放物運動

Projectile Motion

斜めに投げた物体は水平では等速、鉛直では重力による等加速度運動を同時に行います。二つの運動は独立で時間だけを共有し、飛距離は θ = 45° で最大、θ と 90°−θ は同じになります。最高点でも水平速度は残るので速さは 0 ではありません。このページでは発射角と初速をスライダーで変えながら、軌道と飛距離・最高高さを確かめてみましょう。

水平と鉛直は互いに干渉しない

🎯 運動の独立性

①斜めに投げた物体は水平運動と鉛直運動を同時に行う

②水平:力がなく速度一定(等速)

③鉛直:重力だけが働き等加速度運動

④二つの運動は互いに独立で、時間 t だけを共有する

発射角と速さを変えてみよう

発射角 θ45°

初速 v₀20 m/s

📐 なぜ45°が最も遠いか?

①水平到達距離 R = v₀²sin2θ/g — sin2θ が最大(=1)の θ=45° で最も遠い

②θ と 90°−θ は到達距離が等しい(例:30°と60°)

③角が大きいほど高く長く飛ぶ

水平・鉛直運動を式で

水平方向 — 等速

x = v₀ cosθ · t, v_x = v₀ cosθ

水平速度は変化しない(力なし)

鉛直方向 — 等加速度

y = v₀ sinθ · t − 12gt², v_y = v₀ sinθ − gt

重力 g が鉛直速度を刻々と変える

到達距離・最高点・滞空時間

水平到達距離

R = v₀² sin2θg

θ=45° で最大

最高点の高さ

H = (v₀ sinθ)²2g

最高点で v_y = 0

滞空時間

T = 2 v₀ sinθg

上がる時間と下りる時間は等しい

発射角の比較

Chart同じ v₀ での発射角別 (g=10)

発射角	到達距離	最高点
30°	中間 (sin60°)	低い
45°	最大 (sin90°=1)	中間
60°	中間 (sin120°=sin60°)	高い

概念を問題で

例題 1 — 到達距離の計算

初速 20 m/s、発射角 45° で投げた物体の水平到達距離を求めよ。(g=10 m/s²)

到達距離の式に代入する。

R = v₀² sin2θg

sin(2·45°)=sin90°=1 を入れる。

R = 20² × 110 = 40

▸ 40 m

45° は sin2θ が 1 で最大となり到達距離が最も長い。

例題 2 — 最高点での速さ

初速 20 m/s、発射角 60° で投げた物体が最高点にあるときの速さと運動方向を求めよ。

最高点で鉛直速度 v_y = 0 なので速さは水平成分だけ。

水平速度を求める。

v_x = v₀ cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0.5 = 10

▸ 速さ 10 m/s、方向は水平

最高点でも水平速度は残るので速さは 0 でない。ここをよく見落とす。

試験ポイント

修能タイプ改変 (物理学Ⅱ)

同じ初速で物体 A は 30°、物体 B は 60° で投げた。二物体について正しい説明を選べ。(空気抵抗無視)

①A の到達距離が B より大きい。

②A と B の到達距離は等しい。

③A が B より高く上がる。

④A の滞空時間が B より長い。

⑤最高点で二物体の速さは 0 である。

▸ ② A と B の到達距離は等しい。

到達距離 R ∝ sin2θ で sin(2·30°)=sin60°、sin(2·60°)=sin120°=sin60° と等しい → ②。

最高点 H ∝ sin²θ なので 60° の B が高く上がり滞空時間も長い → ③・④は誤り。

最高点でも水平速度 v₀cosθ が残り速さは 0 でない → ⑤は誤り。

🎯 試験ポイント

①水平=等速(v₀cosθ)、鉛直=等加速度(重力) — 運動の独立性

②到達距離 R=v₀²sin2θ/g、θ=45°で最大、θと90°−θは等しい

③最高点 H=(v₀sinθ)²/2g、最高点で v_y=0

④滞空時間 T=2v₀sinθ/g

⑤最高点の速さは 0 でなく水平成分 v₀cosθ