二次関数の活用

Applications of Quadratic Functions

二次関数はグラフを描くだけでなく、最大値や最小値を求める強力な道具になります。放物線は頂点で最も高く、または最も低くなるので、面積を最大にするような問題もすっきり解けます。たとえば長さの決まった柵で長方形を作るとき、いつ面積が最大になるかを一つの二次関数で見つけられます。このページでは定義域の両端を動かし、柵の横の長さを変えながら、最大値と最小値がどこに現れるかを確かめられます。

定義域での最大・最小

開始 (lo)-1

終了 (hi)4

📊 最大・最小を見つける戦略

①頂点が定義域内 → 頂点の値が最大または最小

②頂点が定義域外 → 両端点で比較

③候補：頂点、左端、右端

面積最大問題 — 柵の問題

横 x (m)5

🏠 柵の問題の解き方

①周 = 20m → 横 x、縦 (10−x)

②面積 S = x(10−x) = −x²+10x

③放物線の頂点で最大

④x = 5 のとき S = 25m²（正方形!）

二次関数と二次方程式の関係

関数と方程式のつながり

y = ax²+bx+c で y=0 → ax²+bx+c = 0

グラフの x切片 = 二次方程式の解

🔗 つながり

①グラフが x軸と交わる点 → 二次方程式の解

②判別式 D で交点の個数判定

③2つの関数の交点 → 連立方程式

二次関数の式の求め方

頂点と1点

頂点(p,q) + 点(x₁,y₁) → y=a(x−p)²+q に代入

頂点が分かれば a だけ求める

x切片2つと1点

x切片 α, β → y=a(x−α)(x−β) に1点を代入

解が分かるなら因数分解形

📝 式の求め方戦略

①頂点が与えられる → 頂点形

②x切片が与えられる → 因数分解形

③3点が与えられる → 一般形 y=ax²+bx+c に代入し連立方程式

実際に解いてみる

例題 1

二次関数 y=x²−4x+7 の最小値を求めなさい。

平方完成する: x²−4x+7 = (x−2)²+3。

y = (x−2)²+3

a>0 なので頂点で最小、最小値は 3。

最小値 = 3 (x=2)

▸ 3

a>0 のとき頂点が最小値になる。

例題 2

二次関数 y=−(x−1)²+5 の最大値を求めなさい。

頂点は (1, 5) で a=−1<0。

y = −(x−1)²+5

a<0 なので頂点で最大、最大値は 5。

最大値 = 5 (x=1)

▸ 5

a<0 のとき頂点が最大値になる。

試験ポイント整理

活用の核心

最大・最小 → 頂点、交点 → 判別式、式を求める → 条件代入

二次関数活用の3大類型

中3 内申タイプ

二次関数 y=2x²−8x+11 の最小値は？

①1

②3

③5

④8

⑤11

▸ ② 3

平方完成: 2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3。

y = 2(x−2)²+3

a=2>0 なので x=2 で最小値 3。

最小値 = 3

🎯 試験ポイント

①最大値・最小値は頂点で（a>0 なら最小、a<0 なら最大）

②定義域に制限あり → 両端点も確認

③面積・距離の最大 → 二次関数でモデル化 → 頂点

④グラフと x軸の交点 = 二次方程式の解

⑤関数式決定：与条件に合う形を選ぶ