고등학교 3학년 (17-18세)

무한등비급수

Infinite Geometric Series

끝없이 많은 수를 더하면 결과도 한없이 커질 것 같지만, 꼭 그렇지는 않아요. 공비의 절댓값이 1 보다 작으면 새로 더하는 항이 앞의 항보다 일정한 비율로 작아져서, 아무리 더해도 어떤 값을 넘지 못하고 그 값에 다가가요. 그 값이 첫째항 a 를 1 − r 로 나눈 a/(1 − r) 이에요. 그림은 a = 1, r = 0.6 인 경우로, 더한 항의 수 n 을 늘리면 부분합 막대가 자라면서도 빨간 선 2.5 를 끝내 넘지 못하는 것을 볼 수 있어요.

끝없이 더해도 끝이 있다

더한 항의 수 n4

👀 그림에서 읽을 것

①막대 Sₙ 은 첫째항부터 제 n 항까지 더한 값이고, 꼭대기의 밝은 조각이 새로 더한 항 0.6ⁿ⁻¹ 이다

②새 조각은 바로 앞 조각의 0.6 배라서 막대가 자라는 폭이 점점 줄어든다

③위 띠의 남은 차이 2.5 − Sₙ 은 2.5 × 0.6ⁿ 과 같아서 n 이 커질수록 0 에 가까워진다. 그래서 막대는 빨간 선 2.5 를 넘지 못하고 그 값에 수렴한다

부분합부터 세운다

등비수열의 부분합

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

첫째항 a, 공비 r 인 등비수열의 첫째항부터 제 n 항까지의 합

🧱 먼저 n 개의 합

①무한급수의 합은 부분합 Sₙ 의 극한으로 정의한다

②먼저 등비수열의 합의 공식으로 Sₙ 을 쓴다

③그다음 n → ∞ 일 때의 극한을 구한다. 이 순서를 지켜야 수렴하지 않는 급수에 합을 매기는 실수를 피할 수 있다

극한으로 보내면 합의 공식이 나온다

무한등비급수의 합

S = a1 - r (|r| < 1)

첫째항 a ≠ 0, 공비 r 일 때 |r| < 1 인 경우에만 수렴하고 합은 a/(1 − r) 이다

수렴 조건

수렴 ⇔ a = 0 또는 |r| < 1

첫째항이 0 이면 모든 항이 0 이라 공비와 상관없이 합은 0 이다. a ≠ 0 이면 |r| < 1 이어야 한다

💨 rⁿ 이 사라진다

①|r| < 1 이면 n → ∞ 일 때 rⁿ → 0 이다

②부분합 a(1 − rⁿ)/(1 − r) 에서 rⁿ 이 0 으로 가므로 a/(1 − r) 만 남는다

③|r| ≥ 1 이면 rⁿ 이 0 으로 가지 않으므로, a ≠ 0 인 한 급수는 발산한다

직접 구하기

예제 1

첫째항이 3, 공비가 1/3 인 무한등비급수의 합을 구하시오.

공비의 절댓값을 확인한다. |1/3| < 1 이므로 수렴한다.

합의 공식 S = a/(1 − r) 에 a = 3, r = 1/3 을 대입한다.

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

|r| < 1 인지 먼저 확인하고 공식을 쓰는 습관이 실수를 막는다.

정리

핵심 정리

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

첫째항 a, 공비 r 인 무한등비급수는 |r| < 1 일 때 a/(1 − r) 로 수렴한다

2023 평가원 모평 수학(미적분) 유형 변형

∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ 의 값은?

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤발산

▸ ③ 2

일반항을 (2/3)ⁿ 으로 보면 첫째항이 2/3, 공비가 2/3 인 등비급수다.

|2/3| < 1 이므로 S = (2/3)/(1 − 2/3) 이다.

S = 2/31/3 = 2

🎯 시험 포인트

①합의 공식을 쓰기 전에 |r| < 1 부터 확인한다

②합의 공식은 S = a/(1 − r) 이고, 첫째항과 공비를 정확히 잡아야 한다

③∑arⁿ 은 첫째항이 ar, ∑arⁿ⁻¹ 은 첫째항이 a 다

④순환소수와 도형의 넓이 합도 결국 이 공식으로 푼다

⑤수렴하지 않으면 합은 존재하지 않는다

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급수

등비급수의 활용

마지막 수정 2026-10-17

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