seegongsik
中学3年生 (14-15歳)

中3 代表値と散らばり わかりやすく

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

クラス30人の点数のように数が多いとひと目でつかめないので、資料全体を代表する一つの値にまとめて言います。これが代表値です。 代表値には、すべての値をたして個数でわった平均値、大きさの順に並べたときまん中にくる中央値、いちばん多く出てくる最頻値があり、資料の性質に合わせて使い分けます。 代表値が同じでも、資料が平均の近くに集まっているか広く散らばっているかはちがうことがあるので、散らばりの程度を表す分散と標準偏差もいっしょに見ます。 とくにほかの値からかけ離れた外れ値が一つまじると、平均値は大きく動くのに中央値はほとんど変わらないことを図で確かめられます。

たくさんの資料を一つの数にまとめる

1.5
👀 代表値が必要なわけ
①テストをすると、クラス全体の点数がいっぺんに出てくる。
②数を一つずつ見ていると、全体のようすがつかみにくい。
③そこで資料全体を代表する一つの数にまとめて言い、これを代表値という。
④図の上の標準偏差は、かかれた20個の点から直接計算した値である。散らばりを大きくすると、平均値は70付近のままで標準偏差が大きくなる。

3つの代表値

平均値
x̄ = x1 + x2 + ... + xnn
すべての値をたして資料の個数でわった値で、いちばんよく使われる代表値である。
中央値
資料を大きさの順に並べたとき、まん中にくる値
資料の個数が偶数なら、まん中の2つの値の平均である。極端な値の影響を受けにくい。
最頻値
資料の中でいちばん多く出てくる値
2つ以上あることもある。好きな色のように数でない資料にも使える。
💡 5人の点数で求める
①5人の点数が 60, 70, 70, 80, 100 である。
②平均値は (60 + 70 + 70 + 80 + 100) ÷ 5 = 76 である。
③大きさの順に並べたまん中、つまり3番目の値である中央値は70である。
④2回出てくる70が最頻値である。
⑤平均値76が中央値70より大きいのは、1人だけ高い100点が平均値を引き上げたからである。

外れ値と代表値の選び方

80
⚠️ 外れ値があるとき
①ほかの値から大きく外れた値を外れ値という。
②外れ値があると、平均値はそちらへ大きく引っぱられる。
③中央値はまん中の順番の値なので、外れ値がどれだけ大きいかにはほとんど影響されない。
④所得のように、ごく大きな値がいくつかまじる資料では、平均値より中央値のほうが実際のようすをよく表す。
⑤図で5人目の値を200まで上げても、中央値は70のままである。

散らばり：偏差・分散・標準偏差

偏差
（偏差）=（資料の値）−（平均値）
それぞれの値が平均値からどれだけ離れているかを表し、偏差をすべてたすといつも0になる。
分散
V = （偏差）21 + （偏差）22 + ... + （偏差）2nn
偏差を2乗した値の平均である。偏差をそのまま平均すると和が0なのでいつも0になるため、2乗する。
標準偏差
（標準偏差）= √（分散）
分散の平方根をとって、単位をもとの資料の単位にもどした値である。
🔍 なぜ2乗するのか
①偏差をすべてたすと、正と負が打ち消し合っていつも0になる。
②そこで偏差を2乗してすべて0以上にしてから平均する。
③これが分散である。
④分散の単位はもとの単位の2乗（点²）なので、そのままでは解釈しにくい。
⑤平方根をとってもとの単位（点）にもどしたものが標準偏差である。

例題で確かめる

例題 1
データ 1, 3, 5, 7, 9 の中央値を求めなさい。
1
資料を大きさの順に並べる。すでに順に並んでいる。
1, 3, 5, 7, 9
2
資料は5個で奇数なので、まん中の3番目の値が中央値である。
中央値 = 5
▸ 5
資料の個数が奇数ならまん中の値、偶数ならまん中の2つの値の平均が中央値である。
例題 2
データ 1, 3, 5 の分散を求めなさい。
1
平均値を求める。(1 + 3 + 5) ÷ 3 = 3 である。
平均 = (1+3+5)/3 = 3
2
偏差 −2, 0, 2 を2乗して平均する。
分散 = (4+0+4)/3 = 8/3
▸ 8/3
分散は偏差を2乗した値の平均で、偏差は資料の値から平均値をひいた値である。

試験のポイント

散らばりの要点
V = Σ（偏差）2n, σ = √V
標準偏差が小さいほど、資料は平均値の近くに集まっている。
中3 内申タイプ
5つの変量 5, 6, 8, 9, x の平均が7のとき、x の値は？
①5
②6
③7
④8
⑤9
▸ ③ 7
1
平均 = 総和 ÷ 個数 なので 総和 = 7 × 5 = 35。
5+6+8+9+x = 35
2
28 + x = 35 なので x = 7。
28+x=35 ⇒ x=7
🎯 試験のポイント
①偏差の和はいつも0である。計算の確かめに使う。
②分散は偏差を2乗した値の平均で、標準偏差は分散の平方根である。
③標準偏差が小さいと、資料は平均値の近くに均一に集まっている。
④極端な値があるときは、平均値より中央値が適した代表値である。
⑤分散の単位はもとの単位の2乗、標準偏差の単位はもとの単位と同じである。
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最終更新

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