유전체 사이의 힘

Force in Dielectrics

도체 표면에 모인 전하들은 서로 밀어내서 표면에 수직으로 바깥을 향하는 힘을 받는데, 이 힘을 정전 응력이라고 불러요. 힘을 직접 구하기 어려울 때는 에너지가 줄어드는 방향으로 힘이 작용한다는 원리를 써서, 정전에너지를 거리로 미분해 힘을 얻어요. 같은 원리로 콘덴서에 유전체를 반쯤 넣으면 그쪽 용량이 커지며 에너지가 줄어들기 때문에, 유전체는 전계가 강한 안쪽으로 빨려들어가고 비유전율이 클수록 그 힘이 세져요. 슬라이더로 표면전하밀도와 비유전율을 바꿔 가며 힘의 크기와 유전체가 끌려가는 방향을 확인해 봐요.

도체 표면에 작용하는 힘

표면전하밀도 σ3 C/m²

도체 표면 힘 (정전 응력)

f = σ²2ε = 12εE²

단위: [N/m²] = [Pa] | 표면에 수직, 바깥쪽 방향

🔍 직관: 전하가 많을수록 힘이 커진다

①도체 표면의 전하는 서로 밀어내는 힘을 받는다.

②이 힘은 표면에 수직으로, 항상 바깥쪽을 향한다.

③σ가 클수록 (σ²에 비례) 힘이 급격히 커진다.

④이 힘을 정전 응력(electrostatic stress)이라 한다.

에너지법으로 힘 구하기

가상변위법

F = -dW/dx

에너지가 감소하는 방향으로 힘 작용

💡 에너지법 적용 순서

①용량 C를 변수 x의 함수로 표현 (C(x))

②W = ½CV² 또는 W = ½Q²/C 로 에너지 표현

③F = -dW/dx 미분하여 힘 계산

④V 일정: F = ½V²(dC/dx) → C 증가 방향으로 힘

⑤Q 일정: F = -½Q²/C²(dC/dx) → 역시 C 증가 방향

V 일정 시 힘

F = 12V² dCdx

전압원 연결 상태

Q 일정 시 힘

F = -Q²2C² dCdx

충전 후 분리 상태

유전체에 작용하는 힘

비유전율 εr4

극판 간격2 mm

⚡ 유전체는 전계 속으로 빨려들어간다

①콘덴서 사이에 유전체를 반쪽만 넣으면...

②유전체가 들어간 부분은 C가 커지고, 전체 에너지가 감소.

③에너지 감소 방향 = 유전체가 더 들어가는 방향

④따라서 유전체는 전계가 강한 쪽으로 빨려들어간다!

⑤εr이 클수록 흡입력이 더 세다.

콘덴서 극판 사이의 힘

평행판 인력

F = εAV²2d²

V 일정 시, 극판을 당기는 힘

📐 유도 과정

①C = εA/d → dC/dd = -εA/d²

②F = ½V²|dC/dd| = εAV²/(2d²)

③힘의 방향: 극판 간격을 줄이는 방향 (인력)

④V²에 비례, d²에 반비례: 간격이 좁을수록 힘이 급증

유전체 사이의 힘 총정리

표면 응력

f = σ²2ε

[N/m²]

가상변위법

F = -dW/dx

에너지 미분

V 일정

F = 12V² dCdx

C 증가 방향

평행판 인력

F = εAV²2d²

극판 당기는 힘

🎯 시험 포인트

①도체 표면 힘 f = σ²/(2ε) = ½εE² = ½D·E (항상 바깥쪽)

②가상변위법: V 일정 vs Q 일정 구별 필수

③유전체는 전계가 강한 쪽으로 빨려들어간다

④평행판: F ∝ V²/d². 간격 반으로 줄이면 힘 4배

⑤단위: f [N/m²], F [N], W [J], C [F]

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 표면전하밀도 σ=10μC/m²인 도체 표면의 정전응력을 구하시오. (답: f=σ²/2ε₀)

②[기출유형] 평행판 콘덴서(면적 S, 간격 d, 전압 V)의 극판 인력을 구하시오. (답: F=ε₀SV²/2d²)

③[기출유형] V 일정 조건에서 유전체를 반쪽 삽입하면 어느 방향으로 힘이 작용하는가? (답: 삽입 방향, C 증가 방향)