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高校2~高校3年生 (16-18歳)

物理 電場とガウスの法則 わかりやすく

Electric Field and Gauss's Law

電荷を風船のような閉じた面で包むと、その面を貫いて出ていく電気力線の本数は、風船の大きさや形を変えても変わりません。 ガウスの法則を式で書くと、閉じた面を貫く電気力線の束（電束）は、面の内側の電荷を ε₀ で割った値に等しくなります。 電荷が球状に一様に広がっている場合のように対称性がよければ、この法則で電場をかんたんに求められます。 図で電荷 Q を変えると、電気力線の本数と電束が Q に比例して変わり、大きさの違う二つのガウス面を貫く線の本数はいつも同じです。

ガウスの法則の直感

🎈 風船で考える
①電荷を風船で包むと、風船を貫いて出ていく電気力線の本数は決まっている
②風船を大きくふくらませても押しつぶしても、電荷から出た線はどれも風船を 1 回ずつ通るので、電束の合計は変わらない
③そのため閉じた面の電束は面の内側の電荷だけで決まり、その値は Q/ε₀ である

ガウス面と電束

4 μC
💡 図の読み方
①電荷が大きいほど電気力線が増え、面を貫く電束が大きくなる
②正電荷なら線は外へ出ていき、負電荷なら外から内へ入ってくる
③S₁ と S₂ は大きさが違うが、どの線も二つの面を 1 回ずつ通るので、二つの面の電束は等しい
④面の外にある電荷から出た線は、面に入ってまた出ていくので、電束の合計には加わらない

ガウスの法則の式

ガウスの法則
∮ E · dA = Qε₀
閉じた面を貫く電束 = 面の内側の電荷 ÷ 真空の誘電率
球対称への適用
E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQr²
点電荷を囲む球面では E が面のどこでも等しいので、ガウスの法則からすぐにクーロンの法則が導かれる
🔑 ガウスの法則が役立つところ
①対称性のよい電荷分布なら、ガウスの法則で電場をかんたんに求められる
②球対称：点電荷、一様に帯電した球
③円筒対称：無限に長い直線電荷で、電場は E = λ/(2πε₀r)
④導体の内部では E = 0 で、余分な電荷はすべて表面に集まる

例題で確認

例題 1
閉じたガウス面の内部に +2Q と −Q の電荷があるとき、この面を通る総電気束は？
1
電束の合計は面の内側の正味の電荷だけで決まる。
Φ = Qencε₀
2
面の内側の正味の電荷 Qenc = 2Q − Q = Q を代入する。
Φ = 2Q − Qε₀ = Qε₀
▸ Q/ε₀
符号の違う電荷は足すと打ち消し合う。+2Q から出た線の一部は −Q に入るので、面を通って外へ出る線は Q の分だけになる。
例題 2
点電荷 Q を囲む球形ガウス面の半径を 2 倍にすると、面を通る総電気束はどう変わるか？
1
ガウスの法則は、面の形や大きさに関係なく面の内側の電荷だけを見る。
Φ = Qε₀ (r によらない)
2
内側の電荷 Q が変わらないので、電束も変わらない。
Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)
▸ 変わらない
図の S₁ と S₂ のように、面が大きくなっても貫く線の本数は同じである。ただし面上の電場 E は r² に反比例して小さくなるので、電束と電場を混同しないこと。

まとめ

ガウスの法則
∮ E · dA = Qenc / ε₀
ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)
韓国修能 類題
真空中で点電荷 Q から距離 r での電場が E のとき、距離 2r での電場は？
①2E
②E2
③E4
④4E
⑤E
▸ ③ E4
1
球対称にガウスの法則を使うと E = kQ/r² となり、電場は距離の 2 乗に反比例する。
E = kQr2
2
r が 2 倍になると r² は 4 倍なので、E は 1/4 倍になる。
E(2r) = kQ(2r)2 = E4
🎯 試験ポイント
①ガウスの法則 ∮E·dA = Q/ε₀ は、閉じた面を貫く電束の合計についての式である
②ガウス面は、対称性を生かして E が一定になる面を選ぶ
③球対称なら球形のガウス面をとって E = kQ/r² を得る
④導体内部の電場は 0 で、電荷は表面にだけある
⑤静電気では、ガウスの法則とクーロンの法則は同じ内容を表している
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