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高校2~高校3年生 (16-18歳)

物理 万有引力とケプラーの法則 わかりやすく

Gravitation and Kepler's Laws

リンゴを落とす力と、月を地球のまわりに引きとめる力は、同じ万有引力です。質量をもつすべての物体は互いに引き合い、その力は距離の 2 乗に反比例します。 ケプラーの法則は、惑星が太陽を一つの焦点とする楕円軌道を回ること、同じ時間に描く面積が等しいこと、周期の 2 乗が半長軸の 3 乗に比例することの三つです。 これらの法則はすべて万有引力から導くことができ、人工衛星の軌道の速さも同じ方法で求めます。 図で離心率を変えると軌道が平たくなり、同じ時間間隔で記した惑星の位置が、太陽に近い側でより離れていきます。

万有引力の直感

🌍 ニュートンのリンゴと月
①リンゴを落とす力と月を引きとめる力は、同じ種類の力である
②質量をもつすべての物体は互いに引き合い、この力を万有引力という
③距離が 2 倍になると力が 1/4 倍になるように、万有引力は距離の 2 乗に反比例する

ケプラーの法則を図で見る

e = 0.40
💡 ケプラーの三つの法則
①第1法則（楕円軌道の法則）：惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を回る
②第2法則（面積速度一定の法則）：同じ時間に描く面積が等しいので、太陽に近い近日点では速く、遠い遠日点では遅い。図で緑の点の間隔が近日点側で広いのはこのためである
③第3法則（調和の法則）：公転周期の 2 乗は軌道の半長軸の 3 乗に比例する（T² ∝ a³）

万有引力の法則

万有引力の法則
F = GMmr²
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²、M：中心天体の質量、m：軌道を回る物体の質量、r：二つの物体の中心間の距離
重力加速度と万有引力
g = GMR²
地表の重力加速度は GM/R² で、約 9.8 m/s² である

ケプラーの第3法則

ケプラーの第3法則（調和の法則）
T² = 4π²GMa³
周期の 2 乗は半長軸の 3 乗に比例し、円軌道で向心力 = 万有引力とおくとこの式が得られる
🛰️ 人工衛星への応用
①円軌道を回る人工衛星では万有引力が向心力の役割をするので、mv²/r = GMm/r² である
②軌道の速さ v = √(GM/r) は地球の中心からの距離 r だけで決まり、衛星の質量には関係しない
③静止衛星は周期が 24 時間なので、地表から約 36,000 km の高さを回る

例題で確認

例題 1
2 物体間の距離を 3 倍にすると、万有引力の大きさは何倍になるか？
1
万有引力は F = GMm/r² なので、距離の 2 乗に反比例する。
F = GMmr2
2
r が 3 倍になると r² は 9 倍なので、F は 1/9 倍になる。
r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)2 = 19F
▸ 1/9 倍
距離が n 倍になると力は 1/n² 倍になる。距離を 3 倍にしたのに力を 1/3 倍と答える誤りが多い。
例題 2
惑星 A の公転周期が惑星 B の 8 倍のとき、A の軌道長半径は B の何倍か？（ケプラー第3法則）
1
ケプラーの第3法則 T² ∝ a³ より、a ∝ T2/3 である。
T2 ∝ a3 ⇒ a ∝ T2/3
2
T が 8 倍なので、a は 82/3 = 4 倍になる。
aA/aB = 82/3 = (23)2/3 = 4
▸ 4 倍
周期の比を 2/3 乗すると半長軸の比になる。8 = 2³ なので、82/3 = 2² = 4 ときれいに求まる。

まとめ

万有引力
F = GMmr²
ケプラーの第3法則
T² ∝ a³
韓国修能 類題
地表での重力加速度を g とすると、地球半径の 2 倍の高さ（中心から距離 3R）での重力加速度は？
①g2
②g3
③g4
④g9
⑤g6
▸ ④ g9
1
重力加速度は g = GM/r² で、地球の中心からの距離の 2 乗に反比例する。
g = GMr2
2
地表では r = R、問題の地点では r = 3R なので、g は 1/9 倍になる。
g(3R) = GM(3R)2 = g9
🎯 試験ポイント
①万有引力 F = GMm/r² は距離の 2 乗に反比例する
②軌道の速さは v = √(GM/r) なので、高いところを回る衛星ほど遅い
③ケプラーの第1法則：惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を回る
④ケプラーの第2法則：面積速度が一定なので、近日点で速く遠日点で遅い
⑤ケプラーの第3法則：T² = (4π²/GM)a³ なので、周期の 2 乗は半長軸の 3 乗に比例する
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