seegongsik
中学3年生 (14-15歳)

中3 円と直線 わかりやすく

Circle and Line

円と直線の交わり方は3通りしかなく、どれになるかは、円の中心から直線までの距離 d と半径 r をくらべると決まります。 d が r より短ければ直線は円と2点で交わり、d = r なら1点でふれ、d が r より長ければ交わりません。 円に1点でふれる直線、つまり接線は、接点でいつも半径に垂直なので、半径と接線と中心までの線分が直角三角形をつくります。 この直角三角形から、円の外の1点からひいた2本の接線の長さが等しいことと、その長さを三平方の定理で求める方法がいっしょに出てきます。

円と直線の位置関係

80
📏 d と r で見分ける
①d < r なら直線は円と2点で交わる。2つの交点を結ぶ線分が弦である。
②d = r なら1点で交わる接線になる。
③d > r なら交わらない。
④2点で交わるとき、弦の長さは 2√(r² − d²) である。図の半径は80なので、d を80にすると接線になり、d を0にすると弦は直径160になる。

接線の性質

140
✨ 接線の2つの性質
①接線は接点で半径に垂直である（OA ⊥ PA）。
②だから △OAP と △OBP は斜辺 OP を共有し OA = OB の直角三角形なので合同で、円の外の1点からひいた2本の接線の長さは等しい（PA = PB）。
③接線の長さは三平方の定理より √(OP² − r²) である。図で OP をのばすと、2本の接線がいっしょに長くなり、いつも同じ値になる。

弦の垂直二等分線

弦の性質
円の中心から弦にひいた垂線は、その弦を2等分する
逆に、弦の垂直二等分線は円の中心を通る。
弦の長さ
弦の長さ = 2√(r² − d²)
d は円の中心から弦までの距離である。
💡 弦についての定理
①円の中心から等しい距離にある2つの弦は長さが等しく、逆に長さが等しい2つの弦は中心から等しい距離にある。
②中心に近い弦ほど長い。
③いちばん長い弦は中心を通る直径である（d = 0）。

接線と弦がつくる角

接線と弦のつくる角
接線と弦のつくる角 = その角の内部にある弧に対する円周角
次の単元の円周角につながる性質である。
📐 この性質の使い方
①円の接線と接点を通る弦のつくる角は、その角の内部にある弧に対する円周角に等しい。
②だから接線側の角を、円の内側の円周角に移して計算できる。
③角を移すときは、同じ弧に対する角かどうかを必ず確かめる。

例題で確かめる

例題 1
半径5の円で、中心からの距離が3である弦の長さを求めなさい。
1
中心から弦にひいた垂線は弦を2等分するので、半径5、距離3、弦の半分が直角三角形をつくる。
弦 = 2√(5²−3²)
2
弦の半分が4なので、弦の長さはその2倍である。
= 2√16 = 8
▸ 8
中心から弦に垂線をひくと直角三角形ができ、三平方の定理で弦の長さが求められる。
例題 2
円外の点Pから円に引いた接線の長さを求めなさい。（OP=13、半径 r=5）
1
接線と半径は垂直なので、OP を斜辺とする直角三角形を使う。
接線 = √(13²−5²)
2
13² − 5² = 169 − 25 = 144 の平方根を求める。
= √144 = 12
▸ 12
接線の長さは √(OP² − r²) である。

試験のポイント

円と直線の要点
接線 ⊥ 半径 · PA = PB · 弦の長さ = 2√(r² − d²)
3つの性質はどれも直角三角形と三平方の定理につながる。
中3 内申タイプ
円外の点Pから引いた2接線の接点をA、Bとする。∠APB=50°のとき、∠AOBの大きさは？（Oは中心）
①110°
②120°
③130°
④140°
⑤150°
▸ ③ 130°
1
接線は接点で半径に垂直なので、∠OAP = ∠OBP = 90° である。
∠OAP = ∠OBP = 90°
2
四角形 PAOB の内角の和360°から、残りの3つの角をひく。
∠AOB = 360−90−90−50 = 130°
🎯 試験のポイント
①接線と半径が垂直であることから直角三角形を見つけ、三平方の定理を使う。
②円の外の1点からひいた2本の接線の長さは等しい（PA = PB）。
③弦の垂直二等分線は円の中心を通る。
④円の外の点からひいた2本の接線のつくる角と、2本の半径のつくる中心角の和は180°である。
⑤弦の長さは中心からの距離で決まる。
← 前へ
三角比
次へ →
円周角

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する