연속방정식과 베르누이

Continuity & Bernoulli

연속방정식은 유량이 보존된다는 말이에요. A₁V₁ = A₂V₂로 호스를 쥐면 속도가 커져요. 베르누이는 압력·속도·위치 수두의 합이 보존된다고 보고, 속도가 커지면 압력이 줄어요. 토리첼리 배출 속도와 벤투리 원리는 소방 관창·유량 측정에 바로 연결돼요. 단면·높이 조절 시각화로 연속과 베르누이 수두 교환을 눈으로 확인해 봐요.

연속방정식: 물은 사라지지 않는다

면적비 A₁/A₂2배

🚿 호스 끝을 쥐면?

정원 호스 끝을 손가락으로 막으면 물이 세게 나온다. 관이 좁아져도 유량(Q)은 같으니까 속도(V)가 커지는 것이다. A₁V₁ = A₂V₂: 이것이 연속방정식이다.

연속방정식

Q = A₁V₁ = A₂V₂

유량 보존: 면적 × 속도 = 일정 (비압축성 정상유동)

베르누이 방정식: 에너지 보존

⚡ 속도↑ 압력↓

관이 좁아져 속도가 빨라지면 압력은 낮아진다. 에너지 보존! 위 시각화에서 좁은 구간의 압력바(P₂)가 짧은 이유다. 비행기 날개가 뜨는 원리도, 소방 호스 노즐의 압력변화도 이것이다.

베르누이 방정식

P₁ρg + V₁²2g + z₁ = P₂ρg + V₂²2g + z₂

압력수두 + 속도수두 + 위치수두 = 일정 (이상 유체)

📐 3가지 수두

①압력수두(P/ρg): 압력이 가진 에너지. 단위 [m]

②속도수두(V²/2g): 운동에너지. 단위 [m]

③위치수두(z): 높이에 의한 위치에너지. 단위 [m]

④세 수두의 합이 유선을 따라 항상 일정 (마찰 무시)

토리첼리 정리: 배출 속도

수두 h5 m

토리첼리 정리

V = √(2gh)

배출속도 = √(2 × 중력가속도 × 수두): 베르누이의 특수해

🏗️ 소방 적용

①소방 수조에서 배관 출구 유속 계산의 기본

②h = 10m이면 V ≈ 14 m/s: 약 50 km/h

③실제로는 손실계수를 곱함: V = Cv × √(2gh)

④스프링클러 헤드 방수량 계산에 직접 사용

벤투리미터 원리

벤투리미터 유량

Q = C_d A₂ √2g(P₁-P₂)/ρg1-(A₂/A₁)²

축소관 전후의 압력차로 유량을 측정하는 원리

📊 벤투리의 핵심

①관을 축소시키면 속도↑ 압력↓

②축소 전후의 압력차(ΔP)를 측정

③연속방정식 + 베르누이 연립 → 유량 Q 계산

④소방 배관의 유량 측정에 이 원리가 쓰인다

총정리

연속방정식

A₁V₁ = A₂V₂

질량 보존 → 유량 보존

베르누이 방정식

Pρg + V²2g + z = const

압력수두 + 속도수두 + 위치수두 = 일정

토리첼리

V = √(2gh)

자유 배출 속도: 베르누이의 특수한 경우

🎯 시험 포인트

①연속방정식은 '비압축성 정상유동' 전제

②베르누이는 '비점성(마찰 무시) + 비압축성 + 정상유동'

③수두(head)의 단위는 [m]: 압력을 높이로 표현

④토리첼리는 수면 속도 ≈ 0인 대형 수조에서 성립

⑤벤투리: 관 축소 → 속도↑ → 압력↓ → ΔP로 Q 계산