円と直線

Circle and Line

円と直線の出会い方はちょうど3通りです。中心から直線までの距離が半径より短ければ2点で貫き（割線）、ちょうど等しければ1点で触れ（接線）、それより遠ければ交わりません。接線は接点で半径と必ず垂直になり、円の外の1点から引いた2本の接線の長さは等しくなります。このページでは距離のスライダーを動かして、割線が接線へ変わる瞬間を確かめてみましょう。

円と直線の位置関係

距離 d80

📏 位置関係の判別

①d < r → 2点で交わる（割線）

②d = r → 1点で接する（接線）

③d > r → 交わらない

④弦の長さ = 2√(r²−d²)

接線の性質

点Pの位置20°

✨ 接線の核心性質

①接線は接点で半径と垂直（OT ⊥ PT）

②外部1点からの2接線は等しい（PA = PB）

③接線の長さ = √(OP²−r²)（ピタゴラス）

弦の垂直二等分線

弦の性質

中心から弦に下ろした垂線 → 弦を二等分

中心からの垂線 = 弦の垂直二等分線

弦の長さ

弦の長さ = 2√(r² − d²)

d = 中心から弦までの距離

💡 弦に関する定理

①中心から等距離の2弦は長さが等しい

②長い弦は中心により近い

③最長の弦 = 直径（d = 0）

接線と弦のなす角

接線-弦の角

接線と弦のなす角 = その弦に対する円周角

接線角の定理（接線と弦の挟む角）

📐 接線角の活用

①接線と弦の角は円周角と等しい

②角度を求める頻出問題

③反対側の弧に対する円周角と等しい

実際に解いてみる

例題 1

半径5の円で、中心からの距離が3である弦の長さを求めなさい。

弦の長さ = 2√(r²−d²)、r=5, d=3。

弦 = 2√(5²−3²)

= 2√16 = 2·4 = 8。

= 2√16 = 8

▸ 8

中心から弦への垂線が弦を二等分 → 直角三角形 + ピタゴラス。

例題 2

円外の点Pから円に引いた接線の長さを求めなさい。(OP=13、半径 r=5)

接線の長さ = √(OP²−r²)、OP=13, r=5。

接線 = √(13²−5²)

= √(169−25) = √144 = 12。

= √144 = 12

▸ 12

接線 ⊥ 半径なので直角三角形 → ピタゴラス。

試験ポイント

円と直線の核心

接線 ⊥ 半径、PA = PB、弦の長さ = 2√(r²−d²)

3つの核心性質を暗記

中3 内申タイプ

円外の点Pから引いた2接線の接点をA、Bとする。∠APB=50°のとき、∠AOBの大きさは？(Oは中心)

①110°

②120°

③130°

④140°

⑤150°

▸ ③ 130°

接線 ⊥ 半径なので ∠OAP=∠OBP=90°。

∠OAP = ∠OBP = 90°

四角形PAOBの内角の和360°より ∠AOB = 360−90−90−50 = 130°。

∠AOB = 360−90−90−50 = 130°

🎯 試験ポイント

①接線 ⊥ 半径 → 直角三角形 → ピタゴラス

②外部1点からの2接線は等しい: PA=PB

③弦の垂直二等分線は中心を通る

④割線と接線: 方べきの定理

⑤円に外接する四角形: 対辺の和が等しい