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전기기사 전기자기학 · 미시적 옴의 법칙

Microscopic Ohm's Law

익숙한 V = IR 을 아주 작은 부피에 적용하면 전압 자리에 전계, 전류 자리에 전류밀도가 들어가 J = σE 라는 미시적 꼴이 돼요. 물질의 전기적 성질은 도전율 σ 하나로 정해지고, 전계를 키우면 전자가 더 빨리 흐르며, 도전율이 크면 같은 전계에서도 전류밀도가 커져요. 전류가 흐르면 전자가 격자 이온과 부딪혀 열이 나는데, 이 줄열의 밀도는 p = σE² 로 전계의 제곱에 비례해요. 전계 슬라이더를 올리면 파란 전자가 빨간 E 화살표의 반대쪽으로 더 빨리 흘러가고, 도전율을 올리면 전자 수가 늘며, 줄열이 커지면 바탕이 붉어지고 아래에 p 값이 나타나요.

거시적 옴의 법칙과 미시적 옴의 법칙

🔬 거시에서 미시로
①V = IR 을 아주 작은 부피에 적용하면 V 자리에 전계 E, I 자리에 전류밀도 J, R 자리에 저항률 ρ = 1/σ 가 들어간다
②물질의 전기적 성질은 도전율 σ 가 정한다
③같은 전계라도 σ 가 큰 물질에서 J 가 커서 전류가 잘 흘러요

전계와 전자의 유동

5 V/m
3 S/m
🔑 핵심 관찰
①E 를 높이면 전자의 유동 속도가 빨라져 J 가 커진다
②σ 를 높이면 자유전자가 많아져 같은 E 에서 J 가 커진다
③전자는 E 화살표의 반대쪽, 곧 왼쪽으로 흘러간다
④J 가 크면 격자와 부딪히는 일이 잦아져 줄열(붉은 바탕)이 커져요

J = σE 이끌어 내기

미시적 옴의 법칙
J = σE [A/m²]
전류밀도 = 도전율 × 전계. 거시적 V = IR 을 미시적으로 쓴 꼴이다
도전율의 미시 구조
σ = ne²τ/m = neμe
n: 전자밀도, τ: 평균 충돌 시간, μe: 이동도
유동 속도
vd = μe · E
이동도 μe = eτ/m

줄열과 전력

전력 밀도(줄열)
p = J · E = σE² = J²/σ [W/m³]
단위 체적에서 쓰이는 전력이다
전체 줄열
P = ∫V J·E dv = I²R = V²/R [W]
미시에서 거시로: 체적 적분하면 P = I²R 이 된다
🔥 줄열의 의미
①p = σE² 이라 E 가 두 배면 줄열은 네 배다
②p = J²/σ 라서 같은 J 라면 σ 가 작은(저항이 큰) 물질에서 열이 더 난다
③가는 전선이 더 뜨거워지는 까닭은 같은 전류에서 J 가 커지기 때문이에요

미시적 옴의 법칙 정리

옴의 법칙
J = σE
미시적 꼴
도전율
σ = neμe
이동도와의 관계
줄열 밀도
p = J·E = σE²
[W/m³]
거시 줄열
P = I²R = V²/R
[W]
🎯 시험 포인트
①J = σE 에서 σ 의 단위는 S/m(지멘스 매 미터)다
②E = J/σ = ρJ 이고 ρ = 1/σ 가 저항률이다
③줄열 p = σE² = J²/σ = J·E 세 꼴이 모두 나온다
④σ = neμ_e 에서 반도체는 n 이 온도에 따라 바뀌어 σ 도 바뀌어요
⑤거시 V = IR 과 미시 E = ρJ 는 같은 법칙을 다른 크기에서 쓴 것이다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 도전율 σ = 5.8×10⁷ S/m 인 도체에 E = 0.01 V/m 가 걸릴 때 J 를 구하시오. (답: J = σE = 5.8×10⁵ A/m²)
②[기출유형] J = 10⁶ A/m², σ = 5.8×10⁷ S/m 일 때 줄열 밀도를 구하시오. (답: p = J²/σ ≈ 1.72×10⁴ W/m³ = 17.2 kW/m³)
③[기출유형] V = IR 에서 E = ρJ 를 이끌어 내시오. (답: R = ρl/A 를 넣은 V = Iρl/A 의 양변을 l 로 나누면 V/l = ρ(I/A), 곧 E = ρJ)
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저항률과 도전율

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