전계의 에너지

Electrostatic Energy

콘덴서를 충전하면 전기 에너지가 전계의 형태로 공간에 저장돼요. Q-V 그래프에서 전하와 전압이 그리는 삼각형의 넓이가 바로 저장된 에너지이고, 그래서 W는 전압의 제곱에 비례해 전압을 조금만 올려도 에너지가 크게 늘어나요. 에너지는 콘덴서 판 사이 한 점이 아니라 전계가 퍼져 있는 공간 전체에 밀도로 분포하고, 유전체를 넣으면 같은 전계에서도 더 많은 에너지를 담을 수 있어요. 슬라이더로 전압과 정전용량을 바꿔 삼각형 넓이와 저장 에너지가 어떻게 달라지는지 확인해 봐요.

콘덴서에 저장된 에너지

전압 V100 V

정전용량 C50 pF

🔍 상황: Q-V 그래프와 에너지

①콘덴서를 충전하면 전계에 에너지가 저장된다.

②Q-V 그래프에서 삼각형 면적 = 저장 에너지.

③V를 높이면 에너지가 V²에 비례하여 급증한다.

④C를 키우면 같은 V에서 더 많은 에너지 저장.

에너지 공식 3가지

핵심 공식

W = 12CV² = Q²2C = 12QV

3가지 형태 모두 암기 필수

💡 세 공식의 사용처

①½CV²: V(전압)가 주어질 때 편리

②½Q²/C: Q(전하)가 주어지고 유전체를 변경할 때 편리

③½QV: 둘 다 알 때 바로 계산

④시험에서는 문제 조건에 따라 적절한 공식 선택이 핵심!

에너지 밀도

비유전율 εr3

전계 E2 V/m

에너지 밀도

w = 12εE² = 12DE = D²2ε

단위: [J/m³] | 공간의 매 점에 저장된 에너지

🎓 에너지 밀도의 물리적 의미

①전계가 존재하는 공간 자체에 에너지가 분포해 있다.

②ε가 큰 유전체일수록 같은 E에서 더 많은 에너지 저장.

③전체 에너지 W = ∫∫∫ w dv (체적 적분)

④균일 전계이면 W = w × 체적으로 간단히 계산.

유전체 삽입과 에너지 변화

V 일정 (전압원 연결)

W = ½εrC₀V² = εr·W₀

에너지 εr배 증가 (전압원이 추가 에너지 공급)

Q 일정 (전압원 분리)

W = Q²2ε_r C₀ = W₀ε_r

에너지 1/εr배 감소 (유전체가 흡수)

⚡ 중요: V 일정 vs Q 일정

①V 일정: 전압원에 연결된 상태 → 유전체 삽입하면 에너지 증가

②Q 일정: 충전 후 분리된 상태 → 유전체 삽입하면 에너지 감소

③두 경우 결과가 정반대! → 시험 빈출

④문제에서 "전압원 연결" vs "충전 후 분리" 조건을 반드시 확인!

전계의 에너지 총정리

총 에너지

W = 12CV²

½Q²/C = ½QV

에너지 밀도

w = 12εE²

[J/m³]

V 일정

W = εr·W₀

에너지 증가

Q 일정

W = W₀ε_r

에너지 감소

🎯 시험 포인트

①W = ½CV² = ½Q²/C = ½QV 세 형태 모두 암기

②에너지 밀도 w = ½εE² = ½D·E = ½D²/ε

③V 일정 → εr배 증가, Q 일정 → 1/εr배 감소 (빈출!)

④체적 적분 W = ∫ w dv: 비균일 전계에서 필요

⑤단위 확인: W [J], w [J/m³], C [F], Q [C], V [V]

📝 대표 기출문제

①[기출유형] C=10μF, V=100V 콘덴서의 정전에너지를 구하시오. (답: W=½CV²=0.05J)

②[기출유형] V 일정 조건에서 유전체(εr=3) 삽입 시 에너지 변화를 구하시오. (답: 3배 증가)

③[기출유형] E=1000V/m, ε=5ε₀인 공간의 에너지 밀도를 구하시오. (답: w=½εE²=½×5×8.854×10⁻¹²×10⁶)