전기기사 전기자기학 · 앙페르 주회적분 법칙

Ampere's Circuital Law

전류가 만드는 자계를 조각마다 더해 구하지 않아도, 자계를 따라 폐곡선을 한 바퀴 돌면 그 안을 지나는 전류가 곧바로 보여요. 앙페르 법칙에 따르면 폐경로를 따라 자계를 적분한 값은 그 경로를 관통하는 전체 전류와 같아요. 경로를 크게 잡든 작게 잡든 관통 전류만 같으면 적분값은 그대로라서, 대칭이 좋은 솔레노이드나 토로이드에서 특히 간단히 풀려요. 전류와 경로 반지름 슬라이더를 바꾸고 솔레노이드와 토로이드를 오가며, 자계가 어떻게 정해지는지 확인해 봐요.

자계를 한 바퀴 돌면 전류가 보인다

🔄 앙페르 법칙의 본질

①비오-사바르: 전류 → 자계 (미분 → 적분으로 구함)

②앙페르 법칙: 자계를 폐경로로 한 바퀴 적분 → 관통 전류와 같다!

③대칭성이 좋은 문제에서 비오-사바르보다 훨씬 간편합니다

앙페르 법칙 시각화

전류 I [A]5 A

폐경로 반지름 r [m]3 m

🔑 핵심 관찰

①폐경로 C 위의 H를 한 바퀴 적분하면 정확히 관통 전류 I와 같습니다

②경로 크기(r)를 바꿔도 ∮H·dℓ = I는 변하지 않습니다!

③H 자체는 r에 따라 변하지만, 경로적분의 총합은 항상 I

앙페르 주회적분 법칙

앙페르 주회적분 법칙 (적분형)

∮ H · dℓ = I (= ΣI_enclosed)

폐경로 C를 따라 H를 선적분한 값 = 경로를 관통하는 총 전류

앙페르 법칙 (미분형 = 벡터의 회전)

∇ × H = J [A/m²]

curl H = 전류밀도 J: 자계의 회전(curl)은 전류밀도와 같다

⚡ 적분형 ↔ 미분형

①적분형: ∮H·dℓ = I. 대칭적인 문제에 직접 사용

②미분형: ∇×H = J. 스토크스 정리로 연결됨

③∮H·dℓ = ∫∫(∇×H)·dA = ∫∫J·dA = I: 동일한 법칙의 두 표현

적용: 솔레노이드와 토로이드

감은 횟수 N10 turns

솔레노이드 내부 자계

H = nI = (N/ℓ)·I [A/m]

n: 단위길이당 감은 수 [turns/m], 내부 균일, 외부 ≈ 0

💡 솔레노이드 vs 토로이드

①솔레노이드: 내부 균일 자계 H = nI, 외부 ≈ 0. "곧은 코일"

②토로이드: 내부만 H 존재, H = NI/(2πr) "도넛 코일"

③둘 다 앙페르 법칙으로 간단히 풀림 (비오-사바르로는 매우 복잡)

시험 핵심 정리

적분형

∮H·dℓ = I

폐경로 적분

미분형

∇×H = J

벡터의 회전

솔레노이드

H = nI

n = N/ℓ

토로이드

H = NI/(2πr)

내부만 자계

🎯 시험 포인트

①∮H·dℓ = I: 폐경로를 관통하는 총 전류(방향 고려!)

②미분형 ∇×H = J: curl H는 전류밀도

③솔레노이드: H = nI (내부 균일), n = N/ℓ [turns/m]

④토로이드: H = NI/(2πr), 외부 H = 0 (누설자속 무시)

⑤앙페르 법칙은 대칭성 있을 때 사용: 비대칭이면 비오-사바르 사용

📝 대표 기출문제

①[무한솔레노이드] 단위 길이당 1000회, 2A → H = nI = 1000×2 = 2000 AT/m

②[환상솔레노이드] N=500회, I=3A, 평균반지름 r=0.1m → H = NI/(2πr) = 500×3/(2π×0.1) ≈ 2387 AT/m

③[앙페르법칙] 반지름 5cm인 원형 경로 내에 총 10A 통과 → ∮H·dℓ = 10A