トルクと力学的平衡

Torque & Rotational Equilibrium

ドアを蝶番から遠い取っ手側で押すと開きやすいように、トルクは軸からの距離と力の垂直成分に比例します。力学的平衡には合力と合計トルクがともに 0 である必要があり、シーソーでは m₁d₁ = m₂d₂ が成り立ちます。重い側は支点に近く、軽い側は遠くに座ると釣り合います。このページでは右側のおもりの距離をスライダーで変えながら、いつシーソーが水平に平衡になるかを確かめてみましょう。

同じ力でもどこに加えるかで効果が違う

🚪 トルク(力のモーメント)とは?

①ドアは取っ手(蝶番から遠い所)を押すと簡単に開く

②トルク = 回転軸からの距離 × 力の垂直成分

③同じ力でも軸から遠いほど・垂直なほどトルクが大きい

シーソーを平衡にしよう

右のおもりの支点距離 d₂3 m

⚖️ いつ平衡になるか?

①左のトルク = 2 kg × 10 × 2 m = 40 N·m(固定)

②右のトルク = 1 kg × 10 × d₂

③二つのトルクが等しくなる d₂ = 4 m でシーソーは水平に平衡

トルクと平衡条件

トルク

τ = F · d = F · r sinθ

F=力、d=軸から力の作用線までの垂直距離(=r sinθ)

力学的平衡の条件

ΣF = 0 かつ Στ = 0

合力も0、合トルクも0で静止(または等速・等角速)を保つ

てこ(シーソー)の平衡

m₁ d₁ = m₂ d₂

重い側は近く、軽い側は遠くに

概念を問題で

例題 1 — シーソーの平衡

支点の左 2 m に 40 kg の人が座っている。右 4 m に何 kg が座ればシーソーが平衡になるか。

平衡条件:左のトルク = 右のトルク。

m₁ d₁ = m₂ d₂

代入して m₂ を求める。

40 × 2 = m₂ × 4 → m₂ = 20

▸ 20 kg

支点から二倍遠くに座れば半分の質量で平衡になる。

例題 2 — 棒を支える糸の張力

長さ 4 m、重さ 60 N の一様な棒の一端が壁の蝶番に固定され、他端を水平に保つよう糸が上に引いている。糸の張力を求めよ。(糸は棒の端で鉛直方向)

蝶番(支点)を回転軸にとると蝶番の力のトルクは0。

Στ = 0

重さは中心(2 m)、張力は端(4 m)に働く。

T × 4 = 60 × 2 → T = 30

▸ 30 N

未知の力が働く点に回転軸をとると、その力が式から消えて計算が楽になる。

試験ポイント

修能タイプ改変 (物理学Ⅱ)

支点上の軽い(質量無視)棒の左端(支点から 2 m)に重さ W の物体、右(支点から d)に重さ 30 N の物体が下がり平衡である。d=3 m のとき正しい説明を選べ。

①W = 45 N である。

②W = 20 N である。

③右の物体を支点に近づけても平衡を保つ。

④棒の重さが平衡を決める。

⑤支点が棒を支える力は0である。

▸ ① W = 45 N である。

平衡条件 W × 2 = 30 × 3 = 90 → W = 45 N → ①が正解、②は誤り。

右を近づけると右のトルクが減り平衡が崩れる → ③は誤り。

棒の質量は無視されるので重さは無関係(④誤り)、支点は二つの重さの和(75 N)を支える(⑤誤り)。

🎯 試験ポイント

①トルク τ = F·d(d=軸までの垂直距離)、軸から遠く垂直なほど大

②力学的平衡:ΣF=0 かつ Στ=0(両方)

③てこの平衡:m₁d₁ = m₂d₂

④未知の力が働く点に回転軸をとると簡単

⑤支点の力は鉛直合力条件 ΣF=0 で求める