급수

Series

급수는 수열의 항들을 첫째항부터 하나씩 차례로 더해 나간 것이에요. 이 누적 합이 어떤 값에 자리를 잡을지, 아니면 끝없이 커질지는 항이 얼마나 빨리 작아지느냐에 달려 있어요. 등비급수라면 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 합이 한 곳으로 모이고, 그렇지 않으면 발산해요. 공비 r과 부분합 항 수 n을 움직여 막대가 수렴값으로 다가가는지 끝없이 치솟는지 확인해 봐요.

무한히 더하면?

부분합 항 수8개

공비 r0.5

👀 눈으로 보자

금색 막대가 부분합 Sₙ이다. 공비 |r|<1이면 막대가 빨간 점선(수렴값)으로 다가간다. |r|≥1이면 막대가 끝없이 커져서 발산한다.

항의 크기로 직감하기

📦 면적 비유

①각 사각형이 급수의 한 항(rᵏ)이다

②|r|<1이면 사각형이 급격히 작아져서, 총 면적이 유한하다

③|r|≥1이면 사각형이 줄지 않으므로, 총 면적이 무한대이다

등비급수 공식 유도

부분합 공식

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

첫째항 a, 공비 r인 등비급수의 n번째 부분합

등비급수 (무한합)

a1 - r (|r| < 1)

n → ∞일 때 rⁿ → 0이므로, 부분합이 a/(1-r)로 수렴

💡 핵심 직관

①Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r)에서 n→∞이면 rⁿ→0

②따라서 S = a/(1-r)

③이 공식은 |r|<1일 때만 성립한다!

수렴 판정법

발산 판정법

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σa_n 발산

일반항이 0으로 수렴하지 않으면 급수는 반드시 발산한다

비교판정법

0 ≤ a_n ≤ b_n : Σb_n 수렴 ⇒ Σa_n 수렴

더 큰 급수가 수렴하면, 더 작은 급수도 수렴 (역은 발산)

⚖️ 판정법 비유

①발산 판정: 각 항이 0에 가지 않으면, 쌓이는 양이 줄지 않으니 발산

②비교 판정: 형보다 작은 동생도 통과 (형이 수렴하면 동생도 수렴)

예제로 익히기

예제 1

무한등비급수 Σ_n=1^∞ (2/3)ⁿ 의 합을 구하시오.

첫째항 a와 공비 r을 찾는다.

a = 23, r = 23 (|r| < 1)

|r| < 1이므로 합 공식 S = a/(1−r)을 적용한다.

S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2

▸ 2

등비급수는 첫째항과 공비만 정확히 찾으면 합 공식에 바로 대입하면 된다.

예제 2

급수 Σ_n=1^∞ n2n+1 의 수렴·발산을 판정하시오.

합을 구하기 전에 일반항의 극한부터 조사한다.

lim_n→∞ n2n+1 = 12

일반항이 0이 아니므로 발산 판정법에 의해 발산한다.

lim a_n = 12 ≠ 0 ⇒ 발산

▸ 발산

합을 계산하기 전에 일반항이 0으로 가는지 먼저 확인한다. 0이 아니면 즉시 발산이다.

총정리

등비급수 수렴 조건

Σ_k=0^∞ ar^k = a1-r (|r| < 1)

첫째항 a, 공비 r, |r|<1일 때 수렴

수능 유형 변형

첫째항 a, 공비 r인 등비급수가 Σ_n=1^∞ ar^n-1 = 9이고 Σ_n=1^∞ a² r^2(n-1) = 812 일 때, a의 값은?

①4

②5

③6

④7

⑤8

▸ ③ 6

두 급수의 합을 식으로 세운다 (둘째 급수는 공비가 r²).

a1-r = 9, a²1-r² = 812

a = 9(1−r)을 대입해 정리하면 r과 a가 정해진다.

1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6

🎯 시험 포인트

①등비급수: |r|<1 ↔ 수렴, |r|≥1 ↔ 발산

②무한등비급수의 합: a/(1-r) 공식 암기

③발산 판정법: lim aₙ≠0이면 무조건 발산

④부분합 Sₙ의 극한으로 급수의 수렴을 정의

⑤비교판정법: 큰 급수 수렴 → 작은 급수 수렴