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전기기사 전기자기학 · 앙페르 주회적분 법칙

Ampere's Circuital Law

전류가 만드는 자계를 토막마다 더해 구하지 않아도, 자계를 따라 닫힌 경로를 한 바퀴 돌면 그 안을 지나는 전류를 곧바로 알 수 있어요. 앙페르 법칙은 닫힌 경로를 따라 자계를 적분한 값이 그 경로를 꿰뚫는 전체 전류와 같다는 법칙이에요. 경로를 크게 잡든 작게 잡든 꿰뚫는 전류만 같으면 적분값은 그대로라서, 대칭이 좋은 직선 전류 · 솔레노이드 · 토로이드에서 특히 쉽게 풀려요. 전류와 경로 반지름 슬라이더를 움직이면 금색 점선 경로 위 초록 H 화살표의 길이가 바뀌어도 위쪽 ∮H·dℓ 값은 전류만 따르고, 아래 그림에서는 솔레노이드와 토로이드를 단추로 오갈 수 있어요.

자계를 한 바퀴 돌면 전류가 보인다

🔄 앙페르 법칙의 핵심
①비오-사바르 법칙은 전류 토막이 만드는 자계를 모두 더해(적분해) 자계를 구한다
②앙페르 법칙은 거꾸로 자계를 닫힌 경로로 한 바퀴 적분하면 꿰뚫는 전류와 같다는 관계다
③대칭이 좋은 문제에서는 비오-사바르보다 훨씬 간단해요

앙페르 법칙 그림

5 A
3 m
🔑 핵심 관찰
①가운데 ⊙ 는 화면 밖으로 흐르는 전류이고, 초록 H 화살표는 경로를 따라 반시계로 돈다
②경로 C 위의 H 를 한 바퀴 적분하면 꿰뚫는 전류 I 와 정확히 같다
③반지름 r 을 바꾸면 H = I/(2πr) 는 바뀌지만 경로 길이도 함께 바뀌어, 적분값 ∮H·dℓ = I 는 그대로예요

앙페르 주회적분 법칙

앙페르 주회적분 법칙(적분형)
∮ H · dℓ = I (= ΣIenclosed)
닫힌 경로 C 를 따라 H 를 선적분한 값 = 경로를 꿰뚫는 전체 전류
앙페르 법칙(미분형 = 회전)
∇ × H = J [A/m²]
자계의 회전(curl)은 전류밀도 J 와 같다
⚡ 적분형과 미분형
①적분형 ∮H·dℓ = I 는 대칭인 문제에 바로 쓴다
②미분형 ∇×H = J 는 스토크스 정리로 적분형과 이어진다
③∮H·dℓ = ∫∫(∇×H)·dA = ∫∫J·dA = I 로, 같은 법칙을 두 꼴로 쓴 것이에요

적용: 솔레노이드와 토로이드

10 회
솔레노이드 내부 자계
H = nI = (N/ℓ)·I [A/m]
n: 단위 길이당 감은 수 [회/m]. 안쪽은 고르고 바깥은 거의 0 이다
💡 솔레노이드와 토로이드
①솔레노이드는 곧게 감은 코일로, 안쪽이 고른 자계 H = nI 이고 바깥은 거의 0 이다
②토로이드는 도넛 모양으로 감은 코일로, 자계는 안쪽에만 있고 H = NI/(2πr) 다
③둘 다 앙페르 법칙으로는 한 줄에 풀리지만 비오-사바르로 풀면 매우 복잡해요

시험 핵심 정리

적분형
∮H·dℓ = I
닫힌 경로 적분
미분형
∇×H = J
자계의 회전
솔레노이드
H = nI
n = N/ℓ
토로이드
H = NI/(2πr)
안쪽에만 자계
🎯 시험 포인트
①∮H·dℓ = I 의 I 는 경로를 꿰뚫는 전체 전류이고, 방향을 따져 더한다
②미분형 ∇×H = J 는 curl H 가 전류밀도라는 뜻이다
③솔레노이드는 H = nI(안쪽 고름), n = N/ℓ [회/m] 이다
④토로이드는 H = NI/(2πr), 바깥 H = 0 이다(누설 자속 무시)
⑤대칭이 있을 때는 앙페르 법칙을, 대칭이 없을 때는 비오-사바르 법칙을 쓰면 돼요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 단위 길이당 1000 회 감은 무한장 솔레노이드에 2 A 가 흐를 때 안쪽 자계는? (답: H = nI = 1000 × 2 = 2000 AT/m)
②[기출유형] N = 500 회, I = 3 A, 평균 반지름 r = 0.1 m 인 환상 솔레노이드의 자계는? (답: H = NI/(2πr) = 1500/(2π × 0.1) ≈ 2387 AT/m)
③[기출유형] 반지름 5 cm 인 원형 경로 안을 모두 10 A 가 지날 때 ∮H·dℓ 은? (답: 10 A)
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