三角比

Trigonometric Ratios

三角比とは直角三角形の二辺の長さの比のことで、角度が一つ決まれば sin、cos、tan の値もぴたりと決まります。この性質のおかげで、実際に登らなくても建物や木、山の高さを測ることができます。遠くから距離と見上げた角度を測れば、高さ = 距離 × tan(角度) で簡単に求められます。このページでは角度のスライダーを動かして三角比の変化を見たり、30°、45°、60° の特殊角の値を比べたりできます。

三角比とは? — 直角三角形の辺の比

角度 θ30°

📐 三角比の定義

①sin θ = 高さ / 斜辺（対辺/斜辺）

②cos θ = 底辺 / 斜辺（隣辺/斜辺）

③tan θ = 高さ / 底辺（対辺/隣辺）

④斜辺が1なら：sin=高さ、cos=底辺

特殊角の三角比（30°、45°、60°）

特殊角45°

⭐ 特殊角の覚え方

①30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=√3/3

②45°: sin=cos=√2/2, tan=1

③60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3

④30°↔60°: sin と cos が入れ替わる!

三角比の核心関係

三角比の関係式

tan θ = sin θcos θ

tan は sin/cos

ピタゴラスの恒等式

sin²θ + cos²θ = 1

斜辺=1 の直角三角形のピタゴラスの定理

💡 関係式の活用

①sin θ から cos θ = √(1−sin²θ)

②1つ分かれば残りも全部分かる

③0° < θ < 90° で sin、cos、tan は全て正

三角比の活用 — 高さと距離

高さの求め方

高さ h = d × tan θ

距離 d と仰角 θ から高さを計算

🏢 実生活の例

①ビルの高さ：距離50m、仰角30° → h = 50×tan30° ≈ 28.9m

②木の高さ、山の高さ、塔の高さも同じ原理

③俯角でも同じ方法で解く

実際に解いてみる

例題 1

sin 30° の値を求めなさい。

特殊角 30° の三角比表を思い出す。

30° → sin=1/2

よって sin30° = 1/2。

sin30° = 1/2

▸ 1/2

特殊角（30°、45°、60°）の値は暗記しておく。

例題 2

直角三角形で sin A = 3/5、斜辺の長さが10のとき、角Aの対辺の長さを求めなさい。

sin A = 対辺/斜辺なので対辺 = 斜辺 × sin A。

sin A = 対辺/斜辺

対辺 = 10 × (3/5) = 6。

対辺 = 10 × 3/5 = 6

▸ 6

sin = 対辺/斜辺から対辺 = 斜辺 × sin。

試験ポイント整理

三角比まとめ

sin = 対辺斜辺, cos = 隣辺斜辺, tan = 対辺隣辺

SOH-CAH-TOA で覚える

中3 内申タイプ

tan 60° の値は？

①√3/3

②1/2

③√2

④√3

⑤2

▸ ④ √3

特殊角 60° の三角比表を見る。

60° → tan=√3

よって tan60° = √3。

tan60° = √3

🎯 試験ポイント

①特殊角の三角比は必ず暗記

②sin²θ+cos²θ=1 で残りの三角比を求める

③tan = sin/cos の関係を活用

④高さ・距離問題：どの三角比を使うかを判断

⑤鋭角（0°~90°）のみ扱う（鈍角は高校）