seegongsik

전기기사 전기자기학 · 자속과 자속밀도

Magnetic Flux & Vector Potential

전기력선은 양전하에서 나와 음전하로 들어가지만, 자기력선은 시작도 끝도 없이 늘 스스로 닫힌 곡선을 그려요. 자기 단극이 홀로 있지 않으니 어떤 폐곡면을 잡아도 들어오는 자속과 나가는 자속이 같아, 순 자속은 언제나 0 이에요. 이 성질 ∇·B = 0 덕분에 자속밀도를 벡터 포텐셜 A 의 회전 B = ∇×A 로 쓸 수 있고, 직선 전류의 A 는 전류와 같은 방향을 가리켜요. 폐곡면 크기 슬라이더로 막대자석을 감싼 금색 점선 타원을 키우거나 줄여도 순 자속은 0 이고, 전류 슬라이더를 올리면 아래 그림에서 보라색 A 표시가 커져요.

자기력선은 시작도 끝도 없다

♾️ 전기력선과 자기력선
①전기력선은 + 전하에서 나와 − 전하에서 끝난다(∇·E = ρ/ε₀)
②자기력선은 시작점도 끝점도 없이 늘 닫힌 곡선이다(∇·B = 0)
③자기 단극(모노폴)이 없기 때문이에요

자속 보존의 법칙(∇·B = 0)

3
🔑 핵심 관찰
①막대자석 바깥에서는 자기력선이 N 에서 나와 S 로 들어가고, 자석 안에서는 S 에서 N 으로 이어져 닫힌다
②그래서 어떤 폐곡면을 잡아도 들어오는 자속과 나가는 자속이 같다
③∮B·dA = 0 은 가우스 법칙의 자기판으로, 우변이 0 이라는 점이 자기 단극이 없다는 뜻이에요

자속 보존의 법칙과 벡터 포텐셜

자속 보존의 법칙(적분형)
∮ B · dA = 0
어떤 폐곡면을 뚫는 순 자속도 늘 0 이다
자속 보존의 법칙(미분형)
∇ · B = 0
자속밀도의 발산은 늘 0 이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다
벡터 포텐셜 정의
B = ∇ × A
A: 벡터 자기 포텐셜 [Wb/m]. B 는 A 의 회전(curl)이다
⚡ 벡터 포텐셜이 필요한 까닭
①∇·B = 0 이므로 B = ∇×A 로 쓸 수 있다(항등식 ∇·(∇×A) ≡ 0)
②A 를 먼저 구하면 회전 한 번으로 B 가 나와 계산이 편하다
③전계를 전위로 E = −∇V 라 쓰듯, 자속밀도는 B = ∇×A 로 쓰는 자기의 포텐셜이에요

벡터 포텐셜 A 의 방향과 분포

5 A
무한 직선 전류의 벡터 포텐셜
A = (μ₀I / 2π) · ln(1/r) · ẑ [Wb/m]
A 는 전류와 같은 z 방향이고, 크기는 ln(1/r) 에 비례한다
💡 정전계와 정자계의 대응
①전위 V(스칼라)에서 E = −∇V, 자위 Vm(스칼라)에서 H = −∇Vm 이다
②벡터 포텐셜 A(벡터)에서 B = ∇×A 이고, 이것은 자기에만 있는 포텐셜이다
③∇·D = ρ(전하가 있음)와 ∇·B = 0(단극이 없음)이 두 세계의 가장 큰 차이예요

시험 핵심 정리

자속 보존의 법칙
∇·B = 0
∮B·dA = 0
벡터 포텐셜
B = ∇ × A
A: [Wb/m]
자속
Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ
스토크스 정리를 쓴다
푸아송 방정식
∇²A = −μ₀J
A 에 대한 푸아송 방정식
🎯 시험 포인트
①∇·B = 0 은 자기 단극이 없다는 뜻이고, 그래서 자기력선은 늘 닫힌 곡선이다
②B = ∇×A 는 벡터 포텐셜의 정의로, 항등식 ∇·(∇×A) ≡ 0 이 이를 뒷받침한다
③Φ = ∫B·dA = ∮A·dℓ 은 스토크스 정리로 이어진다
④∇·D = ρ 와 ∇·B = 0 의 차이가 정전계와 정자계를 가르는 핵심이에요
⑤A 의 단위는 [Wb/m] = [T·m] = [V·s/m] 이다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 어떤 폐곡면에서도 자속의 총합이 0 인 까닭은? (답: 자기 단극이 없기 때문)
②[기출유형] B = ∇×A 에서 A 의 단위는? (답: Wb/m)
③[기출유형] 닫힌 경로를 따른 A 의 선적분은 무엇과 같은가? (답: 그 경로를 테두리로 하는 면을 지나는 자속 Φ = ∮A·dℓ)
← 이전
앙페르 주회적분 법칙
다음 →
전류에 작용하는 힘

마지막 수정