전기기사 전기자기학 · 유전체 사이의 힘

Force in Dielectrics

도체 표면에 모인 전하들은 서로 밀어내서 표면에 수직으로 바깥을 향하는 힘을 받는데, 이 힘을 정전 응력이라고 불러요. 힘을 직접 구하기 어려울 때는 정전에너지를 거리로 미분해 얻는데, 힘은 언제나 C가 커지는 쪽이지만 저장 에너지의 증감은 V일정과 Q일정이 반대예요. V일정(전원 연결)이면 전원이 일을 해 주어 공에너지가 늘고, Q일정(고립)이면 같은 변위에서 저장 에너지가 줄어들어요. 표면전하밀도와 비유전율을 바꾸면 힘의 크기와 유전체가 끌려가는 방향이 보여요.

도체 표면에 작용하는 힘

표면전하밀도 σ3 C/m²

도체 표면 힘 (정전 응력)

f = σ²2ε = 12εE²

단위: [N/m²] = [Pa] | 표면에 수직, 바깥쪽 방향

🔍 직관: 전하가 많을수록 힘이 커진다

①도체 표면의 전하는 서로 밀어내는 힘을 받는다.

②이 힘은 표면에 수직으로, 항상 바깥쪽을 향한다.

③σ가 클수록 (σ²에 비례) 힘이 급격히 커진다.

④이 힘을 정전 응력(electrostatic stress)이라 한다.

에너지법으로 힘 구하기

가상변위법

F = -dW/dx

에너지가 감소하는 방향으로 힘 작용

💡 에너지법 적용 순서

①용량 C를 변수 x의 함수로 표현 (C(x))

②W = ½CV² 또는 W = ½Q²/C 로 에너지 표현

③힘은 C 증가 방향. 에너지 증감만 V/Q에 따라 갈린다.

④V 일정: F = ½V²(dC/dx), 전원이 일을 해 저장 에너지는 증가

⑤Q 일정: F = +½(Q²/C²)(dC/dx), 저장 에너지는 감소

V 일정 시 힘

F = 12V² dCdx

전압원 연결 상태

Q 일정 시 힘

F = -Q²2C² dCdx

충전 후 분리 상태

유전체에 작용하는 힘

비유전율 εr4

극판 간격2 mm

⚡ 유전체는 전계 속으로 빨려들어간다

①콘덴서 사이에 유전체를 반쪽만 넣으면 C가 커지는 쪽으로 힘이 생긴다.

②V일정: 전원이 전하를 더 넣어 주어 저장 에너지는 늘어난다.

③Q일정: 같은 변위에서 저장 에너지는 줄어든다.

④힘의 방향은 둘 다 C 증가(안으로 흡입). 에너지 증감만 반대.

⑤εr이 클수록 흡입력이 더 세다.

콘덴서 극판 사이의 힘

평행판 인력

F = εAV²2d²

V 일정 시, 극판을 당기는 힘

📐 유도 과정

①C = εA/d → dC/dd = -εA/d²

②F = ½V²|dC/dd| = εAV²/(2d²)

③힘의 방향: 극판 간격을 줄이는 방향 (인력)

④V²에 비례, d²에 반비례: 간격이 좁을수록 힘이 급증

유전체 사이의 힘 총정리

표면 응력

f = σ²2ε

[N/m²]

가상변위법

F = -dW/dx

에너지 미분

V 일정

F = 12V² dCdx

C 증가 방향

평행판 인력

F = εAV²2d²

극판 당기는 힘

🎯 시험 포인트

①도체 표면 힘 f = σ²/(2ε) = ½εE² = ½D·E (항상 바깥쪽)

②가상변위법: V 일정 vs Q 일정 구별 필수

③유전체는 전계가 강한 쪽으로 빨려들어간다

④평행판: F ∝ V²/d². 간격 반으로 줄이면 힘 4배

⑤단위: f [N/m²], F [N], W [J], C [F]

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 표면전하밀도 σ=10μC/m²인 도체 표면의 정전응력을 구하시오. (답: f=σ²/2ε₀)

②[기출유형] 평행판 콘덴서(면적 S, 간격 d, 전압 V)의 극판 인력을 구하시오. (답: F=ε₀SV²/2d²)

③[기출유형] V 일정 조건에서 유전체를 반쪽 삽입하면 어느 방향으로 힘이 작용하는가? (답: 삽입 방향, C 증가 방향)