무한등비급수

Infinite Geometric Series

무한히 많은 항을 더하면 당연히 무한대가 될 것 같지만, 꼭 그렇지는 않아요. 공비가 1보다 작으면 더해지는 조각이 앞의 것보다 계속 작아져서, 아무리 더해도 어떤 천장을 넘지 못하고 그 값에 수렴해요. 그 천장이 바로 첫째항을 1에서 공비를 뺀 값으로 나눈 a/(1−r)이에요. 더한 항의 수 n을 늘리면 부분합 막대가 자라면서도 빨간 극한선을 끝내 넘지 못하는 모습이 보여요.

무한히 더하는데 끝이 있다?

더한 항의 수 n4

👀 눈으로 보자

①항을 계속 더하면 막대가 자란다

②그런데 공비가 1보다 작으면 더해지는 양이 점점 작아진다

③그래서 무한히 더해도 어떤 값(빨간 선)을 넘지 못하고 거기에 수렴한다

부분합부터 세운다

등비수열의 부분합

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

첫째항 a, 공비 r인 등비수열의 첫 n항의 합

🧱 먼저 n개의 합

①무한급수의 합은 부분합 Sₙ의 극한으로 정의한다

②등비수열의 부분합 공식을 먼저 쓴다

③그다음 n→∞로 보낸다. 이 순서가 핵심

극한으로 보내면 공식이 나온다

무한등비급수의 합

S = a1 - r (|r| < 1)

첫째항 a, 공비 r에서 |r|<1일 때만 수렴하며 합은 a/(1−r)

수렴 조건

수렴 ⇔ a = 0 또는 |r| < 1

첫째항이 0이거나 공비의 절댓값이 1보다 작아야 한다. a = 0이면 모든 r에서 합은 0. 이 그림은 a ≠ 0

💨 rⁿ이 사라진다

①|r|<1이면 n→∞일 때 rⁿ→0

②부분합 식에서 rⁿ 항이 사라진다

③남는 것이 무한등비급수의 합 공식이다

직접 구해 보자

예제 1

첫째항이 3, 공비가 1/3인 무한등비급수의 합을 구하시오.

공비의 절댓값을 확인한다. |1/3|<1이므로 수렴한다.

합 공식 S = a/(1−r)에 a=3, r=1/3을 대입한다.

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

먼저 |r|<1 수렴 여부를 확인하고 나서 공식을 쓰는 습관이 실수를 막는다.

총정리

핵심 정리

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

첫째항 a, 공비 r의 무한등비급수는 |r|<1일 때 a/(1−r)로 수렴

2023 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ 의 값은?

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤발산

▸ ③ 2

일반항을 (2/3)ⁿ으로 보면 첫째항 2/3, 공비 2/3인 등비급수다.

|2/3|<1이므로 S = (2/3)/(1−2/3).

S = 2/31/3 = 2

🎯 시험 포인트

①반드시 |r|<1 수렴 조건 먼저 확인

②합 공식은 S=a/(1−r), 첫째항·공비를 정확히 잡기

③∑arⁿ과 ∑arⁿ⁻¹의 첫째항 차이 주의

④순환소수·도형 합도 결국 이 공식

⑤수렴 안 하면 합이 존재하지 않는다