다
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무한등비급수
다음 →
여러 가지 함수의 미분

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