seegongsik
中学3年生 (14-15歳)

中3 根号を含む式の計算 わかりやすく

Operations with Radicals

根号のついた数も、決まったきまりにしたがえば、もっと簡単な形に整理できます。 √12 のように根号の中の数を素因数分解して 2 × 2 × 3 に分けると、同じ数が2つそろった2は根号の外に出て 2√3 になります。 根号の部分が同じ 2√3 と 5√3 は、文字の同類項のように係数だけをたして 7√3 になり、かけ算とわり算は根号の中の数どうしで計算します。 分母に根号が残ったら、分母と分子に同じ根号をかけて分母を有理数にします。これを分母の有理化といいます。

根号の中を素因数分解して簡単にする

12
🔧 簡単にするしくみ
①同じ数2つの積 a² は、根号の外に a として出てくる。√(a² × b) = a√b
②√12 = √(2² × 3) = 2√3 である。
③√48 = √(4² × 3) = 4√3 である。
④そろわない素因数だけが残れば、それ以上簡単にできない。図で n = 30 なら 2 × 3 × 5 で、どれもそろわない。

根号のたし算・ひき算は同じ根号どうし

3
2
📏 たし算の要点
①根号の部分が同じときだけ、係数どうしをたしたりひいたりできる。文字の同類項と同じである。
②2√3 + 5√3 = 7√3 である。
③2√3 + 5√2 は根号の部分がちがうので、これ以上簡単にできない。
④根号の部分がちがって見えても、先に簡単にすると同じになることがある。√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

根号のかけ算とわり算

かけ算
√a × √b = √(ab)（a > 0, b > 0）
根号どうしをかけると、根号の中の数どうしをかける。
わり算
√a√b = √(ab)
根号どうしをわると、根号の中の数どうしをわる。
💡 かけ算・わり算の注意点
①√2 × √3 = √6 である。
②√6 ÷ √2 = √3 である。
③(2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12 である。係数もいっしょに2乗する。
④かけ算とちがい、たし算では根号の中どうしをまとめられない。√a + √b ≠ √(a + b)

分母の有理化

分母の有理化
a√b = a√bb
分母と分子に √b をかけて、分母の根号をなくす。
🧹 有理化する理由
①分母に根号があると、大きさをくらべたり見積もったりしにくい。
②分母と分子に同じ根号をかけると、(√b)² = b なので分母が有理数になる。
③たとえば 1/√2 = √2/2 ≈ 0.707 である。

例題で確かめる

例題 1
√2 × √8 を計算せよ。
1
根号どうしをかけると、根号の中の数をかける。
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16
2
16は4の2乗なので √16 = 4 である。
= 4
▸ 4
根号の中の積が平方数なら根号がなくなる。
例題 2
2√3 + 5√3 を計算せよ。
1
根号の部分が同じなので、係数どうしをたす。
(2 + 5)√3
2
2 + 5 = 7 である。
= 7√3
▸ 7√3
根号の部分が同じでなければ同類項のようにたせない。

試験のポイント

根号の計算のまとめ
a√m ± b√m = (a ± b)√m
根号の部分が同じ項どうしで、係数だけをたしたりひいたりする。
中3 校内試験 類型
6/√3 の分母を有理化すると？
①2√3
②3√3
③√3
④6√3
⑤2
▸ ① 2√3
1
分母と分子に √3 を掛ける。
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3
2
約分する。
= 2√3
🎯 試験のポイント
①まず簡単にする。√48 + √12 = 4√3 + 2√3 = 6√3 である。
②答えの分母に根号が残らないよう有理化する。
③(√a)² = a を利用する。
④√a × √b = √(ab) だが、√a + √b ≠ √(a + b) である。
⑤根号の中には負の数は入らない（実数の範囲で）。
← 前へ
平方根と実数
次へ →
多項式の乗法と乗法公式

最終更新

このページがお役に立ったなら支援する