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전기기사 전기자기학 · 유전체 사이의 힘

Force in Dielectrics

도체 표면에 모인 전하는 서로 밀어내어 표면에 수직인 바깥 방향의 힘을 받는데, 이를 정전 응력이라 해요. 힘을 바로 구하기 어려우면 정전에너지를 변위로 미분해 얻고, 힘은 늘 C 가 커지는 쪽이지만 저장 에너지가 느는지 주는지는 V 일정과 Q 일정이 반대예요. V 일정(전원 연결)이면 전원이 일을 해 주어 저장 에너지가 늘고, Q 일정(고립)이면 같은 변위에서 저장 에너지가 줄어요. 표면 전하밀도 슬라이더를 올리면 도체 위 빨간 힘 화살표가 σ² 에 비례해 길어지고, 비유전율을 올리면 둘째 그림에서 유전체를 진공 쪽으로 넓히려는 초록 화살표가 길어져요.

도체 표면에 걸리는 힘

3 C/m²
도체 표면의 힘(정전 응력)
f = σ22ε = 12εE2
단위는 [N/m²] = [Pa]. 표면에 수직, 바깥 방향이다
🔍 전하가 많을수록 힘이 세다
①도체 표면의 전하는 서로 밀어내는 힘을 받는다
②이 힘은 늘 표면에 수직인 바깥 방향이다
③σ 에 제곱으로 비례하므로 σ 를 두 배로 하면 힘은 네 배가 된다
④이 힘을 정전 응력이라 해요

에너지로 힘 구하기

가상변위법
F = -dW/dx
Q 일정이면 저장 에너지가 줄어드는 쪽으로 힘이 걸린다. V 일정은 전원이 일을 한다
💡 에너지법을 쓰는 순서
①정전용량을 변위 x 의 함수 C(x) 로 쓴다
②W = ½CV² 또는 W = Q²/2C 로 에너지를 쓴다
③힘은 늘 C 가 커지는 쪽이고, 에너지가 느는지 주는지만 조건에 따라 갈린다
④V 일정: F = ½V²(dC/dx) 이고 전원이 일을 해 저장 에너지는 는다
⑤Q 일정: F = +½(Q²/C²)(dC/dx) 이고 저장 에너지는 줄어요
V 일정 시 힘
F = 12V2 dCdx
전원에 이어 둔 상태
Q 일정 시 힘
F = Q22C2 dCdx
충전한 뒤 떼어 낸 상태

유전체에 걸리는 힘

4
2 mm
⚡ 유전체는 전계 속으로 끌려 들어간다
①극판 사이 일부를 유전체로 채우면, 유전체 경계면에 유전체를 진공 쪽으로 넓히려는 힘이 걸린다. 그만큼 C 가 커지기 때문이다
②V 일정: 전원이 전하를 더 보내 저장 에너지는 는다
③Q 일정: 같은 변위에서 저장 에너지는 준다
④힘의 방향은 두 조건 모두 C 가 커지는 쪽이고, 에너지가 느는지 주는지만 반대다
⑤εr 이 클수록 끌어당기는 힘이 세요

콘덴서 극판 사이의 힘

평행판 인력
F = εAV22d2
V 일정일 때 두 극판이 서로 당기는 힘이다
📐 유도 과정
①C = εA/d 이므로 dC/dd = −εA/d² 이다
②F = ½V²|dC/dd| = εAV²/(2d²) 이다
③힘은 간격을 줄이는 쪽, 곧 인력이다
④V² 에 비례하고 d² 에 반비례해 간격이 좁을수록 빠르게 세져요

유전체 사이의 힘 정리

표면 응력
f = σ22ε
[N/m²]
가상변위법
F = -dW/dx
에너지를 변위로 미분한다
V 일정
F = 12V2 dCdx
C 가 커지는 쪽
평행판 인력
F = εAV22d2
극판을 당기는 힘
🎯 시험 포인트
①도체 표면의 힘 f = σ²/2ε = ½εE² = ½D·E 는 늘 바깥 방향이다
②가상변위법에서는 V 일정이면 F = +∂W/∂x, Q 일정이면 F = −∂W/∂x 로 부호가 달라요
③유전체는 전계가 센 쪽으로 끌려 들어간다
④평행판 인력은 F ∝ V²/d² 라서 간격을 반으로 줄이면 힘이 네 배가 된다
⑤단위는 f [N/m²], F [N], W [J], C [F] 다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 표면 전하밀도 σ = 10 μC/m² 인 도체 표면의 정전 응력을 구하시오. (답: f = σ²/2ε₀ = (10⁻⁵)² / (2 × 8.854×10⁻¹²) ≈ 5.65 N/m²)
②[기출유형] 면적 S, 간격 d, 전압 V 인 평행판 콘덴서의 극판 인력을 구하시오. (답: F = ε₀SV²/2d²)
③[기출유형] V 일정 조건에서 유전체를 반쯤 넣으면 어느 쪽으로 힘이 걸리는가? (답: 유전체가 더 들어가는 쪽, 곧 C 가 커지는 쪽)
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