고등학교 3학년 (17-18세)

등비수열의 극한

Limit of a Geometric Sequence

rⁿ의 운명은 r이 정한다

공비 r0.7

👀 눈으로 보자

①|r|<1이면 곱할수록 작아져 0으로 수렴

②r=1이면 계속 1

③r=-1이면 1과 -1을 진동(발산)

④|r|>1이면 폭발하듯 발산

네 가지 경우 분류

rⁿ의 극한 분류

📊공비 r에 따른 lim rⁿ

공비 r	lim rⁿ	거동
\|r\|<1	0	수렴
r=1	1	수렴
r=−1	없음	진동·발산
\|r\|>1	없음	발산

🧭 경계는 r=1과 r=-1

①분기점은 |r|=1

②수렴하는 구간은 −1<r≤1 단 하나의 띠

③r=−1은 진동하므로 수렴이 아니다

④이 경계 감각이 모든 등비 극한 문제의 핵심

수렴 조건 한 줄로

등비수열 rⁿ의 수렴 조건

lim_n→∞ rⁿ 수렴 ⇔ -1 < r ≤ 1

이 범위에서만 극한값이 존재(−1<r<1이면 0, r=1이면 1)

핵심 극한값

-1<r<1 ⇒ lim_n→∞ rⁿ = 0

절댓값이 1보다 작은 공비는 거듭제곱하면 0으로 사라진다

분수꼴 극한 — 최고차로 나눈다

✏️ 분수꼴 극한 — 최고차로 나눈다

분자·분모에 rⁿ이 섞이면, |r|이 가장 큰 항으로 나누어 0으로 보내는 항을 만든다.

예제 1

r>1일 때 lim_n→∞ rⁿ - 1rⁿ + 1 의 값을 구하시오.

1

분자·분모를 가장 큰 항 rⁿ으로 나눈다.

rⁿ - 1rⁿ + 1 = 1 - (1/r)ⁿ1 + (1/r)ⁿ

2

r>1이면 1/r<1이므로 (1/r)ⁿ→0.

→ 1 - 01 + 0 = 1

▸ 1

"누가 더 빨리 커지는가"를 판단해 그 항으로 나누는 것이 분수꼴 극한의 정석이다.

총정리

등비수열 극한 요약

lim_n→∞ rⁿ = 0 (−1<r<1), 1 (r=1), 발산 (그 외)

수렴은 −1<r≤1, 그 안에서 r=1만 1이고 나머지는 0

2022 수능 수학(미적분) 23번 변형

lim_n→∞ 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ 의 값은?

①0

②1

③2

④3

⑤발산

▸ ④ 3

1

가장 큰 밑 3ⁿ으로 분자·분모를 나눈다.

3·3ⁿ + 2ⁿ3ⁿ - 2ⁿ = 3 + (2/3)ⁿ1 - (2/3)ⁿ

2

(2/3)ⁿ→0 이므로 극한은 3/1.

→ 3 + 01 - 0 = 3

🎯 시험 포인트

①lim rⁿ은 −1<r≤1에서만 수렴

②분수꼴은 밑이 가장 큰 항으로 나눈다

③(작은밑/큰밑)ⁿ→0을 만들어라

④r=−1 진동은 발산임을 잊지 말 것

⑤지수에 n이 있으면 등비수열 극한을 먼저 의심

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