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中学3年生 (14-15歳)

中3 二次関数の活用 わかりやすく

Applications of Quadratic Functions

2次関数はグラフをかいて終わりではなく、ある量がいちばん大きくなるときや小さくなるときを見つける道具になります。 放物線は頂点でいちばん高いか低いので、a > 0 なら頂点の y 座標が最小値、a < 0 なら最大値です。 ただし x の変域が決まっていると頂点がその外にあることもあるので、両端での値もいっしょにくらべなければなりません。 長さ 20 m のロープで長方形を囲むとき面積がいちばん大きくなる形を求める問題も、面積を横の長さの2次関数で表せば、頂点一つで答えが出ます。

変域が決まった x での最大・最小

-1
4
📊 最大・最小を求める手順
①頂点が x の変域の中にあれば、頂点で最小値（a > 0 のとき）または最大値（a < 0 のとき）をとる。
②頂点が変域の外にあれば、両端での値をくらべる。
③候補は頂点、左端、右端の3か所である。
④図のはじめの変域 −1 ≦ x ≦ 4 では、頂点 (1, −2) で最小値 −2、右端 x = 4 で最大値7をとる。

面積がいちばん大きい囲い

5
🏠 囲いの問題の解き方
①まわりの長さが 20 m なら、横とたての和は 10 m なので、横を x とするとたては 10 − x である。
②面積は S = x(10 − x) = −x² + 10x で、x の2次関数である。
③S = −(x − 5)² + 25 なので、x = 5 のとき最大値 25 m² をとる。
④横もたても 5 m の正方形のとき面積がいちばん大きい。右のグラフの頂点がちょうどその瞬間である。

2次関数と2次方程式

関数と方程式のつながり
y = ax² + bx + c で y = 0 とおくと ax² + bx + c = 0
グラフと x 軸の交点の x 座標が、2次方程式の解である。
🔗 3つのつながり
①2次関数のグラフと x 軸の交点の x 座標は、2次方程式の解である。
②判別式 D の符号から、x 軸との交点の個数がわかる。
③2つの関数のグラフの交点は、2つの式を連立した解である。

2次関数の式を求める

頂点と他の1点
頂点 (p, q) と1点 (x₁, y₁) → y = a(x − p)² + q に代入
頂点がわかれば、a だけを求めればよい。
x 軸との2つの交点と他の1点
x 軸と x = α, β で交わる → y = a(x − α)(x − β) に1点を代入
x 軸との交点がわかれば、因数分解された形を使う。
📝 式を求める作戦
①頂点が与えられたら、頂点の形を使う。
②x 軸との2つの交点が与えられたら、因数分解された形を使う。
③通る3点が与えられたら、y = ax² + bx + c に代入して連立方程式を解く。

例題で確かめる

例題 1
二次関数 y=x²−4x+7 の最小値を求めなさい。
1
平方完成する。x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3 である。
y = (x−2)²+3
2
a > 0 なので頂点で最小値をとり、その値は3である。
最小値 = 3 (x=2)
▸ 3
a > 0 なら頂点で最小値をとる。
例題 2
二次関数 y=−(x−1)²+5 の最大値を求めなさい。
1
頂点は (1, 5) で、a = −1 < 0 である。
y = −(x−1)²+5
2
a < 0 なので頂点で最大値をとり、その値は5である。
最大値 = 5 (x=1)
▸ 5
a < 0 なら頂点で最大値をとる。

試験のポイント

利用の要点
最大・最小 → 頂点と両端 · x 軸との交点 → 判別式 · 式を求める → 合う形に条件を代入
2次関数の利用の問題の多くは、この3つの型のどれかである。
中3 内申タイプ
二次関数 y=2x²−8x+11 の最小値は？
①1
②3
③5
④8
⑤11
▸ ② 3
1
平方完成：2x²−8x+11 = 2(x−2)²+3。
y = 2(x−2)²+3
2
a=2>0 なので x=2 で最小値 3。
最小値 = 3
🎯 試験のポイント
①最大値・最小値は頂点でとる。a > 0 なら最小値、a < 0 なら最大値である。
②x の変域が決まっていれば、両端の値も必ずくらべる。
③面積や距離が最大になる場合を問われたら、2次関数で表して頂点を見つける。
④グラフと x 軸の交点の x 座標は、2次方程式の解である。
⑤式を求めるときは、与えられた条件に合う形を選ぶ。
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