中3 数学›統計

代表値と散らばり

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

直観導入 -- データを1つの数字でまとめる
1.5
👀 なぜ代表値が必要か
①試験では30人の点数が出る
②30個の数字を全部覚えられない
③1つの数字にまとめる → これが代表値
④平均、中央値、最頻値 -- どんなときに何を使う?
代表値3つ
平均（mean）
\bar{x} = x1 + x2 + ... + xnn
全部足して個数で割る。最もよく使う代表値
中央値（median）
データを大きさ順に並べる → 中央の値
n が偶数なら中央2つの平均。極端値の影響が少ない
最頻値（mode）
最も多く現れる値
複数あることも。カテゴリーデータ（色、性別）に向く
💡 具体例
①5人の点数：60, 70, 70, 80, 100
②平均 =（60+70+70+80+100）/5 = 76
③中央値 = 3番目 = 70（並べて中央）
④最頻値 = 70（2回で最多）
⑤平均（76）と中央値（70）が違う -- 100点が平均を引き上げた!
外れ値と代表値の選択
80
⚠️ 外れ値があるとき
①極端に大きい・小さい値 = 外れ値
②外れ値があると平均は大きくゆがむ
③しかし中央値はほとんど変わらない
④例：年収平均は高いが少数の高収入のせい → 中央値が現実的
⑤試験：「外れ値があるとき適切な代表値は?」→ 中央値!
散らばり -- 偏差、分散、標準偏差
偏差
偏差 =（値）-（平均）
各値が平均からどれだけ離れているか。偏差の合計は必ず 0!
分散
V = （偏差）21 + （偏差）22 + ... + （偏差）2nn
偏差の2乗の平均。2乗する理由：偏差の和は0だから
標準偏差
\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{分散}
分散にルートをかけて元の単位に戻したもの
🔍 なぜ2乗?
①偏差を足すと + と - が打ち消し合い必ず0
②2乗して全て正にしてから平均
③これが分散 V
④分散の単位は（点）²で解釈しにくい
⑤ルートをかけて元の単位（点）に戻すのが標準偏差
試験ポイント整理
散らばりの核心
V = \Sigma（偏差）2n, \sigma = \sqrt{V}
標準偏差が小さいほどデータが平均近くに集まる
🎯 試験ポイント
①偏差の合計 = 0（常に成立 -- 検算に活用）
②分散 = 偏差2乗の平均、標準偏差 = √分散
③標準偏差が小さい → データが揃って集まる
④外れ値があれば平均より中央値が適切
⑤分散の単位は元の単位の2乗、標準偏差は元の単位と同じ