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전기기사 전기자기학 · 경계조건과 굴절

Boundary Conditions & Refraction

유전율이 다른 두 물질이 맞닿은 경계면을 지나면 전기력선이 방향을 바꿔요. 빛이 물로 들어갈 때 꺾이는 것과 닮았지만, 여기서는 경계면에 나란한 성분 Et 와 수직인 성분 Dn 이 양쪽에서 그대로 이어진다는 두 규칙이 핵심이에요. 두 규칙을 합치면 굴절 법칙 tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂ 가 나오고, 빛처럼 sin 의 비가 아니라 tan 의 비라는 점이 자주 시험에 나와요. 입사각과 ε₁ · ε₂ 슬라이더를 움직이면 파란 입사 전기력선과 초록 굴절 전기력선의 각이 바뀌고, 유전율이 큰 쪽으로 들어갈수록 법선에서 멀어지게 꺾여요.

두 유전체가 만나면

🔍 서로 다른 유전체의 경계면
①유전율이 다른 두 물질이 맞닿아 있다(예: 공기와 유리)
②전기력선이 경계면을 지나면서 방향이 꺾인다
③그림에서 위쪽 파란 선이 영역 1, 아래쪽 초록 선이 영역 2 의 전기력선이다
④경계면에서 E 와 D 가 따르는 규칙 두 가지로 이 꺾임을 설명해요

E 의 접선 성분은 이어진다

30°
E의 접선 성분
Et1 = Et2
경계면에 나란한 E 성분은 양쪽이 같다
💡 Et 가 이어지는 까닭
①경계면을 걸치는 아주 얇은 직사각형 경로를 잡는다
②정전계는 보존장이라 ∮E·dl = 0 이다
③높이를 0 으로 줄이면 Et1·Δl − Et2·Δl = 0 만 남는다
④그래서 Et1 = Et2 이고, 그림의 금색 점선 두 개가 같은 길이로 그려져요

D 의 법선 성분은 이어진다

2ε₀
5ε₀
D의 법선 성분
Dn1 = Dn2
경계면에 수직인 D 성분은 양쪽이 같다(표면에 자유전하가 없을 때)
💡 Dn 이 이어지는 까닭
①경계면에 아주 얇은 원통 가우스면을 씌운다
②∮D·dA = Q자유 에서 경계면에 자유전하가 없으면 Q = 0 이다
③Dn1·ΔA − Dn2·ΔA = 0 이므로 Dn1 = Dn2 다
④Dn 은 이어지지만 En 은 끊긴다: ε₁En1 = ε₂En2 라서 유전율이 큰 쪽의 En 이 작아요
E 의 법선 성분(불연속)
ε₁ En1 = ε₂ En2
Dn 이 이어지니 En 은 ε 의 비만큼 달라진다

전기력선의 굴절 법칙

2ε₀
5ε₀
30°
전기력선의 굴절 법칙
tanθ1tanθ2 = ε1ε2
θ₁=30° → θ₂=55.3°
📐 이끌어 내는 과정
①Et1 = Et2 에서 E₁sinθ₁ = E₂sinθ₂
②Dn1 = Dn2 에서 ε₁E₁cosθ₁ = ε₂E₂cosθ₂
③
①을
②로 나누면 sinθ₁/(ε₁cosθ₁) = sinθ₂/(ε₂cosθ₂)
④정리하면 tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂
⑤ε₂ > ε₁ 이면 θ₂ > θ₁ 이라 전기력선이 법선에서 멀어지며 퍼지고, 마지막 그림의 다섯 선이 그렇게 꺾여요
⚠️ 빛의 굴절과 견주기
①빛(스넬 법칙)은 sinθ₁/sinθ₂ = n₂/n₁ 로 sin 의 비다
②전기력선은 tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂ 로 tan 의 비다
③시험에서 sin 과 tan 을 헷갈리면 틀리기 쉬워요

경계 조건과 굴절 정리

E 접선(연속)
Et1 = Et2
∮E·dl = 0 에서 나온다
D 법선(연속)
Dn1 = Dn2
자유전하가 없을 때 ∮D·dA = 0 에서 나온다
E 법선(불연속)
ε₁En1 = ε₂En2
ε 의 비만큼 바뀐다
굴절 법칙
tanθ1tanθ2 = ε1ε2
tan 의 비다
🎯 시험 포인트
①경계에서 이어지는 것은 Et(접선)와 Dn(법선)이다
②끊기는 것은 En(법선)과 Dt(접선)이다
③굴절 법칙은 sin 이 아니라 tan 의 비다
④ε₂ > ε₁ 이면 θ₂ > θ₁ 이라 유전율이 큰 쪽에서 전기력선이 법선에서 멀어진다
⑤경계면에 자유전하 σf 가 있으면 Dn1 − Dn2 = σf 로, Dn 이 그만큼 끊겨요
🔗 정전계와 자계의 경계 조건 짝
①E 접선 연속 ↔ H 접선 연속(표면 전류가 없을 때)
②D 법선 연속 ↔ B 법선 연속
③tan 굴절 ↔ tan 굴절(ε 자리에 μ 를 넣으면 같은 꼴)
📝 대표 기출유형
①[기출유형] ε₁ = 2ε₀, ε₂ = 5ε₀ 인 경계면에서 θ₁ = 30° 일 때 θ₂ 를 구하시오. (답: tanθ₂ = (5/2) × tan30° ≈ 1.44, θ₂ ≈ 55.3°)
②[기출유형] 경계면에서 Et 가 이어지는 까닭을 ∮E·dl = 0 으로 설명하시오. (답: 경계를 걸친 얇은 직사각형 경로에서 높이를 0 으로 줄이면 Et1Δl − Et2Δl = 0)
③[기출유형] 전기력선 굴절 법칙에 sin 이 아니라 tan 이 들어가는 까닭을 설명하시오. (답: 접선 쪽은 E 가, 법선 쪽은 εE 가 이어지므로 두 조건을 나누면 sin/cos, 곧 tan 의 비가 남는다)
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