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中学3年生 (14-15歳)

中3 円周角 わかりやすく

Inscribed Angle

円周上の点 P から円周上の2点 A, B を見るときにできる角 ∠APB を、弧 AB に対する円周角といいます。 円周角の大きさは、同じ弧に対する中心角 ∠AOB のちょうど半分で、点 P を同じ側の弧の上でどこへ動かしても変わりません。 だから直径に対する円周角は中心角180°の半分の90°になり、円に内接する四角形の向かい合う2つの角の和は180°になります。 最初の図で点 P を円周上で動かすと、線分の傾き方は変わっても、P に示した角の大きさは変わりません。

中心角と円周角

80
30
👀 円周角と中心角の関係
①1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分である。
②逆に、中心角は円周角の2倍である。
③点 P が同じ側の弧の上にあるかぎり、P をどこへ動かしても円周角は等しい。図で中心角を80°にすると、P を動かしても円周角はいつも40°である。

同じ弧に対する円周角はすべて等しい

100
🔑 円周角の性質
①1つの円で、同じ弧（または長さの等しい弧）に対する円周角の大きさはすべて等しい。
②半円、つまり直径に対する円周角は90°である。
③弧の大きさを変えると3つの点の円周角がいっしょに変わり、3つはいつも同じ値になる。

直径に対する円周角

半円の弧に対する円周角
直径 AB に対する円周角 ∠APB = 90°
直径に対する中心角は180°なので、円周角はその半分の90°である。
📐 直径と直角
①円周上の点と直径の両端を結ぶと、その点の角はいつも直角になる。
②逆に、円周角が90°なら、その角が見る弦は直径である。
③だから直角三角形の斜辺は、その三角形の3つの頂点を通る円の直径になる。

円に内接する四角形

内接四角形の性質
向かい合う2つの角の和 = 180°
2つの角が見る弧を合わせると円1周分（中心角360°）になるからである。
外角の性質
1つの外角 = それととなり合う内角の対角
1つの頂点の外角は、その頂点と向かい合う内角と等しい。
💡 内接四角形の利用
①円に内接する四角形 ABCD では、∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180° である。
②逆に、向かい合う2つの角の和が180°の四角形は円に内接する。
③1つの線分を同じ側から見る2つの角が等しければ、その4点は1つの円周上にある。

例題で確かめる

例題 1
ある弧に対する中心角が100°のとき、同じ弧に対する円周角の大きさを求めなさい。
1
円周角は、同じ弧に対する中心角の半分である。
円周角 = 中心角 ÷ 2
2
中心角100°を2でわる。
= 100° ÷ 2 = 50°
▸ 50°
同じ弧に対する円周角は中心角の半分である。
例題 2
直径ABと円周上の点Pについて ∠APB の大きさを求めなさい。
1
直径 AB に対する中心角は180°である。
中心角 = 180°
2
円周角はその半分である。
∠APB = 180° ÷ 2 = 90°
▸ 90°
直径に対する円周角はいつも90°である。

試験のポイント

円周角の要点
円周角 = 中心角 ÷ 2 · 同じ弧 → 同じ円周角 · 直径 → 90°
円周角の問題のほとんどは、この3つの性質のどれかで解ける。
中3 内申タイプ
ある弧に対する円周角が35°のとき、同じ弧に対する中心角の大きさは？
①17.5°
②35°
③55°
④70°
⑤145°
▸ ④ 70°
1
中心角は円周角の2倍である。
中心角 = 円周角 × 2
2
= 35° × 2 = 70°。
= 35° × 2 = 70°
🎯 試験のポイント
①円周角は、同じ弧に対する中心角の半分である。
②同じ弧に対する円周角は、点の位置に関係なく等しい。
③直径に対する円周角は90°である。
④円に内接する四角形の向かい合う2つの角の和は180°である。
⑤補助線で直径をひいて直角をつくると解ける問題が多い。
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