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高校2~高校3年生 (16-18歳)

物理 放物運動 わかりやすく

Projectile Motion

斜めに投げた物体は、水平方向には速度が一定の運動を、鉛直方向には重力によって加速度が一定の運動を同時に行います。 二つの運動は互いに影響せず時間だけを共有し、同じ速さなら水平到達距離は発射角 45° で最も長く、θ と 90° − θ で投げた二つの物体は同じ場所に落ちます。 最高点では鉛直方向の速度は 0 になりますが、水平方向の速度はそのまま残るので、速さは 0 にはなりません。 図で発射角と初速を変えると、軌道とともに水平到達距離、最高点の高さ、最高点での速さが変わります。

水平方向と鉛直方向の運動は別々に起こる

🎯 運動の独立性
①斜めに投げた物体は、水平方向の運動と鉛直方向の運動を同時に行う
②水平方向には力がはたらかないので、速度は一定である（等速直線運動）
③鉛直方向には重力だけがはたらき、加速度は g で一定である（等加速度運動）
④二つの運動は互いに影響せず、時間 t だけを共有する

発射角と初速による軌道

45°
20 m/s
📐 なぜ 45° でいちばん遠くまで届くのか
①水平到達距離 R = v₀² sin2θ/g は、sin2θ が最大の 1 になる θ = 45° で最も長い
②θ と 90° − θ は sin2θ が等しいので、水平到達距離も等しい（例：30° と 60°）
③発射角が大きいほど高く上がって長く飛ぶが、水平方向の速度が小さくなるので、45° を超えると水平到達距離は短くなる

水平方向と鉛直方向の運動の式

水平方向：等速直線運動
x = v0 cosθ · t, vx = v0 cosθ
水平方向には力がはたらかないので、水平方向の速度は変わらない
鉛直方向：等加速度運動
y = v0 sinθ · t − 12gt2, vy = v0 sinθ − gt
上がるときは重力が vy を小さくし、下りるときは大きくする

水平到達距離・最高点の高さ・滞空時間

水平到達距離
R = v02 sin2θg
初速が同じなら θ = 45° で最も長い
最高点の高さ
H = (v0 sinθ)22g
最高点で vy = 0 となる高さ
滞空時間
T = 2 v0 sinθg
上がる時間と下りる時間が等しいので、滞空時間は上がる時間の 2 倍である

発射角の比較

初速 v₀ = 20 m/s での発射角ごとの比較（g = 10 m/s²）
発射角到達距離最高点滞空時間
30°34.6 m5 m2 s
45°40 m10 m2.8 s
60°34.6 m15 m3.5 s

概念を問題で確かめる

例題 1：水平到達距離を求める
初速 20 m/s、発射角 45° で投げた物体の水平到達距離を求めよ。（g = 10 m/s²）
1
水平到達距離の式に値を代入する。
R = v02 sin2θg
2
sin(2 × 45°) = sin 90° = 1 を使う。
R = 202 × 110 = 40
▸ 40 m
45° は sin2θ が最大の 1 になる角なので、同じ速さで投げたときの水平到達距離が最も長い。
例題 2：最高点での速さ
初速 20 m/s、発射角 60° で投げた物体が最高点にあるときの速さと運動の向きを求めよ。
1
最高点では鉛直方向の速度 vy = 0 なので、速さは水平方向の成分だけが残る。
2
水平方向の速度を求める。
vx = v0 cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0.5 = 10
▸ 速さ 10 m/s、向きは水平
最高点でも水平方向の速度は投げたときのままなので、速さは 0 ではない。図の緑の矢印がまさにこの速度である。

試験ポイント

韓国修能 物理学Ⅱ 類題
同じ初速で、物体 A は 30°、物体 B は 60° で投げた。二つの物体について正しい説明を選べ。（空気抵抗は無視する）
①A の到達距離が B より大きい。
②A と B の到達距離は等しい。
③A が B より高く上がる。
④A の滞空時間が B より長い。
⑤最高点で二物体の速さは 0 である。
▸ ② A と B の到達距離は等しい。
1
水平到達距離は R ∝ sin2θ で、sin(2 × 30°) = sin 60°、sin(2 × 60°) = sin 120° = sin 60° と等しいので、② が正しい。
2
最高点の高さは H ∝ sin²θ なので、60° で投げた B のほうが高く上がり、滞空時間も長い。よって ③、④ は誤り。
3
最高点でも水平方向の速度 v₀cosθ が残り、速さは 0 ではないので ⑤ も誤り。
🎯 試験ポイント
①水平方向は等速直線運動（v₀cosθ）、鉛直方向は重力による等加速度運動で、二つの運動は互いに独立である
②水平到達距離 R = v₀² sin2θ/g は θ = 45° で最も長く、θ と 90° − θ で等しい
③最高点の高さは H = (v₀sinθ)²/2g で、最高点では v_y = 0
④滞空時間 T = 2v₀sinθ/g
⑤最高点での速さは 0 ではなく、水平方向の成分 v₀cosθ である
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