수열은 번호가 붙은 수가 끝없이 이어지는 줄이에요.
번호 n 을 키워 갈 때 항이 어느 한 값에 한없이 가까워지면 그 값을 극한이라 하고, 수열이 그 값으로 수렴한다고 해요.
한 값에 모이지 않고 한없이 커지거나 두 값 사이를 오가면 발산이에요.
그림에서 n 을 늘리면 aₙ = 1 + 1/n 이 L = 1 로 다가가고, ε 을 줄이면 띠 안에 들어오기 시작하는 번호 N 이 뒤로 밀리는 것을 볼 수 있어요.
수열이 다가가는 값
수열은 항 번호 n 이 끝없이 커지는 수의 줄이라 마지막 항이 없다. 그래서 수열의 극한은 어느 한 항의 값을 묻는 말이 아니라, 번호가 충분히 커진 뒤의 항들이 한 값 L 근처에 머무는지를 묻는 말이다. L 둘레에 아무리 좁은 띠를 그려도 어느 번호부터는 모든 항이 그 띠 안에 들어오면 수열은 L 로 수렴한다고 하고, 그런 L 이 없으면 발산한다고 한다. 함수의 극한이 실수 x 가 a 로 다가가는 경우를 다룬다면, 수열의 극한은 자연수 번호 n 이 한없이 커지는 경우만 다룬다. 이렇게 정의해 두면 수렴하는 두 수열의 합, 차, 곱의 극한을 각 극한의 합, 차, 곱으로 계산할 수 있고, 분모의 극한이 0 이 아니면 몫도 마찬가지다.
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aₙ = 1 + 1/n 의 처음 20 개 항과 극한 L = 1
첫째 그림의 점은 aₙ = 1 + 1/n 의 처음 20 개 항이고, 빨간 점선이 극한 L = 1 이다. 슬라이더로 고른 n 번째 항까지 금색으로 켜지고, 위 띠에는 그 항의 값과 극한선까지의 거리 |aₙ − 1| = 1/n 이 나온다. n 을 1 에서 20 까지 늘리면 거리가 1, 1/2, 1/3, … 로 줄어 0.05 가 되는데, 줄어드는 폭은 점점 작아지지만 거리가 0 이 되지는 않는다. 둘째 그림에서는 ε 슬라이더로 L 둘레의 초록 띠 너비를 정한다. 띠 안에 들어온 항은 초록, 밖에 있는 항은 금색이고, 흰 점선이 처음으로 띠 안에 들어오는 번호 N 이다. ε 을 줄이면 N 이 뒤로 밀리지만, 어떤 ε 을 골라도 N 은 반드시 정해진다.
5개
👀 그림에서 읽을 것
①금색 점이 수열의 항이고 빨간 점선이 극한 L = 1 이다
②n 이 커질수록 항과 점선 사이의 거리 1/n 이 줄어 0 에 다가간다
③거리가 0 이 되는 항은 없지만, 어떤 작은 거리를 정해도 어느 번호부터는 모든 항이 그보다 가깝다. 이것이 수렴이다
ε-N 으로 정확히 말하기
항이 계속 커진다고 해서 수열이 반드시 발산하는 것은 아니다. 셋째 그림의 n/(n + 1) 은 항이 커지기만 하는데도 1 을 넘지 않고 1 에 수렴한다. 반대로 (−1)ⁿ(1 + 1/n) 은 항의 크기가 1 에 가까워지는데도 부호가 번갈아 바뀌어 1 근처와 −1 근처를 오가므로 한 값으로 모이지 않고 발산한다. 한없이 커지는 발산과 진동하는 발산은 같은 발산이어도 모양이 다르니 구별해 두는 편이 좋다. 처음 몇 항만 보고 판정해서도 안 된다. 수렴은 어느 번호 뒤의 모든 항에 대한 이야기라서, 앞쪽 항이 아무리 멀리 떨어져 있어도 결론은 달라지지 않는다. 유리식은 최고차항으로 나눠 1/n 꼴이 0 으로 가는지 보고, sin n 처럼 범위가 정해진 인자는 위아래로 조여 판정한다.
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L 둘레의 띠 |aₙ − 1| < ε 와, 모든 항이 띠 안에 들어오기 시작하는 번호 N
0.1
📏 ε 띠와 번호 N
①ε 은 극한값 둘레에 허용하는 오차, 곧 띠의 반폭이다
②aₙ = 1 + 1/n 은 1/n < ε 일 때 띠 안에 들어오므로 N = ⌊1/ε⌋ + 1 로 잡으면 된다. ε = 0.1 이면 N = 11 이다
③ε 을 아무리 작게 잡아도 이런 N 이 있다는 것이 수렴의 정확한 정의다
ε-N 정의
∀ε > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ |an − L| < ε
모든 양수 ε 에 대해, n ≥ N 인 모든 항이 |aₙ − L| < ε 를 만족하게 하는 번호 N 이 있다
수렴과 발산 비교
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세 수열의 처음 20 개 항 · 점선은 항이 다가가는 높이
1+1/n
🔍 세 가지 모습
①1 + 1/n 은 위에서 1 로 다가가며 수렴한다
②(−1)ⁿ(1 + 1/n) 은 1 근처와 −1 근처를 번갈아 오가므로 한 값으로 모이지 않아 발산한다(진동)
③n/(n + 1) 은 아래에서 1 로 다가가며 수렴한다. 항이 계속 커져도 수렴할 수 있다
극한의 기본 성질
합 · 차 · 곱의 극한
lim(an ± bn) = α ± β, lim(an · bn) = α · β
lim aₙ = α, lim bₙ = β 일 때, 합 · 차 · 곱의 극한은 각 극한의 합 · 차 · 곱이다
몫의 극한
lim anbn = αβ (β ≠ 0)
β ≠ 0 이고 bₙ ≠ 0 일 때, 몫의 극한은 극한의 몫이다
수열의 극한의 대소 관계 (샌드위치 정리)
an ≤ cn ≤ bn, lim an = lim bn = L ⇒ lim cn = L
양쪽에서 같은 값으로 조이는 두 수열 사이에 끼인 수열도 그 값으로 수렴한다
예제
예제 1
극한 limn→∞2n+3n-1 의 값을 구하시오.
1
분자와 분모를 각각 n 으로 나눈다.
2n+3n-1 = 2 + 3/n1 - 1/n
2
n → ∞ 일 때 3/n → 0, 1/n → 0 이다.
2 + 01 - 0 = 2
▸ 2
유리식의 극한은 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누는 것이 기본이다.
예제 2
극한 limn→∞sin nn 의 값을 구하시오.
1
−1 ≤ sin n ≤ 1 이므로 각 변을 양수 n 으로 나눈다.
-1n ≤ sin nn ≤ 1n
2
양쪽 극한이 모두 0 이므로 샌드위치 정리에 따라 가운데도 0 이다.
limn→∞ (-1/n) = limn→∞1n = 0
▸ 0
sin, cos 처럼 값의 범위가 정해진 수열은 ±1/n 으로 조여 샌드위치 정리를 쓴다.