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中学3年生 (14-15歳)

中3 二次関数のグラフ わかりやすく

Graphs of Quadratic Functions

2次関数 y = ax² + bx + c のグラフは放物線とよばれる、1本の直線を境に左右がまったく同じなめらかな曲線です。 いちばん基本となる y = ax² では、a の符号がグラフが上に開くか下に開くかを決め、a の絶対値が大きいほど開き方がせまくなります。 y = a(x − p)² + q は y = ax² を x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフなので、頂点は (p, q)、軸は x = p です。 展開された形も平方完成をすればこの形になるので、頂点や軸、最大値・最小値をすぐに読みとれます。

y = ax² の a の役割

1
📊 a が決めること
①a > 0 なら下に凸で、上に開いた形になる。
②a < 0 なら上に凸で、下に開いた形になる。
③|a| が大きいほど開き方がせまく、小さいほど広い。
④a = 0 なら y = 0 となり、2次関数ではない。

頂点の形 y = a(x − p)² + q

1
2
-1
🎯 平行移動
①y = ax² の x を x − p にかえた y = a(x − p)² は、x 軸方向に p だけ平行移動したグラフである。
②y = ax² + q は、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフである。
③y = a(x − p)² + q の頂点は (p, q)、軸は x = p である。
④符号に注意する。y = (x − 2)² + 3 の頂点は (2, 3) である。図のはじめの状態 a = 1、p = 2、q = −1 を展開すると y = x² − 4x + 3 になり、図の左下にいっしょに書かれる。

展開された形を頂点の形になおす

展開された形
y = ax² + bx + c
展開された形では、y 軸との交点 c がすぐに読める。
頂点の形への変形
y = a(x + b2a)² − b²−4ac4a
平方完成をして頂点の座標を求める。
🔄 変形の手順
①ax² + bx の部分を a でくくる。
②かっこの中の x の係数の半分の2乗をたしてひく。
③平方の形にまとめ、残った定数を整理する。
④その結果、頂点は (−b/2a, −(b² − 4ac)/4a) となる。

グラフの性質のまとめ

グラフから読みとる情報
頂点 (p, q) · 軸 x = p · y 軸との交点 c · 開く向きは a の符号
2次関数のグラフについて知るべきことは、この式にすべてふくまれている。
💡 グラフの性質
①軸は x = p、つまり頂点を通る直線である。
②y 軸との交点は x = 0 を代入した値 c である。
③x 軸との交点は、y = 0 とおいた2次方程式の解である。
④最大値や最小値は頂点の y 座標である。
⑤軸について対称なので f(p + t) = f(p − t) である。

例題で確かめる

例題 1
二次関数 y=(x−2)²+3 の頂点の座標を求めなさい。
1
頂点の形 y = a(x − p)² + q では、頂点は (p, q) である。
y = (x−2)²+3
2
p = 2、q = 3 なので頂点は (2, 3) である。
頂点 (2, 3)
▸ (2, 3)
(x − 2) は x − p の形なので p = +2 である。符号に注意する。
例題 2
y=x²−4x+1 を頂点形に直し、頂点を求めなさい。
1
x² − 4x を平方完成する。x² − 4x = (x − 2)² − 4 である。
y = (x−2)²−4+1
2
整理すると y = (x − 2)² − 3 で、頂点は (2, −3) である。
y = (x−2)²−3 ⇒ 頂点 (2, −3)
▸ y=(x−2)²−3、頂点 (2, −3)
x の係数の半分 −2 を2乗した4をたしてひく。

試験のポイント

2次関数の要点
y = a(x − p)² + q → 頂点 (p, q)、軸 x = p
2次関数の問題の多くは、頂点の形になおすところから始まる。
中3 内申タイプ
二次関数 y=x²−6x+5 のグラフの対称軸の方程式は？
①x=−3
②x=−6
③x=3
④x=5
⑤x=6
▸ ③ x=3
1
対称軸は x = −b/(2a)。a=1, b=−6。
x = −(−6)/(2·1)
2
計算して x=3。
x = 6/2 = 3
🎯 試験のポイント
①a の符号で下に凸か上に凸かを判断する。
②|a| が大きいほどグラフの開き方はせまい。
③y = a(x − p)² + q で (x − 2) なら p = +2 である。符号をまちがえやすい。
④展開された形を頂点の形になおす練習をしておく。
⑤軸についての対称 f(p + t) = f(p − t) を利用する。
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