급수는 수열의 항을 첫째항부터 차례로 더해 나간 것이에요.
더할수록 쌓이는 합이 한 값에 자리 잡을지, 끝없이 커질지는 항이 얼마나 빨리 작아지느냐에 달려 있어요.
등비급수는 공비의 절댓값이 1 보다 작을 때만 합이 한 값으로 모이고, 그렇지 않으면 발산해요.
공비 r 과 더하는 항의 수 n 을 움직이면 부분합 막대가 점선 1/(1 − r) 로 다가가는지, 끝없이 커지는지 볼 수 있어요.
끝없이 더하면
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등비급수 1 + r + r² + … 의 부분합 Sₙ 과 수렴값 1/(1 − r)
8개
0.5
👀 그림에서 읽을 것
①첫째항이 1 인 등비급수에서 n 번째 막대는 처음 n 개 항의 합 Sₙ 이다
②|r| < 1 이면 막대가 빨간 점선 1/(1 − r) 로 다가간다. r = 0.5 이면 그 값은 2 다
③r 이 음수면 막대가 점선의 위아래를 번갈아 오가며 다가가고, r ≥ 1 이면 막대가 끝없이 커져 발산한다
항의 크기로 가늠하기
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각 항의 크기 |r|ᵏ 를 정사각형으로 · 위의 공비 r 슬라이더와 함께 바뀐다
📦 정사각형으로 본 수렴
①정사각형 하나가 급수의 항 하나이고, 한 변의 길이가 그 항의 크기 |r|ᵏ 에 비례한다
②|r| < 1 이면 정사각형이 같은 비율로 계속 작아져서 모두 더해도 유한한 값에 머문다
③|r| = 1 이면 크기가 그대로이고 |r| > 1 이면 점점 커지므로, 합은 한없이 커진다
등비급수의 합 공식
부분합
Sn = a(1 - rn)1 - r (r ≠ 1)
첫째항 a, 공비 r 인 등비급수의 첫째항부터 제 n 항까지의 합
무한등비급수의 합
a1 - r (|r| < 1)
n → ∞ 일 때 rⁿ → 0 이므로 부분합이 a/(1 − r) 로 수렴한다
💡 공식이 나오는 과정
①Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) 에서 |r| < 1 이면 n → ∞ 일 때 rⁿ → 0 이다
②그래서 S = a/(1 − r) 이다
③rⁿ 이 0 으로 가지 않는 |r| ≥ 1 에서는 이 공식을 쓸 수 없다
수렴과 발산의 판정
일반항의 극한으로 판정
limn→∞ an ≠ 0 ⇒ Σan 발산
일반항이 0 으로 수렴하지 않으면 급수는 반드시 발산한다. 거꾸로 일반항이 0 으로 가도 급수가 수렴한다는 보장은 없다
비교판정법
0 ≤ an ≤ bn : Σbn 수렴 ⇒ Σan 수렴
항마다 더 큰 급수가 수렴하면 더 작은 급수도 수렴한다. 대우로, 더 작은 급수가 발산하면 더 큰 급수도 발산한다
⚖️ 판정할 때 생각할 것
①항이 0 으로 가지 않으면 더할 때마다 일정한 양 이상이 쌓이므로 합이 한없이 커진다
②1/n 처럼 항이 0 으로 가는데도 합이 발산하는 급수가 있으므로, 일반항이 0 으로 간다는 것만으로는 수렴이라 할 수 없다
③음이 아닌 항의 급수는 항마다 더 큰 급수의 합을 넘지 못하므로, 큰 쪽이 수렴하면 작은 쪽도 수렴한다
예제
예제 1
무한등비급수 Σn=1∞ (2/3)n 의 합을 구하시오.
1
첫째항 a 와 공비 r 을 찾는다.
a = 23, r = 23 (|r| < 1)
2
|r| < 1 이므로 합의 공식 S = a/(1 − r) 에 대입한다.
S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2
▸ 2
등비급수는 첫째항과 공비만 정확히 찾으면 합의 공식에 바로 대입할 수 있다. Σ 가 n = 1 부터 시작하므로 첫째항은 (2/3)¹ 이다.
예제 2
급수 Σn=1∞n2n+1 의 수렴·발산을 판정하시오.
1
합을 구하기 전에 일반항의 극한부터 조사한다.
limn→∞n2n+1 = 12
2
일반항의 극한이 0 이 아니므로 급수는 발산한다.
lim an = 12 ≠ 0 ⇒ 발산
▸ 발산
합을 계산하기 전에 일반항이 0 으로 가는지 먼저 확인한다. 0 이 아니면 바로 발산이다.
정리
등비급수의 수렴 조건
Σk=0∞ ark = a1-r (|r| < 1)
첫째항 a, 공비 r 인 등비급수는 |r| < 1 일 때 a/(1 − r) 로 수렴한다
수능 유형 변형
첫째항 a, 공비 r인 등비급수가 Σn=1∞ arn-1 = 9이고 Σn=1∞ a2 r2(n-1) = 812 일 때, a의 값은?
①4
②5
③6
④7
⑤8
▸ ③ 6
1
두 급수의 합을 식으로 세운다. 둘째 급수는 첫째항이 a², 공비가 r² 인 등비급수다.
a1-r = 9, a21-r2 = 812
2
둘째 식을 첫째 식의 제곱으로 나누면 (1 − r)/(1 + r) = 1/2 이므로 r 과 a 가 정해진다.