物理学Ⅱ›力学とエネルギー

万有引力とケプラーの法則

Gravitation and Kepler's Laws

万有引力の直感
🌍 ニュートンのリンゴと月
①リンゴを落とす力と月が地球を周る力は同じ!
②全ての質量は引き合う — 万有引力
③距離が遠いほど力は弱まる(距離の2乗に反比例)
ケプラーの法則の可視化
40%
💡 ケプラーの3法則
①第1法則(楕円軌道):惑星は太陽を1焦点とする楕円軌道を描く
②第2法則(面積速度):同じ時間に掃く面積が等しい(近日点で速い!)
③第3法則(調和):T² ∝ a³(周期の2乗は長半径の3乗に比例)
万有引力の公式
万有引力の法則
F = GMmr²
G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²、M:中心天体質量、m:軌道物体質量
重力加速度と万有引力
g = GMR²
地表重力加速度 = GM/R² ≈ 9.8 m/s²
ケプラーの第3法則
ケプラーの第3法則(調和)
T² = 4π²GMa³
周期²は長半径³に比例 — 万有引力から導出可能!
🛰️ 人工衛星への応用
①衛星の向心力=万有引力:mv²/r = GMm/r²
②軌道速度:v = √(GM/r) — 高度のみに依存
③静止衛星:T = 24時間 → r ≈ 36,000 km上空
総まとめ
万有引力
F = GMmr²
ケプラー3法則
T² ∝ a³
🎯 試験ポイント
①万有引力:F = GMm/r²(距離の2乗に反比例)
②軌道速度:v = √(GM/r) — 高いほど遅い
③ケプラー1:楕円軌道(太陽が焦点)
④ケプラー2:面積速度一定(近日点で速い)
⑤ケプラー3:T² = (4π²/GM)a³ — 周期²∝長半径³