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초등 6학년 (11-12세)

초등 6학년 원의 넓이

Area of a Circle

원은 둥글어서 넓이를 자로 바로 잴 수 없지만, 피자처럼 똑같은 조각으로 잘라 위아래로 엇갈려 이어 붙이면 점점 직사각형에 가까워져요. 이 직사각형의 가로는 원주의 절반인 반지름 × 원주율이고 세로는 반지름이라서, 원의 넓이는 반지름 × 반지름 × 원주율이 돼요. 원주율은 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수로, 계산할 때는 3.14를 써요. 첫 그림에서 조각 수를 늘리면 원이 직사각형으로 펼쳐지는 모습이, 둘째 그림에서는 원이 바깥 정사각형 넓이의 78.5%를 차지하는 모습이 보여요.

원을 잘라 펼치면?

🍕 잘게 자를수록 직사각형
①원을 똑같은 부채꼴 조각으로 자른 뒤 위아래로 엇갈려 늘어놓으면, 처음 값인 12조각만 되어도 직사각형에 꽤 가까워요
②조각을 더 잘게 자를수록 울퉁불퉁한 위아래 가장자리가 펴져서 직사각형과 거의 같아져요
③이 직사각형의 세로는 반지름 r이고, 가로는 원주의 절반인 πr이에요. 원주가 지름 × 원주율 = 2 × r × π이기 때문이에요
④그래서 넓이는 가로 × 세로 = πr × r, 곧 반지름 × 반지름 × 원주율이에요
5
12

원과 정사각형 견주기

↔️ 같은 반지름
위에서 고른 반지름이 아래 그림에도 그대로 쓰여요. 반지름을 바꾸어도 원이 정사각형에서 차지하는 비율은 그대로예요.
💡 원은 정사각형의 78.5%
①반지름이 r인 원은 한 변이 2r인 정사각형 안에 꼭 들어가요
②정사각형의 넓이는 2r × 2r = 4 × r × r이고, 원의 넓이는 3.14 × r × r이에요
③그래서 원은 정사각형 넓이의 3.14 ÷ 4 = 0.785, 곧 78.5%를 차지해요. 처음 값인 반지름 5이면 100 가운데 78.5예요
④반지름이 2배가 되면 넓이는 2 × 2 = 4배가 돼요

정리

원의 넓이
S = πr²
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율(3.14)
원주
C = 2πr = πd
원주 = 지름 × 원주율 = 2 × 반지름 × 원주율
왜 πr²일까
밑변(πr) × 높이(r) = πr²
원을 잘게 잘라 붙인 직사각형은 가로가 원주의 절반, 세로가 반지름이에요
🎯 한눈에 정리
①원주율 π: 원주가 지름의 몇 배인지 나타내는 수로, 3.14를 써요
②원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율
③원주 = 지름 × 원주율
④반지름이 2배이면 넓이는 4배예요
⑤원을 잘게 잘라 붙이면 직사각형이 되어 넓이 공식이 나와요

예제와 단원평가

예제 1
반지름이 5 cm인 원의 넓이를 구해 보세요. (원주율: 3.14)
1
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율 = 5 × 5 × 3.14예요.
2
25 × 3.14 = 78.5이므로 넓이는 78.5 cm²예요.
▸ 78.5 cm²
첫 그림의 처음 값이 반지름 5라서, 아래에 넓이 = 5 × 5 × 3.14 = 78.5가 적혀 있어요.
예제 2
반지름이 10 cm인 원의 원주를 구해 보세요. (원주율: 3.14)
1
원주 = 지름 × 원주율이고, 지름은 10 × 2 = 20 cm예요.
2
20 × 3.14 = 62.8이므로 원주는 62.8 cm예요.
▸ 62.8 cm
원주율을 곱하는 것은 반지름이 아니라 지름이라는 점을 조심해요.
단원평가 유형
반지름이 4 cm인 원의 넓이는 얼마일까요? (원주율: 3.14)
①50.24 cm²
②25.12 cm²
③12.56 cm²
④16 cm²
▸ ① 50.24 cm²
1
넓이 = 반지름 × 반지름 × 원주율 = 4 × 4 × 3.14예요.
2
16 × 3.14 = 50.24이므로 50.24 cm²예요.
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