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単語帳
中学3年生 (14-15歳)

根号を含む式の計算

Operations with Radicals

根号のついた数も、よく見ればもっとすっきりした形に整理できます。 例えば √12 は 4×3 なので、対になる 4 を外に出して 2√3 と簡単にできます。 根号の中が同じ 2√3 と 5√3 は同類項のように係数だけを足し、掛け算や割り算は根号の中どうしで行い、分母に残った根号は有理化で消します。 このページでは、スライダーで数を変えて素因数がどう対になって外に出るか、同じ根号がどう棒として合わさるかを目で確かめましょう。

根号の簡約 — 素因数分解で分ける
12
🔧 簡約原理
①√(a²×b) = a√b — 対になる因数は外へ
②例:√12 = √(4×3) = 2√3
③例:√48 = √(16×3) = 4√3
根号の加減 — 同じ根号同士だけ!
3
2
📏 加法の核心
①根号部分が同じなら合体可(同類項のように)
②2√3 + 5√3 = 7√3 ✓
③2√3 + 5√2 = そのまま ✗
④まず簡約 → 同じ根号にする:√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
根号の乗除
乗法公式
√a × √b = √(ab)
根号同士の積 → 中身の積
除法公式
√a√b = √(ab)
根号同士の商 → 中身の商
💡 乗除のポイント
①√2 × √3 = √6
②√6 ÷ √2 = √3
③(2√3)² = 4 × 3 = 12 — 係数も2乗!
分母の有理化
分母の有理化
a√b = a√bb
分母・分子に √b を掛けて分母の根号を消す
🧹 有理化の理由
①分母に √ があると比較しにくい
②分母・分子に同じ √ → 分母が有理数
③例:1/√2 = √2/2 ≈ 0.707...
実際に解いてみる
例題 1
√2 × √8 を計算せよ。
1
根号の積は √a × √b = √(ab) でまとめる。
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16
2
√16 = 4。
= 4
4
根号どうしの掛け算は根号の中の数を掛ける。
例題 2
2√3 + 5√3 を計算せよ。
1
根号が同じ項は係数どうし足す。
(2 + 5)√3
2
計算する。
= 7√3
7√3
根号部分が同じでないと同類項のように足せない。
試験ポイント整理
根号計算まとめ
a√m ± b√m = (a±b)√m
同類根号 → 係数同士の演算
中3 校内試験 類型
6/√3 の分母を有理化すると?
2√3
3√3
√3
6√3
2
① 2√3
1
分母と分子に √3 を掛ける。
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3
2
約分する。
= 2√3
🎯 試験ポイント
①まず簡約! √48 + √12 → 4√3 + 2√3 = 6√3
②分母の有理化を忘れない
③(√a)² = a を活用
④√a × √b = √(ab) だが √a + √b ≠ √(a+b)
⑤根号の中身は負にできない
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多項式の乗法
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