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単語帳
高校2~高校3年生 (16-18歳)

電場とガウスの法則

Electric Field and Gauss's Law

電荷を風船で包むと、貫く電気力線の総数は風船の大きさや形を変えても一定です。 ガウスの法則は、閉じた面の電気束が内部電荷を ε₀ で割ったものに等しいと言います。 対称性の良い分布ではこの法則で電場を簡単に求められます。 このページでは電荷 Q をスライダーで変えながら、電気束と電場がどう変わるかを確かめてみましょう。

ガウスの法則の直感
🎈 風船で理解する
①電荷を風船で包むと、貫く電気力線の総数は一定
②風船の大きさや形を変えても貫く総束は不変!
③これがガウスの法則:閉じた面の電気束 = 内部電荷/ε₀
ガウス面と電気束
4 C
💡 核心観察
①電荷が大きいほど面を貫く束(矢印)が増える
②正電荷:外向きの束、負電荷:内向きの束
③面外の電荷は総束に影響しない!
ガウスの法則の式
ガウスの法則
∮ E · dA = Qε₀
閉じた面の電気束=内部電荷/真空誘電率
球対称への適用
E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQ
球対称ならガウスの法則からクーロンの法則を導出!
🔑 ガウスの法則の威力
①対称性のよい問題を非常に簡単に解ける
②球対称:点電荷·一様帯電球
③円筒対称:無限直線電荷·同軸円筒
例題で確認
例題 1
閉じたガウス面の内部に +2Q と −Q の電荷があるとき、この面を通る総電気束は?
1
ガウスの法則では総束は内部の正味電荷のみで決まる。
Φ = Qencε₀
2
内部の正味電荷 Qenc = 2Q − Q = Q を代入する。
Φ = 2Q - Qε₀ = Qε₀
Q/ε₀
総束は面内部の正味電荷だけで決まる。異符号の電荷は合算(相殺)する。
例題 2
点電荷 Q を囲む球形ガウス面の半径を 2 倍にすると、面を通る総電気束はどう変わるか?
1
ガウスの法則は面の形・大きさによらず内部電荷のみを見る。
Φ = Qε₀ (r によらない)
2
内部電荷 Q が同じなので束も同じ。
Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)
変わらない
総束は面の大きさによらない(電荷のみ)。ただし面上の電場 E は r² に反比例して減る — 両者を区別する。
総まとめ
ガウスの法則(核心)
∮ E · dA = Qenc / ε₀
ε₀ = 8.85×10⁻¹² C²/(N·m²)
共通テスト類題
真空中で点電荷 Q から距離 r での電場が E のとき、距離 2r での電場は?
2E
E2
E4
4E
E
E4
1
ガウスの法則(球対称)で E = kQ/r²、距離の 2 乗に反比例する。
E = kQr2
2
r が 2 倍なら r² は 4 倍 → E は 1/4 倍。
E(2r) = kQ(2r)2 = E4
🎯 試験ポイント
①ガウスの法則:∮E·dA = Q/ε₀(閉じた面の総束)
②ガウス面の選択:対称性によりEが一定の面を選ぶ
③球対称 → 球面ガウス面 → E = kQ/r²
④導体内部の電場=0(電荷は表面のみ!)
⑤ガウスの法則はクーロンの法則と数学的に同等
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