저항률과 도전율

Resistivity & Conductivity

같은 전압을 걸어도 물질마다 전류가 흐르는 정도가 다른데, 이 차이를 저항률로 나타내요. 저항률이 크면 전류가 잘 흐르지 못하고, 그 역수인 도전율이 클수록 전류가 잘 흘러요. 도체는 온도가 오르면 격자 진동이 심해져 저항률이 커지지만, 반도체는 열이 자유전자를 만들어 오히려 저항률이 작아지는 반대 경향을 보여요. 슬라이더로 온도를 바꿔 가며 도체와 반도체의 저항률이 서로 반대로 움직이는 것을 확인해 봐요.

왜 물질마다 저항이 다른가

🏗️ 도로 비유

저항률 = 도로의 울퉁불퉁한 정도

①포장 도로(구리): ρ 작음 → 차(전류)가 빠르게

②비포장 도로(고무): ρ 큼 → 차가 거의 못 감

③도전율 σ = 1/ρ → 도로의 "매끄러운 정도"

온도에 따른 저항률 변화

온도 T20 °C

🔑 핵심 관찰

①도체(주황): 온도↑ → ρ↑ (격자 진동 증가 → 전자 충돌 증가)

②반도체(파랑): 온도↑ → ρ↓ (열에너지로 자유전자 생성 → n 증가)

③이 반대 경향이 NTC/PTC 소자의 원리

저항률·도전율 기본 공식

저항

R = ρl/S [Ω]

ρ: 고유저항 [Ω·m], l: 길이, S: 단면적

도전율

σ = 1/ρ [S/m]

저항률의 역수. k로 쓰기도 함

저항과 정전용량의 관계

R × C = ρε

같은 도체 형상에서 R과 C의 곱은 물질 상수 ρε로 결정된다

💡 R×C = ρε의 의미

①구, 동축, 평행판 등 어떤 형상이든 R×C = ρε 성립

②R을 알면 C를 바로 구할 수 있고, 그 반대도 가능

③시험에서 "정전용량이 C일 때 누설저항 R은?" 유형에 활용

여러 도체의 저항 공식

완전구

R = 14πka [Ω]

반지름 a인 구형 도체의 접지 저항. k = σ = 1/ρ

반구

R = 12πka [Ω]

대지 위 반구 접지극의 접지 저항 (완전구의 2배)

동심구

R = 14πk(1a - 1b) [Ω]

내경 a, 외경 b인 동심구 사이 저항

동축 케이블

R = 12πk lnba [Ω·m]

내경 a, 외경 b. 단위 길이당 절연 저항

평행 전선 사이

R = 1πk lnda [Ω·m]

선간 거리 d, 도선 반지름 a. 단위 길이당

전선과 대지 사이

R = 12πk ln2ha [Ω·m]

높이 h, 도선 반지름 a. 영상법과 연결됨

📏 공식 패턴 정리

①구 계열: 1/(4πka) 반구는 절반만 쓰니까 1/(2πka)

②원주(ln) 계열: 동축 1/(2πk)·ln(b/a), 평행 1/(πk)·ln(d/a)

③전선대지: 영상법 → 등가 거리 2h 사용 → 1/(2πk)·ln(2h/a)

④모든 공식에서 k = σ = 1/ρ → 도전율이 클수록 R이 작다

온도계수와 환산

저항률 온도 의존성

ρ_t = ρ₀(1 + αt) [Ω·m]

ρ₀: 0°C 기준, α: 온도계수 [1/°C]

온도계수 환산

α₂ = α₁1 + α₁(t₂ - t₁)

기준 온도 t₁ → t₂로 환산

저항비

R₂R₁ = 1 + α₁ t₂1 + α₁ t₁

두 온도에서의 저항비 → 온도 측정에 활용

🌡️ 저항 온도계

①백금 저항 온도계(Pt100): α가 안정적 → 정밀 온도 측정

②R₁과 R₂를 측정하면 α를 이용해 온도 역산 가능

③반도체 서미스터: NTC는 온도↑ → R↓, PTC는 온도↑ → R↑

저항률과 도전율 총정리

기본 저항

R = ρl/S

[Ω]

R×C 관계

R×C = ρε

형상 무관

완전구/반구

14πka, 12πka

접지 저항

동축 케이블

12πklnba

절연 저항

온도 의존성

ρ_t = ρ₀(1+αt)

도체 α>0

α 환산

α₁1+α₁Δt

기준온도 변환

🎯 시험 포인트

①R×C = ρε: "정전용량 C를 알 때 저항 R은?" 핵심 유형

②완전구 1/(4πka), 반구 1/(2πka): 접지 저항 계산 필수

③동축 ln(b/a), 평행전선 ln(d/a): 자연로그 형태

④전선대지 ln(2h/a): 영상법에서 유도 (4장 연결)

⑤ρ의 단위: Ω·m, σ의 단위: S/m. 단위 환산 주의

⑥도체 α > 0 (PTC), 반도체 α < 0 (NTC)

⑦구리 ρ₀ = 1.72×10⁻⁸ Ω·m, α = 0.00393/°C (핵심 수치)

📝 대표 기출문제

①[접지저항] 반지름 a=0.5m인 반구 접지극, 대지 도전율 k=0.01S/m → R = 1/(2πka) = 1/(2π×0.01×0.5) ≈ 31.8Ω

②[동축절연] 내경 1cm, 외경 3cm, k=10⁻¹² S/m → R = ln(3)/2πk [Ω·m]

③[R×C] 동축 케이블의 정전용량이 C = 2πε/ln(b/a)일 때, 절연저항 R = ρε/C로 즉시 계산

④[온도환산] 20°C에서 R=10Ω, α₂₀=0.004 → 80°C에서 R = 10×(1+0.004×60)/(1+0) 계산