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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

万有引力とケプラーの法則

Gravitation and Kepler's Laws

りんごが落ちる力と月が地球を回る力は同じ万有引力で、すべての質量は互いに引き合い、距離の二乗に反比例します。 ケプラーの法則は楕円軌道、面積速度一定、周期の二乗が長半径の三乗に比例する、の三つです。 万有引力の式から人工衛星の軌道速度も導けます。 このページでは離心率をスライダーで変えながら、楕円軌道と面積速度の法則を確かめてみましょう。

万有引力の直感
🌍 ニュートンのリンゴと月
①リンゴを落とす力と月が地球を周る力は同じ!
②全ての質量は引き合う — 万有引力
③距離が遠いほど力は弱まる(距離の2乗に反比例)
ケプラーの法則の可視化
40%
💡 ケプラーの3法則
①第1法則(楕円軌道):惑星は太陽を1焦点とする楕円軌道を描く
②第2法則(面積速度):同じ時間に掃く面積が等しい(近日点で速い!)
③第3法則(調和):T² ∝ a³(周期の2乗は長半径の3乗に比例)
万有引力の公式
万有引力の法則
F = GMm
G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²、M:中心天体質量、m:軌道物体質量
重力加速度と万有引力
g = GM
地表重力加速度 = GM/R² ≈ 9.8 m/s²
ケプラーの第3法則
ケプラーの第3法則(調和)
T² = 4π²GM
周期²は長半径³に比例 — 万有引力から導出可能!
🛰️ 人工衛星への応用
①衛星の向心力=万有引力:mv²/r = GMm/r²
②軌道速度:v = √(GM/r) — 高度のみに依存
③静止衛星:T = 24時間 → r ≈ 36,000 km上空
例題で確認
例題 1
2 物体間の距離を 3 倍にすると、万有引力の大きさは何倍になるか?
1
万有引力は F = GMm/r² で距離の 2 乗に反比例する。
F = GMmr2
2
r が 3 倍なら r² は 9 倍 → F は 1/9 倍。
r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)2 = 19F
1/9 倍
万有引力は逆 2 乗則。距離が n 倍なら力は 1/n² 倍。
例題 2
惑星 A の公転周期が惑星 B の 8 倍のとき、A の軌道長半径は B の何倍か?(ケプラー第3法則)
1
ケプラー第3法則 T² ∝ a³ より a ∝ T(2/3)。
T2 ∝ a3 ⇒ a ∝ T2/3
2
T が 8 倍なので a は 8(2/3) = 4 倍。
aA/aB = 82/3 = (23)2/3 = 4
4 倍
T² ∝ a³ より、長半径比は周期比の 2/3 乗。8 = 2³ なので 8(2/3) = 4。
総まとめ
万有引力
F = GMm
ケプラー3法則
T² ∝ a³
共通テスト類題
地表での重力加速度を g とすると、地球半径の 2 倍の高さ(中心から距離 3R)での重力加速度は?
g2
g3
g4
g9
g6
g9
1
重力加速度は g = GM/r² で中心からの距離の 2 乗に反比例する。
g = GMr2
2
地表 r = R、問題の点 r = 3R なので g は 1/9 倍。
g(3R) = GM(3R)2 = g9
🎯 試験ポイント
①万有引力:F = GMm/r²(距離の2乗に反比例)
②軌道速度:v = √(GM/r) — 高いほど遅い
③ケプラー1:楕円軌道(太陽が焦点)
④ケプラー2:面積速度一定(近日点で速い)
⑤ケプラー3:T² = (4π²/GM)a³ — 周期²∝長半径³
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