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전기기사 전기자기학 · 비오-사바르 법칙

Biot-Savart Law

전류가 흐르면 그 둘레에는 반드시 자계가 생겨요. 1820년 외르스테드가 전류가 흐르는 도선 옆에서 나침반 바늘이 돌아가는 것을 본 일이 전류와 자계를 잇는 출발점이었어요. 비오-사바르 법칙은 전류의 아주 작은 한 토막 Idℓ 이 만드는 자계 dH 를 구하는 식으로, dH 는 전류에 비례하고 거리의 제곱에 반비례해요. 첫 그림에서 전류와 거리 슬라이더를 움직이면 관측점 P 의 ⊙ 원 크기와 아래 dH 값이 바뀌고, 둘째 그림의 두 단추로 직선 전류와 원형 전류의 H 를 견줄 수 있어요.

전류가 만드는 자계

⚡ 외르스테드의 발견
①1820년 외르스테드는 전류가 흐르는 도선 옆에서 나침반이 움직이는 것을 보았다
②전류가 자계를 만든다는 이 발견이 전기와 자기를 잇는 고리가 되었다
③비오-사바르 법칙은 전류의 작은 토막 하나가 만드는 자계를 정확히 계산하는 식이에요

비오-사바르 법칙 그림

5 A
2 m
🔑 핵심 관찰
①아래로 흐르는 전류의 토막 Idℓ 이 거리 r 떨어진 점 P 에 dH 를 만든다
②dH 의 방향은 Idℓ × r̂ 라서 전류와 r 모두에 수직이고, 이 그림에서는 화면 밖(⊙)을 향한다
③dH ∝ I/r² 이라 전류에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하며, 거리 슬라이더를 키우면 ⊙ 원이 빠르게 작아져요

비오-사바르 법칙 식

비오-사바르 법칙
dH = (Idℓ × r̂) / (4πr²) [A/m]
I: 전류 [A], dℓ: 미소 길이 벡터, r: 전류 토막에서 관측점까지 거리, r̂: 그 방향 단위벡터
크기만 셈하기
|dH| = I·dℓ·sinα / (4πr²)
α: Idℓ 과 r 사이 각. α = 90° 일 때 가장 크다
⚡ 적분으로 전체 자계 구하기
①dH 는 토막 하나의 몫이라 전체 자계는 도선 전체를 따라 적분해 구한다
②H = ∮(Idℓ × r̂)/(4πr²) 을 도체 모양마다 적분한다
③직선 전류 · 원형 전류 · 솔레노이드의 결과가 대표적이에요

대표 적용: 직선 전류와 원형 전류

2 m
무한 직선 전류의 자계
H = I / (2πr) [A/m]
r: 도선까지 수직 거리. 자계는 도선을 감싸는 동심원을 따라 돈다
💡 결과 견주기
①무한 직선 전류는 H = I/(2πr) 로 거리에 반비례한다. 그림처럼 도선을 단면(⊙)으로 보면 자계가 동심원을 따라 반시계로 돈다
②원형 전류 중심은 H = I/(2a) 로 반지름에 반비례하고, 방향은 코일 면에 수직인 축 방향이다
③원형 전류의 축 위에서는 H = Ia²/[2(a² + x²)^(3/2)] 이고 x 는 중심에서의 거리예요

시험 핵심 정리

비오-사바르
dH = Idℓsinα/(4πr²)
기본 법칙
직선 전류
H = I/(2πr)
무한 직선
원형 중심
H = I/(2a)
코일 중심
원형 전류 축 위
H = Ia²/2(a²+x²)3/2
중심축 위 거리 x
🎯 시험 포인트
①dH 의 방향은 Idℓ × r̂(오른나사 법칙)다
②무한 직선 전류 H = I/(2πr) 가 가장 자주 나와요
③원형 전류 중심은 2πr 이 아니라 H = I/(2a) 라는 점을 조심한다
④원형 전류 축 위 식에 x = 0 을 넣으면 중심 식 H = I/(2a) 가 된다
⑤유한 직선은 H = I(cosα₁ − cosα₂)/(4πr) 로 양 끝 각에 따라 정해진다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 10 A 가 흐르는 무한 직선에서 5 cm 떨어진 점의 자계는? (답: H = I/(2πr) = 10/(2π × 0.05) ≈ 31.8 AT/m)
②[기출유형] 반지름 20 cm 원형 코일에 5 A 가 흐를 때 중심 자계는? (답: H = I/(2a) = 5/(2 × 0.2) = 12.5 AT/m)
③[기출유형] 반지름 a = 10 cm 코일의 중심에서 x = 10 cm 떨어진 축 위 자계는? (답: H = Ia²/[2(a² + x²)^(3/2)] = I × 0.01 / (2 × 0.02^(3/2)) ≈ 1.77I AT/m)
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