원의 넓이는 둥근 모양이라 자를 대고 바로 재기 어렵지만, 원을 피자처럼 잘게 잘라 위아래로 엇갈리게 이어 붙이면 점점 직사각형에 가까워져요.
이 직사각형의 밑변은 원둘레의 절반이고 높이는 반지름이라서, 넓이가 반지름 곱하기 반지름 곱하기 원주율이 된다는 것을 알 수 있어요.
피자 한 판이나 시계, 동전처럼 둥근 물건의 크기를 잴 때 바로 이 공식을 써요.
이 페이지에서는 조각 수를 늘려 가며 원이 직사각형으로 펼쳐지는 모습을 보고, 원이 정사각형의 약 78.5%라는 것도 직접 확인해 봐요.
원을 잘라서 펼치면?
🍕 피자를 잘게 자르면 직사각형이 돼!
①원을 피자처럼 똑같은 조각으로 자르고
②위아래를 번갈아 끼우면 직사각형 비슷한 모양!
③조각 수가 많을수록 점점 더 직사각형에 가까워져!
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원을 부채꼴로 나누어 평행사변형으로 재배열합니다 원과 정사각형 비교
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원의 넓이와 둘레 정사각형 넓이를 비교합니다 💡 원은 정사각형의 약 78.5%
①한 변이 2r인 정사각형 안에 원이 딱 맞아
②원의 넓이 = πr² ≈ 3.14 × r²
③정사각형 넓이 4r²의 약 78.5%!
총정리
원의 넓이
S = πr²
원의 넓이 = 원주율(π ≈ 3.14) × 반지름 × 반지름
원의 둘레
C = 2πr = πd
원의 둘레 = 2 × π × 반지름 = π × 지름
왜 πr²이 되는가
밑변(πr) × 높이(r) = πr²
원을 부채꼴로 잘라 직사각형으로 변환 → 밑변=원둘레의 절반, 높이=반지름
🎯 핵심 포인트
①π(파이) ≈ 3.14 (원주율: 지름 대비 둘레의 비)
②넓이 = πr² (반지름의 제곱에 비례)
③둘레 = 2πr (반지름에 비례)
④반지름이 2배 → 넓이는 4배
⑤원을 잘게 잘라 펼치면 직사각형 → 공식 유도!
예제와 단원평가
예제 1
반지름이 5cm인 원의 넓이를 구하세요. (원주율은 3.14)
1 원의 넓이 = 원주율 × 반지름 × 반지름 = 3.14 × 5 × 5.
2 3.14 × 25 = 78.5이므로 78.5cm²예요.
▸ 78.5cm²
원의 넓이는 반지름을 두 번 곱한 뒤 원주율을 곱해요.
예제 2
반지름이 10cm인 원의 둘레(원주)를 구하세요. (원주율은 3.14)
1 원주 = 2 × 원주율 × 반지름 = 2 × 3.14 × 10.
2 6.28 × 10 = 62.8이므로 62.8cm예요.
▸ 62.8cm
원주는 지름(반지름의 2배)에 원주율을 곱한 값이에요.
단원평가 유형
반지름이 4cm인 원의 넓이는 얼마일까요? (원주율은 3.14)
① 50.24cm²
② 25.12cm²
③ 12.56cm²
④ 16cm²
▸ ① 50.24cm²
1 넓이 = 원주율 × 반지름 × 반지름 = 3.14 × 4 × 4.
2 3.14 × 16 = 50.24이므로 50.24cm²예요.