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単語帳
中学3年生 (14-15歳)

代表値と散らばり

Mean, Median, Mode & Standard Deviation

テストをすると30人分の点数が一気に出ますが、その大量の数字を1つにまとめてくれるのが代表値です。 よく使う平均のほかに、大きさ順に並べた真ん中の中央値や、最も多く出る最頻値があり、場面に応じて使い分けます。 また、データが平均からどれだけ散らばっているかを表すのが散らばりで、偏差を2乗して平均した分散と、その平方根の標準偏差で測ります。 このページでは散らばりと外れ値をスライダーで変え、外れ値が平均を大きく動かしても中央値はほとんど変わらない理由を確かめましょう。

直観導入 -- データを1つの数字でまとめる
1.5
👀 なぜ代表値が必要か
①試験では30人の点数が出る
②30個の数字を全部覚えられない
③1つの数字にまとめる → これが代表値
④平均、中央値、最頻値 -- どんなときに何を使う?
代表値3つ
平均(mean)
x̄ = x1 + x2 + ... + xnn
全部足して個数で割る。最もよく使う代表値
中央値(median)
データを大きさ順に並べる → 中央の値
n が偶数なら中央2つの平均。極端値の影響が少ない
最頻値(mode)
最も多く現れる値
複数あることも。カテゴリーデータ(色、性別)に向く
💡 具体例
①5人の点数:60, 70, 70, 80, 100
②平均 =(60+70+70+80+100)/5 = 76
③中央値 = 3番目 = 70(並べて中央)
④最頻値 = 70(2回で最多)
⑤平均(76)と中央値(70)が違う -- 100点が平均を引き上げた!
外れ値と代表値の選択
80
⚠️ 外れ値があるとき
①極端に大きい・小さい値 = 外れ値
②外れ値があると平均は大きくゆがむ
③しかし中央値はほとんど変わらない
④例:年収平均は高いが少数の高収入のせい → 中央値が現実的
⑤試験:「外れ値があるとき適切な代表値は?」→ 中央値!
散らばり -- 偏差、分散、標準偏差
偏差
偏差 =(値)-(平均)
各値が平均からどれだけ離れているか。偏差の合計は必ず 0!
分散
V = (偏差)21 + (偏差)22 + ... + (偏差)2nn
偏差の2乗の平均。2乗する理由:偏差の和は0だから
標準偏差
σ = √V = √(分散)
分散にルートをかけて元の単位に戻したもの
🔍 なぜ2乗?
①偏差を足すと + と - が打ち消し合い必ず0
②2乗して全て正にしてから平均
③これが分散 V
④分散の単位は(点)²で解釈しにくい
⑤ルートをかけて元の単位(点)に戻すのが標準偏差
実際に解いてみる
例題 1
データ 1, 3, 5, 7, 9 の中央値を求めなさい。
1
データを大きさ順に並べる(既に整列済み)。
1, 3, 5, 7, 9
2
5個(奇数)なので中央の3番目が中央値。
中央値 = 5
5
奇数個なら中央の値、偶数個なら中央2つの平均。
例題 2
データ 1, 3, 5 の分散を求めなさい。
1
平均を求める: (1+3+5)/3 = 3。
平均 = (1+3+5)/3 = 3
2
偏差の2乗の平均を求める: ((−2)²+0²+2²)/3。
分散 = (4+0+4)/3 = 8/3
8/3
分散 = 偏差の2乗の平均。偏差 = 変量 − 平均。
試験ポイント整理
散らばりの核心
V = Σ(偏差)2n, σ = √V
標準偏差が小さいほどデータが平均近くに集まる
中3 内申タイプ
5つの変量 5, 6, 8, 9, x の平均が7のとき、x の値は?
5
6
7
8
9
③ 7
1
平均 = 総和 ÷ 個数 なので 総和 = 7 × 5 = 35。
5+6+8+9+x = 35
2
28 + x = 35 なので x = 7。
28+x=35 ⇒ x=7
🎯 試験ポイント
①偏差の合計 = 0(常に成立 -- 検算に活用)
②分散 = 偏差2乗の平均、標準偏差 = √分散
③標準偏差が小さい → データが揃って集まる
④外れ値があれば平均より中央値が適切
⑤分散の単位は元の単位の2乗、標準偏差は元の単位と同じ
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円周角
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相関関係
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