자속과 벡터 포텐셜

Magnetic Flux & Vector Potential

전기력선은 양전하에서 나와 음전하로 들어가지만, 자기력선은 시작도 끝도 없이 항상 스스로 닫힌 곡선을 그려요. 홀로 존재하는 자기 모노폴이 없기 때문에, 어떤 폐곡면을 잡아도 들어오는 자속과 나가는 자속이 같아서 순 자속은 언제나 0이 돼요. 이 성질 덕분에 자속밀도를 벡터 포텐셜의 회전으로 나타낼 수 있고, 전위가 전계를 정하듯 벡터 포텐셜이 자계를 정해요. 슬라이더로 가우스 폐곡면 크기와 전류를 바꿔 가며 순 자속이 0으로 유지되고 벡터 포텐셜이 어떻게 퍼지는지 확인해 봐요.

자기력선은 시작도 끝도 없다

♾️ 전기력선 vs 자기력선

①전기력선: +전하에서 출발 → −전하에서 끝남 (∇·E = ρ/ε₀)

②자기력선: 시작점도 끝점도 없이 항상 닫힌 곡선 (∇·B = 0)

③이유: 자기 모노폴이 존재하지 않기 때문!

자속분포의 법칙 (∇·B = 0)

가우스 폐곡면 크기3

🔑 핵심 관찰

①어떤 폐곡면을 잡아도, 들어오는 자속 = 나가는 자속

②∮B·dA = 0: 가우스 법칙의 자기 버전 (우변이 0!)

③이것이 "자기 모노폴 부재"의 수학적 표현입니다

자속분포 법칙과 벡터 포텐셜

자속분포의 법칙 (적분형)

∮ B · dA = 0

임의의 폐곡면을 관통하는 순 자속은 항상 0

자속분포의 법칙 (미분형)

∇ · B = 0

자속밀도의 발산은 항상 0: 맥스웰 방정식 중 하나

벡터 포텐셜 정의

B = ∇ × A

A: 벡터 자기 포텐셜 [Wb/m]. B는 A의 회전(curl)

⚡ 왜 벡터 포텐셜이 필요한가?

①∇·B = 0이므로 B = ∇×A로 쓸 수 있음 (벡터 항등식: ∇·(∇×A) ≡ 0)

②A를 먼저 구하면 B를 curl 한 번으로 얻을 수 있어 계산이 편리

③전위 V가 E = −∇V인 것처럼, A는 B = ∇×A: 포텐셜의 자기 버전

벡터 포텐셜 A의 방향과 분포

전류 I [A]5 A

무한 직선 전류의 벡터 포텐셜

A = (μ₀I / 2π) · ln(1/r) · ẑ [Wb/m]

A는 전류 방향(z)과 같은 방향, 크기는 ln(1/r)에 비례

💡 정전계 vs 정자계 대응 완성

①전위 V (스칼라) → E = −∇V / 자위 Vm (스칼라) → H = −∇Vm

②벡터 포텐셜 A (벡터) → B = ∇×A: 자기만의 고유한 포텐셜

③∇·D = ρ (전하 존재) vs ∇·B = 0 (자기 모노폴 부재): 핵심 차이!

시험 핵심 정리

자속분포 법칙

∇·B = 0

∮B·dA = 0

벡터 포텐셜

B = ∇ × A

A: [Wb/m]

자속

Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ

스토크스 정리 적용

포아송 방정식

∇²A = −μ₀J

A에 대한 포아송

🎯 시험 포인트

①∇·B = 0: 자기 모노폴이 없다 → 자기력선은 항상 폐곡선

②B = ∇×A: 벡터 포텐셜의 정의. 항등식 ∇·(∇×A) ≡ 0 보장

③Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ: 스토크스 정리로 연결

④∇·D = ρ vs ∇·B = 0: 정전계와 정자계의 근본적 차이

⑤A의 단위: [Wb/m] = [T·m] = [V·s/m]

📝 대표 기출문제

①[∇·B=0] 임의의 폐곡면에서 자속의 총합이 0인 이유 → 자기 모노폴 부재

②[벡터포텐셜] B = ∇×A에서 A의 단위는? → Wb/m

③[스토크스] Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ 관계식을 이용한 자속 계산