전기기사 전기자기학 · 자속과 자속밀도

Magnetic Flux & Vector Potential

자속밀도는 B=μH로 읽고, 이 자리에서는 닫힌 자속과 벡터 포텐셜 A를 봐요. 전기력선은 양전하에서 나와 음전하로 들어가지만, 자기력선은 시작도 끝도 없이 항상 스스로 닫힌 곡선을 그려요. 자기 모노폴이 홀로 있지 않기 때문에, 어떤 폐곡면을 잡아도 들어오는 자속과 나가는 자속이 같아서 순 자속은 언제나 0이 돼요. 가우스 폐곡면 크기와 전류를 바꾸면 순 자속이 0으로 유지되고 벡터 포텐셜이 어떻게 퍼지는지 보여요.

자기력선은 시작도 끝도 없다

♾️ 전기력선 vs 자기력선

①전기력선: +전하에서 출발 → −전하에서 끝남 (∇·E = ρ/ε₀)

②자기력선: 시작점도 끝점도 없이 항상 닫힌 곡선 (∇·B = 0)

③이유: 자기 모노폴이 존재하지 않기 때문!

자속분포의 법칙 (∇·B = 0)

가우스 폐곡면 크기3

🔑 핵심 관찰

①어떤 폐곡면을 잡아도, 들어오는 자속 = 나가는 자속

②∮B·dA = 0: 가우스 법칙의 자기 버전 (우변이 0!)

③이것이 "자기 모노폴 부재"의 수학적 표현입니다

자속분포 법칙과 벡터 포텐셜

자속분포의 법칙 (적분형)

∮ B · dA = 0

임의의 폐곡면을 관통하는 순 자속은 항상 0

자속분포의 법칙 (미분형)

∇ · B = 0

자속밀도의 발산은 항상 0: 맥스웰 방정식 중 하나

벡터 포텐셜 정의

B = ∇ × A

A: 벡터 자기 포텐셜 [Wb/m]. B는 A의 회전(curl)

⚡ 왜 벡터 포텐셜이 필요한가?

①∇·B = 0이므로 B = ∇×A로 쓸 수 있음 (벡터 항등식: ∇·(∇×A) ≡ 0)

②A를 먼저 구하면 B를 curl 한 번으로 얻을 수 있어 계산이 편리

③전위 V가 E = −∇V인 것처럼, A는 B = ∇×A: 포텐셜의 자기 버전

벡터 포텐셜 A의 방향과 분포

전류 I [A]5 A

무한 직선 전류의 벡터 포텐셜

A = (μ₀I / 2π) · ln(1/r) · ẑ [Wb/m]

A는 전류 방향(z)과 같은 방향, 크기는 ln(1/r)에 비례

💡 정전계 vs 정자계 대응 완성

①전위 V (스칼라) → E = −∇V / 자위 Vm (스칼라) → H = −∇Vm

②벡터 포텐셜 A (벡터) → B = ∇×A: 자기만의 고유한 포텐셜

③∇·D = ρ (전하 존재) vs ∇·B = 0 (자기 모노폴 부재): 핵심 차이!

시험 핵심 정리

자속분포 법칙

∇·B = 0

∮B·dA = 0

벡터 포텐셜

B = ∇ × A

A: [Wb/m]

자속

Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ

스토크스 정리 적용

포아송 방정식

∇²A = −μ₀J

A에 대한 포아송

🎯 시험 포인트

①∇·B = 0: 자기 모노폴이 없다 → 자기력선은 항상 폐곡선

②B = ∇×A: 벡터 포텐셜의 정의. 항등식 ∇·(∇×A) ≡ 0 보장

③Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ: 스토크스 정리로 연결

④∇·D = ρ vs ∇·B = 0: 정전계와 정자계의 근본적 차이

⑤A의 단위: [Wb/m] = [T·m] = [V·s/m]

📝 대표 기출문제

①[∇·B=0] 임의의 폐곡면에서 자속의 총합이 0인 이유 → 자기 모노폴 부재

②[벡터포텐셜] B = ∇×A에서 A의 단위는? → Wb/m

③[스토크스] Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ 관계식을 이용한 자속 계산