二次関数のグラフ

Graphs of Quadratic Functions

二次関数 y = ax² + bx + c のグラフは、放物線と呼ばれる左右対称のなめらかな曲線です。ボールを斜めに投げたときに描く軌跡が、まさにこの放物線の形です。 a の符号でグラフが上に開くか下に開くかが決まり、絶対値が大きいほど幅が狭くなります。このページでは a と頂点の位置 p、q をスライダーで動かし、放物線が広がったり移動したりする様子を確かめられます。

y = ax² — a の役割

a の値1

📊 a が決めるもの

①a > 0: 下に凸（上開き）

②a < 0: 上に凸（下開き）

③|a| 大→細い、|a| 小→広い

④a = 0 は二次関数ではない

y = a(x−p)²+q — 頂点形

p（x 軸方向の平行移動）2

q（y 軸方向の平行移動）-1

🎯 平行移動の核心

①y=ax² → y=a(x−p)²: x方向に +p 移動

②y=ax² → y=ax²+q: y方向に +q 移動

③頂点: (p, q)、軸: x = p

④符号注意: y=a(x−2)²+3 → 頂点 (2, 3)

一般形 → 頂点形への変換

一般形

y = ax² + bx + c

展開形 — 係数を直接読める

頂点形への変換

y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a

平方完成で頂点を求める

🔄 変換手順

①ax²+bx+c で x²+bx を a でくくる

②x の係数の半分の2乗を加減

③完全平方式にまとめる

④頂点 = (−b/2a, −(b²−4ac)/4a)

グラフの性質まとめ

グラフから読み取る情報

頂点(p,q), 軸: x=p, y切片: c, 向き: a の符号

二次関数グラフのすべて

💡 グラフの性質

①対称軸: x = p（頂点のx）

②y切片: x=0 → y=c

③x切片: y=0 → 二次方程式の解

④最大/最小: 頂点の y

実際に解いてみる

例題 1

二次関数 y=(x−2)²+3 の頂点の座標を求めなさい。

頂点形 y=a(x−p)²+q では頂点は (p, q)。

y = (x−2)²+3

p=2, q=3 なので頂点は (2, 3)。

頂点 (2, 3)

▸ (2, 3)

(x−2) は x−p の形なので p=+2。符号に注意。

例題 2

y=x²−4x+1 を頂点形に直し、頂点を求めなさい。

x²−4x を平方完成する: x²−4x = (x−2)²−4。

y = (x−2)²−4+1

整理して y=(x−2)²−3、頂点は (2, −3)。

y = (x−2)²−3 ⇒ 頂点 (2, −3)

▸ y=(x−2)²−3、頂点 (2, −3)

1次の係数の半分 (−2) の2乗 4 を加減する。

試験ポイント

二次関数の核心

y=a(x−p)²+q — 頂点(p,q), 軸 x=p

すべての出発点

中3 内申タイプ

二次関数 y=x²−6x+5 のグラフの対称軸の方程式は？

①x=−3

②x=−6

③x=3

④x=5

⑤x=6

▸ ③ x=3

対称軸は x = −b/(2a)。a=1, b=−6。

x = −(−6)/(2·1)

計算して x=3。

x = 6/2 = 3

🎯 試験ポイント

①a の符号で凸の向き

②|a| 大→細い

③符号注意: (x−2) → p=+2

④一般形 ↔ 頂点形の変換は必須

⑤対称性 f(p+t)=f(p−t) を活用