seegongsik
고등학교 3학년 (17-18세)

등비수열의 극한

Limit of a Geometric Sequence

등비수열은 같은 수 r 을 거듭 곱해 만드는 수열이에요. |r| 이 1 보다 작으면 곱할수록 항이 줄어 0 에 다가가고, 1 보다 크면 곱할 때마다 커져서 어느 값에도 머물지 않아요. 그래서 lim rⁿ 이 있는지는 공비 r 하나로 정해지고, 갈림길은 r = 1 과 r = −1 이에요. 공비 슬라이더를 옮기면 n = 1 부터 12 까지의 점이 0 으로 모이거나, 그림 밖으로 벗어나거나, 1 과 −1 을 번갈아 찍는 모습을 볼 수 있어요.

rⁿ 의 극한은 r 이 정한다

0.7
👀 그림에서 읽는 네 가지 모습
①|r| < 1 이면 곱할수록 절댓값이 줄어 0 에 수렴한다. r 이 음수면 위아래를 번갈아 오가며 0 에 다가간다
②r = 1 이면 모든 항이 1 이다
③r = −1 이면 −1 과 1 을 번갈아 가므로 극한이 없다(진동)
④|r| > 1 이면 절댓값이 한없이 커져 발산한다. r = 1.5 에서는 r¹² 이 이미 129 를 넘는다
⑤위 띠의 r¹² 값을 보면 r = 0.9 처럼 1 에 가까운 공비는 0 에 느리게 다가간다는 것도 알 수 있다

네 가지 경우

rⁿ 의 극한

공비 r 에 따른 lim rⁿ
공비 rlim rⁿ수렴 · 발산
|r| < 10수렴
r = 11수렴
r = −1없음발산 (진동)
|r| > 1없음발산
🧭 갈림길은 r = 1 과 r = −1
①경계는 |r| = 1 이다
②수렴하는 범위는 −1 < r ≤ 1 이다. 오른쪽 끝 r = 1 은 들어가고 왼쪽 끝 r = −1 은 빠진다
③r = −1 은 항의 크기가 1 로 일정해도 값이 하나로 모이지 않으므로 수렴이 아니다
④등비수열의 극한 문제는 결국 공비가 이 범위의 어디에 있는지를 묻는다

수렴 조건

등비수열 {rⁿ} 이 수렴할 조건
limn→∞ rn 이 수렴 ⇔ −1 < r ≤ 1
이 범위에서만 극한값이 있다. −1 < r < 1 이면 0, r = 1 이면 1 이다
가장 많이 쓰는 극한
−1 < r < 1 ⇒ limn→∞ rn = 0
절댓값이 1 보다 작은 수는 거듭제곱할수록 0 에 가까워진다

분수 꼴의 극한은 가장 빨리 커지는 항으로 나눈다

✏️ 분수 꼴의 극한은 가장 빨리 커지는 항으로 나눈다
분자와 분모에 aⁿ 꼴의 항이 섞여 있으면, 밑의 절댓값이 가장 큰 항으로 분자와 분모를 나눈다. 그러면 나머지 항은 (작은 밑/큰 밑)ⁿ 꼴이 되어 0 으로 간다.
예제 1
r>1일 때 limn→∞ rn - 1rn + 1 의 값을 구하시오.
1
분자와 분모를 가장 빨리 커지는 항 rⁿ 으로 나눈다.
rn - 1rn + 1 = 1 - (1/r)n1 + (1/r)n
2
r > 1 이면 0 < 1/r < 1 이므로 (1/r)ⁿ → 0 이다.
→ 1 - 01 + 0 = 1
▸ 1
어느 항이 가장 빨리 커지는지 찾아 그 항으로 나누는 것이 분수 꼴 극한의 기본 방법이다.

정리

등비수열의 극한
limn→∞ rn = 0 (−1 < r < 1), 1 (r = 1), 발산 (그 밖)
수렴하는 범위는 −1 < r ≤ 1 이고, 그 안에서 r = 1 일 때만 극한값이 1 이며 나머지는 0 이다
2022 수능 수학(미적분) 23번 변형
limn→∞ 3n+1 + 2n3n - 2n 의 값은?
①0
②1
③2
④3
⑤발산
▸ ④ 3
1
밑이 가장 큰 3ⁿ 으로 분자와 분모를 나눈다.
3·3n + 2n3n - 2n = 3 + (2/3)n1 - (2/3)n
2
(2/3)ⁿ → 0 이므로 극한은 3/1 = 3 이다.
→ 3 + 01 - 0 = 3
🎯 시험 포인트
①lim rⁿ 은 −1 < r ≤ 1 에서만 수렴한다
②분수 꼴은 밑의 절댓값이 가장 큰 항으로 나눈다
③나눈 뒤에는 (작은 밑/큰 밑)ⁿ → 0 을 쓴다
④r = −1 은 진동하므로 발산이다
⑤지수에 n 이 들어 있으면 등비수열의 극한부터 떠올린다
← 이전
수열의 극한
다음 →
급수

마지막 수정

이 페이지가 도움 됐다면 후원하기