Uniform Circular Motion
等速円運動では速さが一定でも、速度の向きが刻々と変わるので加速度があります。 その加速度はいつも円の中心を向く向心加速度で、大きさは a = v²/r = rω² で求めます。 物体を中心へ引く向心力がなくなると、物体はその瞬間の接線の向きにまっすぐ飛んでいきます。 図で半径と角速度を変えると、接線方向の速度の矢印と中心を向く加速度の矢印の長さが v = rω、a = rω² に合わせて変わります。
速度計の数字が変わらなくても、円を回る物体の速度は同じではありません。速度は大きさと向きをあわせもつベクトルで、円の上では場所ごとに接線の向きが違うため、速度は刻々と変わります。この変化を勘定に入れなければ、人工衛星が地球を回ることも、糸につけたボールが円を描くことも説明できません。半径 r と角速度 ω がわかれば、線速度は v = rω、向心加速度は a = v²/r = rω²、1 回転にかかる周期は T = 2π/ω です。この加速度を生む中心向きの合力が向心力 F = ma で、これらの式は向きが変わる運動を加速運動として扱う出発点になります。
図の中央の円が軌道で、右下の緑の点が反時計回りに回る物体のある瞬間の位置です。点から右上へのびるオレンジの矢印が接線方向の速度 v、中心 O へ向かう赤い矢印が向心加速度 a_c で、点線が半径 r です。矢印はそれぞれの量ごとに決まった割合の長さで描いてあるので、スライダーを動かしたときの大きさの変化を見比べられます。半径のスライダーを 1 m から 6 m の間で動かすと円と二つの矢印がいっしょに大きくなり、角速度のスライダーを 0.5 rad/s から 3 rad/s の間で動かすと、円の大きさはそのままで矢印だけが長くなりますが、赤い矢印のほうがオレンジの矢印よりずっと速くのびます。a = rω² には角速度が 2 乗で入るからです。
速さが一定なら加速度は 0 だと考えがちです。しかし加速度は速度が時間とともに変わる度合いで、速度には向きが含まれているので、円を回っている間の加速度は 0 ではありません。向心力を進む向きに描く誤りもよく見られますが、向心力はいつも中心を向いて運動の向きに垂直なので、速さは変えられず向きだけを変えます。糸が切れた瞬間、物体は外側へはじき出されるのではなく、その瞬間の接線の向きにまっすぐ進みます。ですから式に値を入れる前に、どの矢印が接線方向でどの矢印が中心を向くのかを先に見分けるとよいでしょう。
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