円周角

Inscribed Angle

円周角は、円周上の1点から2点を見込むときにできる角です。同じ弧を見込む円周角は、どこから見ても大きさが同じで、その弧に対する中心角のちょうど半分になります。特に直径を見込む円周角は必ず90°になるので、円に内接する直角三角形をすぐに見つけられます。このページでは点を円周上で動かして、円周角が変わらない理由を確かめてみましょう。

中心角と円周角の関係

中心角 (°)80

点 P の位置30°

👀 核心関係

①同じ弧の円周角 = 中心角の半分

②中心角 = 円周角 × 2

③点 P がどこにあっても円周角は同じ（同じ弧上）

同じ弧の円周角はすべて等しい

弧の大きさ (°)100

🔑 円周角の性質

①同じ弧（または同じ弦）に対する円周角はすべて等しい

②半円の円周角 = 90°（直径に対する円周角）

③円周角の最強性質！

半円の円周角

直径ABに対する円周角 ∠APB = 90°

直径に対する円周角は常に直角

📐 半円定理の活用

①直径 → 円周角 90°（タレスの定理）

②逆: 円周角が90°なら弦は直径

③直角三角形の斜辺 = 外接円の直径

円に内接する四角形

内接四角形の性質

対角の和 = 180°

円に内接する四角形の対角の和

外角の性質

外角 = 内対角

一頂点の外角 = 反対側の内角

💡 内接四角形の活用

①∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180°

②逆: 対角の和が 180° なら内接

③一辺に対する両側の円周角が等しければ同円上

実際に解いてみる

例題 1

ある弧に対する中心角が100°のとき、同じ弧に対する円周角の大きさを求めなさい。

円周角は中心角の半分である。

円周角 = 中心角 ÷ 2

= 100° ÷ 2 = 50°。

= 100° ÷ 2 = 50°

▸ 50°

同じ弧に対する円周角は中心角の半分。

例題 2

直径ABと円周上の点Pについて ∠APB の大きさを求めなさい。

直径に対する角は中心角が180°の場合である。

中心角 = 180°

円周角 = 180° ÷ 2 = 90°。

∠APB = 180° ÷ 2 = 90°

▸ 90°

直径に対する円周角は常に90°（タレスの定理）。

試験ポイント

円周角の核心

円周角 = 中心角/2、同じ弧→同じ円周角、直径→90°

3大性質

中3 内申タイプ

ある弧に対する円周角が35°のとき、同じ弧に対する中心角の大きさは？

①17.5°

②35°

③55°

④70°

⑤145°

▸ ④ 70°

中心角は円周角の2倍である。

中心角 = 円周角 × 2

= 35° × 2 = 70°。

= 35° × 2 = 70°

🎯 試験ポイント

①円周角 = 中心角 ÷ 2（基礎）

②同じ弧の円周角は位置に無関係に等しい

③直径に対する円周角 = 90°

④内接四角形の対角の和 = 180°

⑤補助線で直径を引いて直角を作る戦略