seegongsik
中学3年生 (14-15歳)

中3 三角比 わかりやすく

Trigonometric Ratios

三角比は直角三角形の2辺の長さの比で、1つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の大きさに関係なく sin、cos、tan の値が1つに決まります。日本では高校の数学Ⅰで学ぶ内容です。 大きさのちがう直角三角形でも、1つの鋭角が等しければ相似なので、辺の比が等しくなるからです。 この性質のおかげで、建物や木に登らなくても、離れた距離と見上げた角度をはかるだけで高さを計算できます。 図では斜辺を1とした直角三角形をかいているので、角 θ を変えると高さが sin θ、底辺が cos θ としていっしょに変わるようすが見られます。

直角三角形の辺の比

30°
📐 三角比の定義
①sin θ =（高さ）÷（斜辺）である。角 θ と向かい合う辺を斜辺でわった値である。
②cos θ =（底辺）÷（斜辺）である。角 θ にとなり合う辺を斜辺でわった値である。
③tan θ =（高さ）÷（底辺）である。
④斜辺が1なら、高さがそのまま sin θ、底辺がそのまま cos θ になる。図はまさにこの場合である。

特別な角の三角比（30°、45°、60°）

45°
⭐ 特別な角の値
①30° では sin = 1/2、cos = √3/2、tan = √3/3 である。
②45° では sin = cos = √2/2、tan = 1 である。
③60° では sin = √3/2、cos = 1/2、tan = √3 である。
④30° と60° は sin と cos の値が入れかわる。2つの角の和が90° なので、一方の角の高さがもう一方の角の底辺になるからである。

三角比どうしの関係

tan と sin、cos の関係
tan θ = sin θcos θ
tan θ は sin θ を cos θ でわった値である。
三平方の定理から出る関係
sin²θ + cos²θ = 1
斜辺が1の直角三角形に三平方の定理を使ったものである。
💡 関係式の使い方
①sin θ がわかれば cos θ = √(1 − sin²θ) で求められる。
②1つの三角比がわかれば、残りの2つもすべて求められる。
③0° < θ < 90° では sin、cos、tan はどれも正である。
④図の右の sin² + cos² は、角をどう変えても1である。

高さと距離を求める

高さを求める
高さ h = d × tan θ
離れた距離 d と見上げた角 θ から高さを計算する。
🏢 くらしの中の例
①建物から 50 m 離れた所で屋上を見上げた角が30° なら、h = 50 × tan 30° ≈ 28.9 m である。
②木、塔、山の高さも同じ方法で求められる。
③目の高さではかったときは、計算した高さに目の高さをたす。
④見下ろした角も、同じように直角三角形をつくって解く。

例題で確かめる

例題 1
sin 30° の値を求めなさい。
1
30° は特別な角なので、その値を思い出す。
30° → sin=1/2
2
高さが斜辺の半分の直角三角形なので、sin 30° = 1/2 である。
sin30° = 1/2
▸ 1/2
30°、45°、60° の値は、正三角形と直角二等辺三角形からすぐに導ける。
例題 2
直角三角形で sin A = 3/5、斜辺の長さが10のとき、角Aの対辺の長さを求めなさい。
1
sin A =（対辺）÷（斜辺）なので、対辺 = 斜辺 × sin A である。
sin A = 対辺/斜辺
2
10 × 3/5 = 6 である。
対辺 = 10 × 3/5 = 6
▸ 6
sin の定義を逆に使うと、斜辺と角から対辺の長さが求められる。

試験のポイント

三角比の定義
sin = 対辺斜辺, cos = 隣辺斜辺, tan = 対辺隣辺
高さと底辺は角 θ を基準に読む。角が変われば高さと底辺も変わる。
中3 内申タイプ
tan 60° の値は？
①√3/3
②1/2
③√2
④√3
⑤2
▸ ④ √3
1
特殊角 60° の三角比表を見る。
60° → tan=√3
2
よって tan60° = √3。
tan60° = √3
🎯 試験のポイント
①30°、45°、60° の三角比の値を正確に覚える。
②sin²θ + cos²θ = 1 から残りの三角比を求める。
③tan θ = sin θ ÷ cos θ を利用する。
④高さと距離の問題では、わかっている辺と求める辺から、どの三角比を使うかを決める。
⑤ここでは0° から90° までの角だけを扱う。
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最終更新

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