수열의 극한

Limit of a Sequence

수열은 번호가 붙은 수들이 끝없이 이어지는 줄이에요. 항 번호 n을 점점 키웠을 때 값이 어떤 한 곳으로 자리를 잡아 가는지가 핵심인데, 그렇게 다가가는 목적지가 바로 극한이에요. 한없이 가까워지면 수렴, 목적지를 못 정하고 흩어지거나 위아래로 튀면 발산이라고 불러요. 표시할 항의 수를 늘려 점들이 L=1로 모여드는 모습을 확인하고, 수열을 바꿔 가며 수렴과 발산을 직접 비교해 봐요.

수열이 다가가는 곳

표시할 항의 수5개

👀 눈으로 보자

금색 점이 수열의 각 항이다. n이 커질수록 점들이 빨간 점선(극한값 L=1)에 한없이 가까워진다. 이것이 '수렴'이다.

ε-N 논법으로 이해하기

📏 ε-밴드의 의미

①n을 늘리면 금색 띠(ε-밴드)가 좁아진다

②아무리 좁은 ε을 잡아도, 충분히 큰 N 이후의 모든 항은 그 안에 들어간다

③이것이 수열의 수렴의 엄밀한 정의이다

ε-N 정의

∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |a_n − L| < ε

임의의 양수 ε에 대해, 충분히 큰 N이 존재하여 n ≥ N이면 |aₙ − L| < ε

수렴과 발산 비교

수열 선택0

🔍 세 가지 패턴

①0번: 1+1/n → 1로 수렴 (점이 한 곳으로 모임)

②1번: (-1)ⁿ(1+1/n) → 위아래로 진동하며 발산

③2번: n/(n+1) → 1로 수렴 (아래에서 접근)

극한의 기본 성질

수열 극한의 사칙연산

lim(a_n ± b_n) = α ± β, lim(a_n · b_n) = α · β

수렴하는 두 수열의 합, 차, 곱의 극한은 각 극한의 합, 차, 곱

수열 극한의 나눗셈

lim a_nb_n = αβ (β ≠ 0)

β ≠ 0일 때, 몫의 극한은 극한의 몫

샌드위치 정리

a_n ≤ c_n ≤ b_n, lim a_n = lim b_n = L ⇒ lim c_n = L

위아래에서 같은 값으로 조이면, 가운데도 그 값으로 수렴한다

예제로 익히기

예제 1

극한 lim_n→∞ 2n+3n-1 의 값을 구하시오.

분자와 분모를 각각 n으로 나눈다.

2n+3n-1 = 2 + 3/n1 - 1/n

n → ∞일 때 3/n → 0, 1/n → 0이다.

2 + 01 - 0 = 2

▸ 2

유리식의 극한은 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나누는 것이 표준 전략이다.

예제 2

극한 lim_n→∞ sin nn 의 값을 구하시오.

−1 ≤ sin n ≤ 1이므로 양변을 양수 n으로 나눈다.

-1n ≤ sin nn ≤ 1n

양쪽 극한이 모두 0이므로 샌드위치 정리에 의해 가운데도 0이다.

lim_n→∞ (-1/n) = lim_n→∞ 1n = 0

▸ 0

sin·cos처럼 값이 유계인 수열은 ±1/n로 조여 샌드위치 정리를 쓴다.

총정리

핵심 극한 공식

lim_n→∞ 1n^p = 0 (p > 0), lim_n→∞ rⁿ = 0 (|r| < 1)

n의 거듭제곱 분의 1 → 0, 공비의 절댓값이 1 미만이면 → 0

수능 유형 변형

극한 lim_n→∞ (√(n²+3n) − n) 의 값은?

①1

②32

③2

④3

⑤∞ (발산)

▸ ② 32

근호가 있는 ∞ − ∞ 꼴이므로 켤레식을 곱해 유리화한다.

√(n²+3n) − n = 3n√(n²+3n) + n

분자·분모를 n으로 나누면 분모가 2로 수렴한다.

3√(1 + 3/n) + 1 → 32

🎯 시험 포인트

①수렴 정의: ε-N 논법의 핵심 흐름을 파악하자

②극한의 사칙연산: '각각의 극한을 구해서 연산'

③발산 판별: 진동 수열은 극한이 없다

④샌드위치 정리: 양쪽 극한이 같으면 가운데도 수렴

⑤1/n^p → 0, r^n → 0 (|r|<1) 공식 암기 필수

등비수열의 극한

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