수열은 번호가 붙은 수들이 끝없이 이어지는 줄이에요.
항 번호 n을 점점 키웠을 때 값이 어떤 한 곳으로 자리를 잡아 가는지가 핵심인데, 그렇게 다가가는 목적지가 바로 극한이에요.
한없이 가까워지면 수렴, 목적지를 못 정하고 흩어지거나 위아래로 튀면 발산이라고 불러요.
표시할 항의 수를 늘리면 점들이 L=1로 모여들고, 수열을 바꾸면 수렴과 발산이 비교되어 보여요.
수열이 다가가는 곳
항 번호 n 은 끝없이 커지는데 마지막 항은 없다. 그래서 수열의 극한은 앞에서 몇 개를 더하는 합이 아니라, 번호가 커진 뒤의 항이 한 값 근처에 머무는지를 묻는 말이다. 어떤 좁은 띠를 잡아도 그 뒤로는 모든 항이 띠 안에 있으면 수렴이고, 한 값에 붙지 못하면 발산이다. 함수의 극한이 점 a 로 다가가는 것과 달리, 여기서는 n → ∞ 인 정수 번호만 본다. 수렴하는 두 수열의 합·차·곱은 각 극한으로 계산하고, 몫은 분모 극한이 0 이 아닐 때 극한의 몫이다. 위아래가 같은 값으로 조이면 가운데도 그 값으로 수렴한다는 설명이 샌드위치 정리예요.
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수열 aₙ = 1 + 1/n 의 항들이 극한 L=1에 수렴하는 시각화
첫째 그림은 aₙ = 1 + 1/n 이고, 빨간 점선이 높이 L = 1 에 놓여 있다. 금색 점은 고른 개수만큼 밝고, 나머지 자리는 흐리며, 번호는 1 부터 20 까지 찍혀 있다. 표시할 항의 수를 키우면 밝은 점이 늘어나고, 그 수가 5 이상일 때 금색 띠가 ε = 1/n 너비로 나타난다. 같은 그림이 ε-N 칸에도 다시 쓰이며, ε 전용 슬라이더는 없고 띠 너비는 이 n 에 묶여 있다. 비교 그림에서는 수열을 세 가지 가운데 하나로 고른다. 0번은 1+1/n, 1번은 (−1)ⁿ(1+1/n) 로 위아래가 갈리고, 2번은 n/(n+1) 이 아래에서 1 쪽으로 붙어요. 점은 각 번호마다 한 자리에 찍혀 있다.
5개
👀 눈으로 보자
금색 점이 수열의 각 항이다. n이 커질수록 점들이 빨간 점선(극한값 L=1)에 한없이 가까워진다. 이것이 '수렴'이다.
ε-N 논법으로 이해하기
앞쪽 항이 커지고 있다고 해서 수열이 반드시 발산하는 것은 아니다. 비교 그림의 n/(n+1) 은 항이 커지면서도 1 아래에 머문다. 반대로 절댓값이 커 보여도 (−1)ⁿ(1+1/n) 처럼 두 높이 사이를 오가면 한 극한으로 모이지 않는다. 무한대로 멀어지는 발산과 진동 발산을 한 단어로 묶으면, 점이 한 방향으로 떨어지는지 두 값을 오가는지가 가려진다. 초반 다섯 항만 보고 판정하면, 뒤에 좁아지는 ε = 1/n 띠 안에 들어오는 항을 놓친다. 유리식은 최고차항으로 나눈 뒤 1/n 이 어떻게 되는지를 보고, 유계인 인자는 위아래로 조여 판정해요.