전기기사 전기자기학 · 저항률과 도전율

Resistivity & Conductivity

같은 전압을 걸어도 물질마다 전류가 흐르는 정도가 다르고, 그 차이를 저항률로 나타내요. 저항률이 크면 전류가 잘 흐르지 못하고, 그 역수인 도전율이 클수록 전류가 잘 흘러요. 도체는 온도가 오르면 격자 진동이 심해져 저항률이 커지지만, 반도체는 열이 자유전자를 만들어 오히려 저항률이 작아져요. 온도 슬라이더를 움직이면 점선이 따라 옮겨 가며 주황 도체 곡선의 점은 위로, 파란 반도체 곡선의 점은 아래로 움직이고, 오른쪽 아래 상자에 두 저항률 값이 적혀요.

물질마다 저항이 다른 까닭

🏗️ 전자가 지나가는 길

①저항률은 전자가 지나가는 길이 얼마나 거친지를 나타낸다

②구리처럼 ρ 가 작은 물질에서는 전자가 쉽게 지나간다

③고무처럼 ρ 가 큰 물질에서는 전자가 거의 지나가지 못한다

④도전율 σ = 1/ρ 는 거꾸로 얼마나 잘 지나가는지를 나타내요

온도에 따른 저항률 변화

온도 T20 °C

🔑 핵심 관찰

①도체(주황)는 온도가 오르면 ρ 도 오른다. 격자 진동이 커져 전자가 더 자주 부딪히기 때문이다

②반도체(파랑)는 온도가 오르면 ρ 가 내려간다. 열에너지가 자유전자를 만들어 n 이 늘기 때문이다

③이 반대 경향이 PTC · NTC 소자의 원리예요

저항률과 도전율의 기본 공식

저항

R = ρl/S [Ω]

ρ: 고유저항 [Ω·m], l: 길이, S: 단면적

도전율

σ = 1/ρ [S/m]

저항률의 역수다. k 로 쓰기도 한다

저항과 정전용량의 관계

R × C = ρε

같은 전극 모양에서 R 과 C 의 곱은 물질 상수 ρε 로 정해진다

💡 R×C = ρε 의 뜻

①구 · 동축 · 평행판 등 어떤 모양이든 같은 전극 사이에서 R×C = ρε 가 성립한다

②그래서 R 을 알면 C 를, C 를 알면 R 을 바로 구할 수 있다

③「정전용량이 C 일 때 누설 저항 R 은?」 같은 문제에 바로 쓰여요

여러 전극 모양의 저항 공식

완전구

R = 14πka [Ω]

반지름 a 인 구형 전극의 접지 저항. k = σ = 1/ρ

반구

R = 12πka [Ω]

대지 위 반구 접지극의 접지 저항(완전구의 두 배)

동심구

R = 14πk(1a - 1b) [Ω]

안쪽 반지름 a, 바깥 반지름 b 인 동심구 사이 저항

동축 케이블

R = 12πk lnba [Ω·m]

안쪽 반지름 a, 바깥 반지름 b. 길이 1 m 기준 절연 저항(R·l)

평행 전선 사이

R = 1πk lnda [Ω·m]

선간 거리 d, 도선 반지름 a. 길이 1 m 기준

전선과 대지 사이

R = 12πk ln2ha [Ω·m]

높이 h, 도선 반지름 a. 영상법에서 나온다

📏 공식의 꼴 정리

①구 계열: 완전구는 1/(4πka) 이고, 반구는 전류가 절반 공간으로만 퍼져 1/(2πka) 다

②원통 계열은 ln 이 들어간다: 동축 1/(2πk)·ln(b/a), 평행 전선 1/(πk)·ln(d/a)

③전선과 대지 사이는 영상법으로 거리 2h 를 써서 1/(2πk)·ln(2h/a) 다

④모든 식에서 k = σ = 1/ρ 이므로 도전율이 클수록 R 이 작아요

온도계수와 환산

저항률 온도 의존성

ρ_t = ρ₀(1 + αt) [Ω·m]

ρ₀: 0°C 기준, α: 온도계수 [1/°C]

온도계수 환산

α₂ = α₁1 + α₁(t₂ - t₁)

기준 온도를 t₁ 에서 t₂ 로 바꾼다

저항비

R₂R₁ = 1 + α₁ t₂1 + α₁ t₁

두 온도의 저항비. 온도 측정에 쓴다

🌡️ 저항 온도계

①백금 저항 온도계(Pt100)는 α 가 안정해 정밀한 온도 측정에 쓴다

②두 온도에서 R₁ 과 R₂ 를 재면 α 로 온도를 거꾸로 구할 수 있다

③반도체 서미스터 가운데 NTC 는 온도가 오르면 R 이 줄고, PTC 는 R 이 늘어요

저항률과 도전율 정리

기본 저항

R = ρl/S

[Ω]

R×C 관계

R×C = ρε

모양과 무관

완전구/반구

14πka, 12πka

접지 저항

동축 케이블

12πklnba

절연 저항

온도 의존성

ρ_t = ρ₀(1+αt)

도체는 α > 0

α 환산

α₁1+α₁Δt

기준 온도 바꾸기

🎯 시험 포인트

①R×C = ρε 로 「정전용량 C 를 알 때 저항 R 은?」을 푼다

②완전구 1/(4πka), 반구 1/(2πka) 는 접지 저항 계산에 꼭 필요해요

③동축 ln(b/a), 평행 전선 ln(d/a) 는 자연로그다

④전선과 대지 사이 ln(2h/a) 는 영상법에서 나온다

⑤ρ 의 단위는 Ω·m, σ 의 단위는 S/m 이니 단위 환산을 조심한다

⑥도체는 α > 0, 반도체는 α < 0 이다

⑦구리는 ρ ≈ 1.72×10⁻⁸ Ω·m, α ≈ 0.00393/°C 를 외워 둔다

📝 대표 기출유형

①[기출유형] 반지름 a = 0.5 m 인 반구 접지극, 대지 도전율 k = 0.01 S/m 일 때 접지 저항은? (답: R = 1/(2πka) = 1/(2π × 0.01 × 0.5) ≈ 31.8 Ω)

②[기출유형] 안쪽 반지름 1 cm, 바깥 반지름 3 cm, k = 10⁻¹² S/m 인 동축 케이블의 길이 1 m 당 절연 저항은? (답: R = ln3/(2πk) ≈ 1.75×10¹¹ Ω)

③[기출유형] 동축 케이블의 정전용량이 C = 2πε/ln(b/a) 일 때 절연 저항은? (답: R = ρε/C = ρ·ln(b/a)/2π)

④[기출유형] 20°C 에서 R = 10 Ω, α₂₀ = 0.004 일 때 80°C 의 저항은? (답: R = 10 × (1 + 0.004 × 60) = 12.4 Ω)

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마지막 수정 2026-10-20

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