경계조건과 굴절

Boundary Conditions & Refraction

유전율이 다른 두 물질이 맞닿으면 전기력선이 경계면에서 방향을 바꿔요. 빛이 물로 들어갈 때 꺾이는 것과 비슷하지만, 여기서는 경계면에 평행한 성분 Et와 수직한 성분 Dn이 양쪽에서 그대로 이어진다는 규칙이 핵심이에요. 이 두 규칙을 합치면 굴절 법칙 tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂가 나오는데, 빛의 sin 비율이 아니라 tan 비율인 점을 시험에서 자주 물어봐요. 슬라이더로 입사각과 양쪽 유전율을 바꿔 가며 유전율이 큰 쪽으로 전기력선이 어떻게 퍼지는지 확인해 봐요.

두 유전체가 만나면?

🔍 상황: 서로 다른 유전체의 경계면

①유전율이 다른 두 물질이 접해 있다 (예: 공기 ↔ 유리).

②전기력선이 경계면을 통과할 때, 방향이 꾾인다!

③마치 빛이 물에 들어갈 때 굴절하는 것과 같다.

④경계면에서 E와 D가 어떤 규칙을 따르는지 알아보자.

E의 접선 성분: 연속

입사각 θ₁30°

E의 접선 성분

Et1 = Et2

경계면에 평행한 E 성분은 양쪽이 같다

💡 유도: 왜 Et가 연속인가?

①경계면을 따라 아주 얌은 직사각형 경로를 잡는다.

②정전계에서 ∮E·dl = 0 (보존장).

③높이를 0으로 보내면: Et1·Δl - Et2·Δl = 0

④따라서 Et1 = Et2 → 접선 성분은 반드시 연속!

D의 법선 성분: 연속

ε₁ (영역 1)2ε₀

ε₂ (영역 2)5ε₀

D의 법선 성분

Dn1 = Dn2

경계면에 수직인 D 성분은 양쪽이 같다 (표면 자유전하 없을 때)

💡 유도: 왜 Dn이 연속인가?

①경계면에 아주 얌은 가우스면(필박스)을 씨운다.

②∮D·dA = Q자유 에서, 경계면에 자유전하가 없으면 Q = 0.

③Dn1·ΔA - Dn2·ΔA = 0 → Dn1 = Dn2

④Dn은 연속이지만, En은 불연속! (ε₁En1 = ε₂En2)

E의 법선 성분 (불연속)

ε₁ En1 = ε₂ En2

Dn 연속 → En은 ε 비율만큼 달라진다

전기력선의 굴절 법칙

ε₁2ε₀

ε₂5ε₀

입사각 θ₁30°

전기력선의 굴절 법칙

tanθ₁tanθ₂ = ε₁ε₂

θ₁=30° → θ₂=55.3°

📐 유도 과정

①Et1 = Et2 → E₁sinθ₁ = E₂sinθ₂

②Dn1 = Dn2 → ε₁E₁cosθ₁ = ε₂E₂cosθ₂

③

①을

②로 나누면: sinθ₁/(ε₁cosθ₁) = sinθ₂/(ε₂cosθ₂)

④정리하면: tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂

⑤ε₂ > ε₁이면 θ₂ > θ₁ → 전기력선이 퍼진다 (슬라이더로 확인!)

⚠️ 빛의 굴절과 비교

•빛(스넬 법칙): sinθ₁/sinθ₂ = n₂/n₁. sin 비율

•전기력선: tanθ₁/tanθ₂ = ε₁/ε₂. tan 비율 (다르다!)

•시험에서 sin과 tan을 혼동하면 틀린다!

경계조건과 굴절 총정리

E 접선 (연속)

Et1 = Et2

∮E·dl = 0 에서 유도

D 법선 (연속)

Dn1 = Dn2

∮D·dA = 0 에서 유도

E 법선 (불연속)

ε₁En1 = ε₂En2

ε 비율만큼 변화

굴절 법칙

tanθ₁tanθ₂ = ε₁ε₂

tan 비율!

🎯 시험 포인트

①연속인 것: Et(접선)와 Dn(법선) "Et Dn 연속" 암기!

②불연속인 것: En(법선)과 Dt(접선)

③굴절 법칙은 tan 비율이다 (sin이 아님! 빛과 다르다)

④ε₂ > ε₁ → θ₂ > θ₁ (유전율 큰 쪽으로 퍼진다)

⑤경계면에 자유전하가 있으면: Dn1 - Dn2 = σf (수정 필요)

🔗 정전계-자계 경계조건 대응

•E 접선 연속 ↔ H 접선 연속 (자계에서도 접선 성분 연속)

•D 법선 연속 ↔ B 법선 연속 (법선 성분 연속)

•tan 굴절 ↔ tan 굴절 (형태 동일, ε→μ 치환)

📝 대표 기출문제

①[기출유형] ε₁=2ε₀, ε₂=5ε₀인 경계면에서 θ₁=30°일 때 θ₂를 구하시오. (답: tanθ₂=5tan30°/2, θ₂≈55.3°)

②[기출유형] 경계면에서 Et가 연속인 이유를 ∮E·dl=0으로 설명하시오.

③[기출유형] 전기력선 굴절법칙에서 sin이 아닌 tan을 사용하는 이유를 설명하시오.