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소방설비기사 소방유체역학 · 연속방정식과 베르누이

Continuity & Bernoulli

연속 방정식은 관 속을 흐르는 유량이 어디서나 같다는 말로, A₁V₁ = A₂V₂ 라서 호스 끝을 쥐면 물이 빨라진다. 베르누이 방정식은 압력 · 속도 · 위치 수두의 합이 유선을 따라 일정하다는 식이라, 속도가 커진 곳에서는 압력이 줄어든다. 수조 구멍에서 나오는 물의 속도(토리첼리)와 벤투리관 유량 측정이 모두 이 두 식에서 나와요. 위 그림은 면적비 A₁/A₂ 슬라이더를 키우면 좁은 쪽 속도 화살표가 길어지고 압력 막대 P₂ 가 짧아지며, 아래 그림은 수두 h 슬라이더를 올리면 옆 구멍에서 나가는 물줄기가 멀리 뻗어요.

연속 방정식: 물은 사라지지 않는다

2배
🚿 호스 끝을 쥐면
정원 호스 끝을 손가락으로 막으면 물이 세게 나간다. 관이 좁아져도 유량(Q)은 같으므로 속도(V)가 커지는 것이다. A₁V₁ = A₂V₂ 가 연속 방정식이에요.
연속 방정식
Q = A₁V₁ = A₂V₂
유량 보존: 면적 × 속도 = 일정(비압축성 정상 흐름)

베르누이 방정식: 에너지 보존

⚡ 속도가 커지면 압력이 준다
관이 좁아져 속도가 빨라지면 압력은 낮아진다. 에너지가 보존되기 때문이다. 위 그림에서 좁은 구간의 압력 막대(P₂)가 짧은 까닭이고, 소방 노즐 앞뒤의 압력 변화도 같은 원리예요.
베르누이 방정식
P₁ρg + V₁²2g + z₁ = P₂ρg + V₂²2g + z₂
압력 수두 + 속도 수두 + 위치 수두 = 일정(이상 유체)
📐 세 가지 수두
①압력 수두(P/ρg): 압력이 가진 에너지, 단위 m
②속도 수두(V²/2g): 운동 에너지, 단위 m
③위치 수두(z): 높이에 따른 위치 에너지, 단위 m
④마찰을 무시하면 세 수두의 합이 유선을 따라 늘 일정해요

토리첼리의 정리: 나가는 속도

5 m
토리첼리의 정리
V = √(2gh)
나가는 속도 = √(2 × 중력 가속도 × 수두): 베르누이 방정식의 특별한 경우
🏗️ 소방에 쓰이는 곳
①소방 수조에서 배관 출구 유속을 구하는 기본 식이다
②h = 10m 면 V ≈ 14 m/s, 시속 약 50 km 다
③실제로는 손실을 반영한 속도 계수를 곱한다: V = Cv × √(2gh)
④스프링클러 헤드 방수량 Q = K√P 도 같은 원리에서 나와요

벤투리미터의 원리

벤투리미터 유량
Q = Cd A₂ √2g(P₁-P₂)/ρg1-(A₂/A₁)²
축소관 앞뒤의 압력 차로 유량을 재는 원리
📊 벤투리의 뼈대
①관을 좁히면 속도는 커지고 압력은 준다
②좁아지기 전과 후의 압력 차(ΔP)를 잰다
③연속 방정식과 베르누이 방정식을 함께 풀면 유량 Q 가 나온다
④소방 배관의 유량 측정에 이 원리를 써요

총정리

연속 방정식
A₁V₁ = A₂V₂
질량 보존 → 유량 보존
베르누이 방정식
Pρg + V²2g + z = const
압력 수두 + 속도 수두 + 위치 수두 = 일정
토리첼리
V = √(2gh)
자유 배출 속도: 베르누이 방정식의 특별한 경우
🎯 시험에서 볼 자리 다섯
①연속 방정식은 비압축성 정상 흐름이 전제다
②베르누이 방정식은 비점성(마찰 무시) + 비압축성 + 정상 흐름이 전제다
③수두(head)의 단위는 m 로, 압력을 높이로 나타낸 것이다
④토리첼리의 정리는 수면 속도가 거의 0 인 큰 수조에서 성립한다
⑤벤투리: 관 축소 → 속도 증가 → 압력 감소 → ΔP 로 Q 를 구해요
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